讓探究成為數(shù)學教學的常態(tài)

作者：吳力田

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　　關注教學的有效性，追求理想的教學狀態(tài)是我們每個教學工作者的目標. 在新課標體系下，我們應該以一種理性的數(shù)學學習思維和教學心態(tài)去引領學生形成新型的研究型學習氛圍，努力實現(xiàn)“充滿生命活力”的課堂文化氛圍. 根據(jù)教材特點，圍繞某個專題，讓學生用自我探究與合作交流的方式進行學習、體驗過程，從而獲取知識、培養(yǎng)能力. 這樣的探究，著力于學生的學，目標指向學生的思維能力、創(chuàng)新能力、問題意識、合作意識的培養(yǎng). 探究應成為數(shù)學教學的常態(tài).
　　
　　一、局部探究，加強對概念的深化和理解
　　
　　對習題的局部探究過程中，學生不僅體驗過程、感受樂趣，更重要的是加強對概念的深化和理解. 在解題教學中，通過對數(shù)學問題的本質屬性的挖掘和不同解法的探求以及各種變式的討論，揭示數(shù)學知識間的內在聯(lián)系，構建知識的有機整體，實現(xiàn)融會貫通和引申拓廣，有助于學生思維的變通性、靈活性、流暢性、深刻性和發(fā)散性等多種思維品質的提高.
　　案例1 （2008年湖南省高考題）對有n（n≥4）個元素的總體｛1，2，3，…，n｝進行抽樣，先將總體分成兩個子總體｛1，2，…，m｝和｛m+1，m+2，…，n｝（m是給定的正整數(shù)，且2≤m≤n-2），再從每個子總體中各隨機抽取2個元素組成樣本，用Pij表示元素i和j同時出現(xiàn)在樣本中的概率，則P1m= ；所有Pij（1≤i＜j≤n）的和等于 .
　　1. 教學活動的開展——解題思路的常規(guī)探求
　　這是一道有一定難度的填空題，教師先引導學生分析第一問的作用，再從特殊到一般，對i，j的來源進行分類討論從而得到解法一.
　　解法一：對i，j的來源進行分類討論.
　　知哪位同學輕輕地說了這樣一句. 是呀，有沒有更好的辦法呢？索性在課堂上放手讓同學們討論探討.“好像C嗎？幾分鐘后另一個學生給出了以下解法.
　　解法二：其實只要注意到題中“從每個子總體中各隨機抽取2個元素組成樣本”這句話，在所選取的4個元受到解法二的提示，好幾個同學都很快給出了解法三.
　　解法三：在解法二的基礎上采用整體思路，同樣在所選取的4個元素中考慮，其實相當于4個不同的元素中任.
　　2. 教學活動的深入——探求結果的反思分析
　　縱觀三種解法，其實是概率研究的兩種基本思路，一個著眼于最大的樣本空間考慮，一個著眼于小樣本空間；一個是分步研究，一個是從整體考慮. 兩種思路提供了暴露思維過程的優(yōu)質素材. 課堂上引導學生弄清：
　　——麻煩的思路到底麻煩在什么地方，能不能變簡單些？
　　——簡單的思路為什么會簡單，對題設條件做了什么樣的理解和處理？
　　——題目和方法能否推廣到更一般的情況？
　　課堂上學生暢所欲言，不僅對本題有越來越清晰的認識，對概率這個概念也有了更深刻的理解. 而且對題目不斷推廣引申得到了好幾個新的命題，并且得到一一解決.
　　問題的推廣：
　?。?）對有n（n≥4）個元素的總體｛1，2，3，…，n｝進行抽樣，先將總體分成兩個子總體｛1，2，…，m｝和｛m+1，m+2，…，n｝（m是給定的正整數(shù)，且x≤m≤n-y），若從兩個子總體中分別取出x個和y個元素，則（2）對有n（n≥4）個元素的總體｛1，2，3，…，n｝進行抽樣，先將總體分成三個子總體｛1，2，…，s｝、｛s+1，s+2，…，t｝和｛t+1，t+2，…，n｝（s，t是給定的正整數(shù)，且s≥x，t-s≥y，n-t≥z），若從3. 解題經(jīng)驗的自覺積累
　　解法三有一種高屋建瓴之勢，對解題思路看得更透徹了，對知識間的聯(lián)系看得更清楚了，課堂上講一題多解目標并不只滿足于多找出幾個解法，而是通過解題過程的分析，引領學生去領悟：怎樣解題？怎樣學會解題？ 在教學中我們不僅要引導學生不斷暴露自己的思維過程，加深對概念的理解，更要讓學生學會探究分析自己的解題過程和結果.
　　二、深入探究，挖掘知識更廣泛聯(lián)系
　　解題是數(shù)學學習中的核心內容，解題要溝通知識的邏輯聯(lián)系或轉化關系，這是比較清楚的. 而解題本身是在挖掘知識的更廣泛聯(lián)系，也是在發(fā)生數(shù)學，在深入理解數(shù)學. 事實上，數(shù)學解題的實質就是發(fā)生數(shù)學；解題活動的核心價值是掌握數(shù)學. 深入探究數(shù)學解題思路和過程具有溝通知識更廣泛聯(lián)系的功能.
　　案例2 從A到B，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是相互獨立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一1. 常規(guī)解法的探求
　　這是一次單元測驗中的試題，試題本身沒什么難度，正確率也比較高，學生只反映運算量有點大.
　　2. 深入探究——從特殊到一般，從一般到特殊
　　試卷講評結束下課后，一個學生來找我了：“老師，我已經(jīng)弄明白了這道題該怎么做，但是把路線A→C→F→. ” “真的？老師也沒考慮過這個問題，姑且就把它作為一個猜想吧，能給出證明嗎？就以三段為例試試看吧. ”旁邊另一位同學聽了也很感興趣，兩個人一起討論去了. 一會兩人就拿來了證好了的結果. 設三段上的堵車概率分別為a，b，c，ξ表示遇到堵車的次數(shù)，則分布列如下：
　　Eξ=a（1-b）（1-c）+b（1-a）（1-c）+c（1-a）（1-b）
　　 +2[ab（1-c）+ac（1-b）+bc（1-a）]+3abc=a+b+c.
　　生1：“我還驗證了兩段的也是成立的. 證明是完成了，但我還是不明白為什么. ”
　　師： “問得好，為什么呀？”
　　生2：“我好像有點知道了，二項分布期望Eξ=nP，現(xiàn)在不是n=3，P1，P2，P3不相等的情況嗎？”
　　生1：“這有什么關系，又不是二項分布. ”
　　師： “老師提供一個公式，若ξ=X1+X2+…+Xn，則Eξ=EX1+EX2+…+EXn，再想一想吧. ”
　　第二天，兩位同學興高采烈地來找我，“老師，我們終于解決問題了”.
　　師：“快說來聽聽. ”
　　生：“把每個隨機變量Xi都看成二項分布，則EXi=Pi， 在二項分布中，EXi=P，Eξ=nP；當不是獨立重復事件時Eξ=P1+P2+…+Pn. 二項分布只是其特殊情況，是這樣吧？”
　　師：“太棒了！明天上課給同學們講講吧，讓大家一起分享分享. ”
　　兩位同學在課堂上把問題的來龍去脈講得有趣又精彩. 這份精彩一方面來自數(shù)學本身的深刻內涵，另一方面，它更來自于大家的積極參與、合作交流、主動探究. 因為兩位同學平時數(shù)學成績平平，更對全班同學都有激勵作用. 第二天又有一位參加競賽的同學拿來了數(shù)學歸納法的證明. 兩天來對一道題目的爭論研究，同學們經(jīng)歷了從特殊到一般，又從一般到特殊的數(shù)學研究過程. 在這個過程中學生的收獲遠遠超出一道題的解決.
　　3. 教學反思——探究建構激發(fā)學習激情
　　建構主義認為： “知識不是被動吸收的，而是由認知主體主動建構的. ”這個觀點從教學的角度來理解就是：知識不是通過教師傳授得到的，而是學生在一定的情境中，運用已有的學習經(jīng)驗，并通過與他人（在教師指導和學習伙伴的幫助下）協(xié)作，主動建構而獲得的，在課堂教學中，教師不僅要展示對題目的奇思妙解，更要讓學生有機會展示自己的解題過程. 引導學生探究題目的真正內涵，尋找知識之間的區(qū)別和聯(lián)系. 教師要對學生產(chǎn)生的思想火花——即與眾不同的見解和想法及時發(fā)現(xiàn)、鼓勵，創(chuàng)造良好的學術氛圍，把學生引入熱烈的討論、爭辯，同時把問題引入實質，啟發(fā)學生創(chuàng)造、發(fā)現(xiàn)新的方法和規(guī)律，使學生在探究的過程中體會到激動和振奮.
　　三、探究活動溝通教與學
　　教學活動是一種師、生、文本之間的對話過程，這個過程是一個思想觀念不斷碰撞、精神情感不斷交流的過程，教師必須注重這種“對話活動”的形成和發(fā)展. 數(shù)學學習絕不是常規(guī)的簡單模仿和機械操作，數(shù)學解題教學并不指向解題本身，“學會數(shù)學的思考、分析問題，抓住事物的本質，于細微處見真理”才是數(shù)學學習的根本目的. 具體而言，應該包括：
　　1． 善于分析、總結、拓寬、應用，這便是所謂的數(shù)學能力，其實也是每個人都應具備的基本素質.
　　2． 善于發(fā)現(xiàn)事物的發(fā)展規(guī)律，抓住本質，這便是數(shù)學能力發(fā)揮所至，即學習數(shù)學的結果.
　　3． 善于從細微處見真理，這才是學習數(shù)學的最高境界.
　　在數(shù)學教學中引導學生探究討論，體驗知識的發(fā)生過程，其實質是讓學生了解“教”的過程，在這個過程中再反思“學”的過程，從而實現(xiàn)學教統(tǒng)一，使學生和老師在情感和信息交流中達到高度的協(xié)調，從而達到教學相長的目的.
　　在新課改背景下，我們應該努力倡導一種“有意義”的教學方式，讓數(shù)學探究成為貫穿于數(shù)學課程與數(shù)學課堂始終的重要內容，強調學習過程中的主動性與問題性. 教師應該重視學生自主探究的意識和習慣的培養(yǎng)，采用多方位的方法和策略，努力構建有價值的數(shù)學探究，使之成為所有學生一種良好的學習品質.