2）二維DCT

    MPEG采用了Ahmed N.等人于1974年提出的離散余弦變換（DCT-Discrete Cosine Transform）壓縮算法，降低視頻信號(hào)的空間冗余度（Spatial Redundancy）。因?yàn)殪o態(tài)圖像和預(yù)測(cè)誤差信號(hào)兩者具有非常高的空間冗余度，為降低空間冗余度最廣泛地采用的頻率域分解技術(shù)就是DCT。DCT將運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償誤差或原畫(huà)面信息塊轉(zhuǎn)換成代表不同頻率分量的系數(shù)集。這有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：其一，信號(hào)常將其能量的大部分集中于頻率域的1個(gè)小范圍內(nèi)，這樣一來(lái)，描述不重要的分量只需要很少的比特?cái)?shù)；其二，頻率域分解映射了人類(lèi)視覺(jué)系統(tǒng)的處理過(guò)程，并允許后繼的量化過(guò)程滿足其靈敏度的要求。視頻信號(hào)的頻譜線在0-6MHz范圍內(nèi)，而且1幅視頻圖像內(nèi)包含的大多數(shù)為低頻頻譜線，只在占圖像區(qū)域比例很低的圖像邊緣的視頻信號(hào)中才含有高頻的譜線。因此，在視頻信號(hào)數(shù)字處理時(shí)，可根據(jù)頻譜因素分配比特?cái)?shù)：對(duì)包含信息量大的低頻譜區(qū)域分配較多的比特?cái)?shù)，對(duì)包含信息量低的高頻譜區(qū)域分配較少的比特?cái)?shù)，而圖像質(zhì)量并沒(méi)有可察覺(jué)的損傷，達(dá)到碼率壓縮的目的。然而，這一切要在低熵(Entropy)值的情況下，才能達(dá)到有效的編碼。能否對(duì)一串?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行有效的編碼，取決于每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率。每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率差別大，就表明熵值低，可以對(duì)該串?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行高效編碼。反之，出現(xiàn)的概率差別小，熵值高，則不能進(jìn)行高效編碼。視頻信號(hào)的數(shù)字化是在規(guī)定的取樣頻率下由A/D轉(zhuǎn)換器對(duì)視頻電平轉(zhuǎn)換而來(lái)的，以256層或1024層表示輸入視頻信號(hào)的幅度，每個(gè)像素的視頻信號(hào)幅度隨著每層的時(shí)間而周期性地變化。每個(gè)像素的平均信息量的總和為總平均信息量，即熵值。由于每個(gè)視頻電平發(fā)生幾乎具有相等的概率，所以視頻信號(hào)的熵值很高，如圖21所示。 熵值是一個(gè)定義碼率壓縮率的參數(shù)，視頻圖像的壓縮率依賴于視頻信號(hào)的熵值，在多數(shù)情況下視頻信號(hào)為高熵值，要進(jìn)行高效編碼，就要將高熵值變?yōu)榈挽刂?。怎樣變成低熵值呢？這就需要分析視頻頻譜的特點(diǎn)。由圖22視頻頻譜分析可見(jiàn)：大多數(shù)情況下，視頻頻譜的幅度隨著頻率的升高而降低。其中低頻頻譜在幾乎相等的概率下獲得0到最高的電平。與此相對(duì)照，高頻頻譜通常得到的是低電平及稀少的高電平。顯然，低頻頻譜具有較高的熵值，高頻頻譜具有較低的熵值。據(jù)此，可對(duì)視頻的低頻分量和高頻分量分別處理，獲得高頻的壓縮值。

    由上述可見(jiàn)，碼率壓縮基于如圖23所示的變換編碼和熵值編碼兩種算法。前者用于降低熵值，后者將數(shù)據(jù)變?yōu)榭山档捅忍財(cái)?shù)的有效編碼方式。在MPEG標(biāo)準(zhǔn)中，變換編碼采用的是DCT，變換過(guò)程本身雖然并不產(chǎn)生碼率壓縮作用，但是變換后的頻率系數(shù)卻非常有利于碼率壓縮。實(shí)際上壓縮數(shù)字視頻信號(hào)的整個(gè)過(guò)程分為塊取樣、DCT、量化、編碼4個(gè)主要過(guò)程進(jìn)行，如圖24所示。首先在時(shí)間域?qū)⒃紙D像分成N(水平)×N（垂直）取樣塊，根據(jù)需要可選擇4×4、4×8、8×8、8×16、16×16等塊，考慮到消除數(shù)據(jù)相關(guān)性及計(jì)算復(fù)雜度的恰當(dāng)?shù)恼壑裕瑘D中選擇了8×8像素塊。這些8×8取樣的像素塊代表了原圖像各像素的灰度值，其范圍在139-163之間，并依序送入DCT編碼器，以便將取樣塊由時(shí)間域轉(zhuǎn)換為頻率域的DCT系數(shù)塊。DCT系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換分別在每個(gè)取樣塊中進(jìn)行，這些塊中每個(gè)取樣是數(shù)字化后的值，表示一場(chǎng)中對(duì)應(yīng)像素的視頻信號(hào)幅度值。式（2）和（3）分別為2維DCT正變換及反變換公式：

    例如，當(dāng)u,v = 0 時(shí)，離散余弦正變換（DCT）后的系數(shù)若為F(0,0)=1，則離散余弦反變換（IDCT）后的重現(xiàn)函數(shù)f(x,y)=1/8,是個(gè)常數(shù)值，所以將F(0,0)稱為直流(DC)系數(shù)；當(dāng) u,v≠0時(shí)，正變換后的系數(shù)為F(u,v)=0，則反變換后的重現(xiàn)函數(shù)f(x,y)不是常數(shù)，此時(shí)正變換后的系數(shù)F(u,v)為交流（AC）系數(shù)。

    由DCT正變換公式（2）及反變換公式（3）可見(jiàn)，計(jì)算有一定的復(fù)雜性。但是，實(shí)際上這個(gè)函數(shù)是用代碼來(lái)實(shí)現(xiàn)的，即兩個(gè)余弦項(xiàng)只在程序開(kāi)始時(shí)進(jìn)行1次計(jì)算，將計(jì)算的結(jié)果儲(chǔ)存起來(lái)，而后通過(guò)查表就可以了，其它各項(xiàng)都可以通過(guò)查表解決，其程序采用了雙層嵌套循環(huán)。圖25是兩個(gè)余弦項(xiàng)所構(gòu)成的核函數(shù)Gu,v (x,y)計(jì)算的示意圖，其中設(shè)N = 8, u = 2,v = 3；x = 4, y = 5,可求得G2,3(4,5) = G2,3(4)G2,3(5) = (-0.924) ×(+0.979)= - 0.905，以此類(lèi)推可得到各個(gè)點(diǎn)的值，儲(chǔ)存起來(lái)備查。通過(guò)查表，查出各個(gè)項(xiàng)的值，用代碼來(lái)實(shí)現(xiàn)圖24中DCT編碼器輸出的DCT系數(shù)。根據(jù)式（2）和(3)  進(jìn)行查表后，利用C語(yǔ)言程序?qū)×N個(gè)矩陣元素的代碼采用雙層嵌套循環(huán)計(jì)算如下：
for  (u = 0 , u < N, u ++)
     for (v = 0,v < N, v++) {
        temp = 0,0；
        for (x = 0, x < N, x++)
           for (y = 0,y < N, y++) {
              temp + = Cosines[x][u]*Cosines [y] [v] * pixel [x] [y];
           }
       temp* = sqrt(2 * N ) * Coefficients[u][v]；
       DCT[u] [v] = INT_ROUND(temp)：
}

    代碼中用pixel[x][y]表示式中的f(x,y),用DCT[u][v]表示式中的F(u,v)。
當(dāng)前，除了上述直接用雙層嵌套循環(huán)定義DCT外，還有采用余弦變換矩陣來(lái)定義DCT的矩陣計(jì)算法，二者機(jī)理相同。

    由圖24及上述變換原理可察覺(jué)兩點(diǎn)：其一，DCT后的64個(gè)DCT頻率系數(shù)與DCT前的64個(gè)像素塊相對(duì)應(yīng)，DCT前后都是64個(gè)點(diǎn)，它只是1個(gè)本身沒(méi)有壓縮作用的無(wú)損變換過(guò)程。其二，單獨(dú)1場(chǎng)圖像的全部DCT系數(shù)塊的頻譜幾乎都集中在最左上角的系數(shù)塊中，僅從該塊的頻譜中就可以形成1幅壓縮圖像；DCT輸出的頻率系數(shù)矩陣最左上角的直流（DC）系數(shù)幅度最大，圖24中為315，由于代表了x軸和y軸上的DC分量，所以它表示了輸入矩陣全部幅度的平均值；以DC系數(shù)為出發(fā)點(diǎn)向下、向右的其它DCT系數(shù)，離DC分量越遠(yuǎn)，頻率越高，幅度值越小，圖24中最右下角為-0.11，即圖像信息的大部分集中于直流系數(shù)及其附近的低頻頻譜上，離DC系數(shù)越來(lái)越遠(yuǎn)的高頻頻譜幾乎不含圖像信息，甚至于只含雜波。顯然，DCT本身雖然沒(méi)有壓縮作用，卻為以后壓縮時(shí)的“取”、“舍” 奠定了必不可少的基礎(chǔ)。