溫州三溪中學(xué)數(shù)學(xué)組  林愛武

摘  要：數(shù)學(xué)美是高中新課程教學(xué)中極具挖掘潛力的內(nèi)容之一。本文通過對(duì)高中數(shù)學(xué)新教材中教學(xué)內(nèi)容的美學(xué)因素的挖掘，闡述了數(shù)學(xué)美在培養(yǎng)學(xué)生的審美能力、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情、啟迪學(xué)生思維，開發(fā)學(xué)生智力和創(chuàng)造力、提高學(xué)生分析解決問題的能力和效率等方面的作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)美；簡(jiǎn)潔性；對(duì)稱性；和諧性；奇異性

數(shù)學(xué)美源于人們的生產(chǎn)與生活中，是自然美的客觀反應(yīng)。普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出課程目標(biāo)之一是“開闊數(shù)學(xué)視野，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)意義”。數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素質(zhì)是公民所備必的一種基本素質(zhì)，對(duì)數(shù)學(xué)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和了解，可以使人獲得美的感受，數(shù)學(xué)的美不僅有生活中的美，更有思維領(lǐng)域的美，它體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性、和諧性、稱性性、奇異性等方面。

一，            挖掘新教材中的美學(xué)因素

新教材中有豐富多彩的數(shù)學(xué)美學(xué)因素，下面主要從四個(gè)方面來(lái)挖掘教材中的美學(xué)內(nèi)容。

1、簡(jiǎn)潔性　

簡(jiǎn)潔性是數(shù)學(xué)美的一個(gè)基本特征。它反映出自然的簡(jiǎn)單性，是自然內(nèi)在的屬性，而不是人為的簡(jiǎn)單規(guī)定。數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性并不是指數(shù)學(xué)內(nèi)容本身簡(jiǎn)單而主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)、方法和表達(dá)式的簡(jiǎn)單性。如：5個(gè)12相乘，可以寫為12×12×12×12×12，但是 的表示方法卻要簡(jiǎn)單得多了， 以同樣的簡(jiǎn)潔表示了更復(fù)雜的內(nèi)容；勾股定理，正弦正理，余弦定理等這些定理形式簡(jiǎn)潔、內(nèi)容深刻、作用很大；平面的基本性質(zhì)之一：“不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面”體現(xiàn)了“三點(diǎn)定面”的簡(jiǎn)單特性。在證明與自然數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，數(shù)學(xué)歸納法不失為一種簡(jiǎn)潔的方法；等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)、前項(xiàng)n和可以用公式來(lái)表示，曲線和點(diǎn)的軌跡可以用方程來(lái)表示等等都表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。

1、對(duì)稱性

     對(duì)稱性是數(shù)學(xué)美的主要表現(xiàn)形式之一。數(shù)學(xué)中的中心對(duì)稱、軸對(duì)稱和鏡面對(duì)稱，都給人以美感，這就是數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美。例如：幾何中的許多圖形，圓、球、圓柱、圓錐、長(zhǎng)方體、圓錐曲線等都體現(xiàn)了對(duì)稱美；代數(shù)中，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)圖像的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，反函數(shù)與原函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱都給人以賞心悅目之感；二項(xiàng)展開式 等公式也顯示一種對(duì)稱美。

2、和諧性

數(shù)學(xué)的和諧性是指數(shù)學(xué)中部分與部分，部分與整體之間的和諧平衡與一致。通常表現(xiàn)為數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、方法的統(tǒng)一，數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的統(tǒng)一。例如：平面幾何中梯形、三角形、平行四邊形、矩形的面積公式，可以統(tǒng)一為 ；立體幾何中柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式可以統(tǒng)一為 ；解析幾何中，橢圓、雙線、拋物線的定義可以簡(jiǎn)單地統(tǒng)一為圓錐曲線的第二定義；引入負(fù)數(shù)，有了相反數(shù)的概念后，有理數(shù)的加法和減法得到了統(tǒng)一，它們可以統(tǒng)一為代數(shù)和的形式；數(shù)、形本是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)獨(dú)立的對(duì)象，通過坐標(biāo)系的建立，使點(diǎn)與數(shù)對(duì)建立了一一對(duì)應(yīng)，從而把它們統(tǒng)一為解析幾何。

3、奇異性

數(shù)學(xué)的奇異性是指數(shù)學(xué)結(jié)論或解決問題方法的新穎、奇巧、出乎意料，往往勾起思想上的震動(dòng)，引起人們的贊賞與嘆服。在這種意義上奇異也是一種美，奇異到極點(diǎn)更是一種美。例如：用數(shù)形結(jié)合法，反證法，轉(zhuǎn)化法思想方法解題，用極限思想將循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)都給人以奇特之美感；復(fù)數(shù)中，向量將復(fù)數(shù)運(yùn)算與幾何統(tǒng)一起來(lái)；原函數(shù)與反函數(shù)之間的定義域與值域的相互變換，平面圖像與空間圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，三角形中三條高線、三條邊的中線、三個(gè)角的平分線交一點(diǎn)等都體現(xiàn)了奇異美。

此外，高中數(shù)學(xué)中有很多平滑曲線，如橢圓、雙曲線、拋物線，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象，這些曲線畫起來(lái)流暢自然，無(wú)一不給人以美感的享受；正、余玄曲線、象波浪一樣滾滾前進(jìn)，給我們運(yùn)動(dòng)的感覺，體驗(yàn)到動(dòng)感的美。

二、挖掘數(shù)學(xué)美在教學(xué)中的作用

高中數(shù)學(xué)新教材中，簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、和諧美、奇異美比比皆是。數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，挖掘教材中的美學(xué)因素，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，體驗(yàn)數(shù)學(xué)美，培養(yǎng)學(xué)生的審美觀，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)美在教學(xué)中的作用，將是非常有意義的工作。

1、利用數(shù)學(xué)美激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情

正確的學(xué)習(xí)目的對(duì)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)固然重要，但所學(xué)材料的情趣和審美價(jià)值卻是學(xué)習(xí)的最佳剌激。數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)充分挖掘教材的美學(xué)因素，把數(shù)學(xué)教學(xué)組織成為發(fā)現(xiàn)，鑒賞，創(chuàng)造數(shù)學(xué)的過程。

例1、在“橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程”一節(jié)的教學(xué)中，應(yīng)始終抓住橢圓具有和諧美，對(duì)稱美的基本特征，從定義到建系設(shè)點(diǎn)；從列式到布列方程；從化簡(jiǎn)到得出標(biāo)準(zhǔn)方程，無(wú)一不可以組織成為具有美學(xué)結(jié)構(gòu)，使學(xué)生在積極思考狀態(tài)中完成學(xué)習(xí)的一堂優(yōu)質(zhì)課。我認(rèn)為這節(jié)課的教學(xué)應(yīng)該這樣處理：

由|MF₁ |+|MF₂|=2a 得     ★

教師：方程★能不能作為橢圓的方程？（稍后）完全可以！但是你滿意嗎？（稍后）不滿意！它不符合數(shù)學(xué)美的簡(jiǎn)潔特征，有繼續(xù)化簡(jiǎn)的必要。

學(xué)生：（此時(shí)，求簡(jiǎn)的意識(shí)油然而生）經(jīng)兩次平方（根式化簡(jiǎn)的常規(guī)方法）整理得

教師：此方程比方程★簡(jiǎn)單多了，但它不完全符合數(shù)學(xué)美的要求。我們從橢圓的對(duì)稱性，期望它的方程也應(yīng)具有對(duì)稱性。

設(shè)  得

--------橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

教師最后指出：引進(jìn)的字母b純粹是由對(duì)美的追求人為制造出來(lái)的。通過后面的學(xué)習(xí)，我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)有著鮮明的幾何意義，并且果真符合對(duì)稱美的要求。

教師通過精心設(shè)計(jì)，生動(dòng)語(yǔ)言、精辟的分析、嚴(yán)密的推理、有機(jī)的聯(lián)系，定能使學(xué)生在美的熏陶中，體會(huì)到數(shù)學(xué)美的力量，從“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)枯燥無(wú)味”中解脫出來(lái)，進(jìn)入其樂無(wú)窮的境地。這種心理上得到滿足，能不使學(xué)生喜愛數(shù)學(xué)嗎？

2、利用數(shù)學(xué)美培養(yǎng)學(xué)生的審美能力

首先教師要引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)學(xué)美，體驗(yàn)數(shù)學(xué)美。通過具體數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和問題的解決，點(diǎn)拔蘊(yùn)含其中美的因素和美的方法，加深學(xué)生對(duì)美的認(rèn)識(shí)與理解。這就要求教師在平時(shí)的教學(xué)中不斷地挖掘教材中的數(shù)學(xué)美的內(nèi)容。

例2、對(duì)六組誘導(dǎo)公式的記憶，可以利用它們之間的和諧關(guān)系,把它們統(tǒng)一于式子 ，得到記憶法則只要用兩句簡(jiǎn)潔的話“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，就可以了。這創(chuàng)造性的語(yǔ)言，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。三角恒等變換中需要記憶的公式很多，我們可以從這些公式的內(nèi)在聯(lián)系入手，首先推導(dǎo)公式 ，然后從 ，得到兩角和與差的三角函數(shù)公式，令 ，又可得到兩倍角公式 、 、 ，作角與式的變換，又可得到降冪公式、半角公式以及積化和差、和差化積公式。

其次，教師要引導(dǎo)學(xué)生評(píng)判數(shù)學(xué)美，數(shù)學(xué)教育應(yīng)使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)美的分辨能力。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，善于了解和掌握各種數(shù)學(xué)信息，指導(dǎo)學(xué)生能快速，敏捷地找出數(shù)學(xué)信息的不同之處，辯出真?zhèn)危箶?shù)學(xué)信息有序化，統(tǒng)一化。

例3：一元二次方程 的求根公式: , 這一解無(wú)論從哪方面看都不對(duì)稱, 不和諧、不美觀。但是, 當(dāng)我們了解它、運(yùn)用它, 就會(huì)感到它的價(jià)值, 它的“內(nèi)秀”。這一公式會(huì)告訴我們?cè)S多信息: ±表示它的2 個(gè)根,  會(huì)顯示根的數(shù)目及方程的性質(zhì)。所以當(dāng)你和它熟悉了,就會(huì)覺得它形式上不很漂亮, 本質(zhì)卻是美好的。

通過數(shù)學(xué)美對(duì)學(xué)生審美能力的培養(yǎng)，學(xué)生能在數(shù)學(xué)美享受中啟迪心靈，引起精神升華，陶冶情操，提高思想品德修養(yǎng)，潛移默化地培養(yǎng)科學(xué)世界觀，形成高尚的情操和對(duì)真理的執(zhí)著追求。

3、利用數(shù)學(xué)美啟迪學(xué)生思維，開發(fā)學(xué)生智力和創(chuàng)造力

簡(jiǎn)單性可尋求問題的最優(yōu)解答或簡(jiǎn)縮思維過程；統(tǒng)一性可對(duì)命題作出類比，推廣和引伸，從而發(fā)現(xiàn)新問題；對(duì)稱性可培養(yǎng)學(xué)生對(duì)立統(tǒng)一的思維方式，提供集中思維和發(fā)散思維的思路；奇異性可激發(fā)學(xué)生探索，發(fā)現(xiàn)，創(chuàng)新等精神。

例4、正方體、等邊圓柱、球的表面積相同，其體積分別為 ，則大小關(guān)系為_____________。

推證 ：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，等邊圓柱底面半徑為r。球半徑為R，

則  所以  

而

所以

因?yàn)?span lang="EN-US"> ，所以

這個(gè)例題，基礎(chǔ)好的同學(xué)可以推導(dǎo)出結(jié)論，但感覺很繁。基礎(chǔ)較差的同學(xué)基本上就放棄了推證。若我就此只教會(huì)學(xué)生推證過程，所有同學(xué)都會(huì)感到數(shù)學(xué)枯燥無(wú)味，會(huì)失去對(duì)數(shù)學(xué)的積極情感，以致失去信心。于是我從問題與自然相互聯(lián)系的統(tǒng)一美、和諧美思考，提出兩個(gè)問題：

1）、氣球?yàn)槭裁闯是蛐危皇浅收叫?、圓柱形？

2）、人從瘦變胖，臉形怎樣變化？

這時(shí)同學(xué)們活躍起來(lái)，先是不明白這與例題有何關(guān)系，再經(jīng)過討論又覺得真實(shí)可信，漸漸得以明白：表面積（表皮）一定時(shí)，以呈球形的容積最大。再推廣：表面積（表皮）一定時(shí)，表面越光滑的幾何體體積越大。這時(shí)，我再讓學(xué)生做如下例題：

例題： 正四面體和等邊圓錐表面積相等，體積哪個(gè)大？

學(xué)生很快答出：等邊圓錐的體積較大。

至此學(xué)生已經(jīng)在不自覺中接受了這種思維，但我沒有結(jié)束問題，而又提出上述問題伴隨的問題。使學(xué)生領(lǐng)略到思維中的奇異美。

例5、 正方體、等邊圓柱、球的體積相等，其表面積分別為S₁，S₂ ，S₃，則S₁，S₂ ，S₃的大小關(guān)系為__________。

這次，學(xué)生很快就得出結(jié)論：S₁ S₂  S₃。

并總結(jié)：體積一定的幾何體，以球的表面積最小。

這樣，學(xué)生對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)問題的掌握、理解就比較透，也有利增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)其創(chuàng)新意識(shí)。也正是在這樣的教與學(xué)中，蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思維的對(duì)稱美、奇異美、和諧美，讓人有返璞歸真的感覺。

4、利用數(shù)學(xué)美提高學(xué)生分析解決問題的能力和效率

出于數(shù)學(xué)美的考慮而導(dǎo)致解題思路的設(shè)計(jì)與發(fā)現(xiàn)，叫做以美啟真，這種解題策略將數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、和諧美、奇異美與問題的條件或結(jié)論相結(jié)合，再憑借知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)與審美直覺，從而確定解題總體思路或入手方向。于是，美的啟示就幫助學(xué)生提高分析解決問題的能力，從而形成了數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法。

例6、設(shè)x+y+z=0，

分析：由已知可看出，條件具有對(duì)稱性，字母x，y，z分別作輪換 ，作為整體在輪換下保持不變，為追求欲求式中三項(xiàng)的和諧統(tǒng)一，審美直覺心理傾向于每個(gè)括號(hào)里各添一項(xiàng)，美化成關(guān)于 的統(tǒng)一式

解：原式=x +y +z

=(x+y+z) -3=-3

通過數(shù)學(xué)美的指引，獲得了解題的突破口，問題得到了完美的解決，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)美的作用。當(dāng)學(xué)生真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)中的美學(xué)因素，所帶來(lái)的快感莫過問題的解適合心靈的需要，我們?cè)诮忸}教學(xué)中若能充分注意到這一點(diǎn)，將會(huì)大大促進(jìn)學(xué)生邏輯思維的發(fā)展。如此的問題要靠我們教師在教學(xué)中挖掘并總結(jié)。我們應(yīng)充分利用數(shù)學(xué)的美學(xué)因素進(jìn)行教學(xué)分析和解題研究，以便提高學(xué)生分析問題的能力和效率。

以上觀點(diǎn)及論證，足以說明數(shù)學(xué)美學(xué)因素所起的作用，它在不知不覺中充當(dāng)了目標(biāo)取舍、方向確定、方式選擇的重要決策因素（這是審美能力的體現(xiàn)）。我們數(shù)學(xué)的教與學(xué)，若能更多地挖掘數(shù)學(xué)新教材中的美學(xué)因素，就會(huì)使學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，活躍數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的積極情感，提高學(xué)生分析數(shù)學(xué)問題的能力和效率。使我們的課堂展現(xiàn)出現(xiàn)更強(qiáng)的活力和魅力。

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