about 習(xí)題

基礎(chǔ)階段的復(fù)習(xí)是以課本為主，主要任務(wù)兩個(gè)，一是學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)（定義、定理、公式）并理解它們，二是完成一定的課后習(xí)題以檢驗(yàn)自己對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度。

很多人在學(xué)習(xí)中都容易忽視課本，覺(jué)得比起那些專門的參考資料，課本上的習(xí)題實(shí)際上是沒(méi)什么值得關(guān)注的，但其實(shí)不然，一套經(jīng)典的教材，它所配的習(xí)題很多都有值得我們?nèi)ネ诰虻牡胤健?br>
那么接下來(lái)我就說(shuō)說(shuō)我對(duì)我們用的教材上課后習(xí)題的解讀，希望能給同學(xué)們提示。因?yàn)楦邤?shù)的題目比較多，而我感覺(jué)每章的總習(xí)題有著更好的總結(jié)性，所以主要就說(shuō)說(shuō)總習(xí)題一到十二里我感覺(jué)值得注意的一些題目吧。


總習(xí)題一：

1是填空題，是考察與極限有關(guān)的一些概念，這個(gè)是很重要的，要掌握好。而且?guī)缀趺空碌目偭?xí)題都設(shè)了填空題，均與這些章節(jié)的重要概念有關(guān)。所以每章的總習(xí)題里的填空題所涉及的知識(shí)點(diǎn)，比如誰(shuí)是誰(shuí)的什么條件之類，務(wù)必要搞清楚。

2是無(wú)窮小的階的比較

3、4、5、6是與函數(shù)有關(guān)的題目，這個(gè)是學(xué)好高數(shù)的基礎(chǔ)，但卻不是高數(shù)側(cè)重的內(nèi)容，熟悉即可

7用定義證明極限，較難，一般來(lái)說(shuō)能理解極限的概念就可以了

8典型題，求各種類型極限，重要，6個(gè)小題各代表一種類型，其實(shí)求極限的題目基本跳不出這六種框架了

9典型題，選擇合適的參數(shù)，使函數(shù)連續(xù)，用連續(xù)的定義即可

10典型題，判斷函數(shù)的間斷點(diǎn)類型，按間斷點(diǎn)的分類即可

11較難的極限題，這里是要用到夾逼原理，此類題目技巧性強(qiáng)，體會(huì)一下即可

12證明零點(diǎn)存在的問(wèn)題，要用到連續(xù)函數(shù)介值定理，重要的證明題型之一，必需掌握

13該題目給出了漸近線的定義以及求法，要作為一個(gè)知識(shí)點(diǎn)來(lái)掌握，重要

綜上，第一章總習(xí)題要著重掌握的是1、2、8、9、10、12、13題


總習(xí)題二：

1填空題，不多說(shuō)了，重點(diǎn)

2非常好的一道題目，考察了與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的一些說(shuō)法，其中的干擾項(xiàng)（B）（C）設(shè)置的比較巧妙，因?yàn)槠綍r(shí)我們一般只注意到導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)存在的條件是左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等，容易忽視另一個(gè)重要條件：函數(shù)必須要在該點(diǎn)連續(xù)，否則何來(lái)可導(dǎo)？而（B）（C）項(xiàng)的問(wèn)題正是在于即使其中的極限存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，因?yàn)楦揪蜎](méi)出現(xiàn)f(a)，所以對(duì)f(x)在a處的情況是不清楚的。而對(duì)（A）項(xiàng)來(lái)說(shuō)只能保證右導(dǎo)數(shù)存在。只有（D）項(xiàng)是能確實(shí)的推出可導(dǎo)的

3物理應(yīng)用現(xiàn)在基本不要求了

4按定義求導(dǎo)數(shù)，不難，應(yīng)該掌握

5常見(jiàn)題型，判斷函數(shù)在間斷點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)情況，按定義即可

6典型題，討論函數(shù)在間斷點(diǎn)處的連續(xù)性和可導(dǎo)性，均按定義即可

7求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算層面的考察，第二章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容

8求二階導(dǎo)數(shù)，同上題

9求高階導(dǎo)數(shù)，需注意總結(jié)規(guī)律，難度稍大，體會(huì)思路即可

10求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，重要，?？碱}型

11求參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)，同樣是?？碱}型

12導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，重要題型

13、14、15不作要求

綜上，第二章總習(xí)題需重點(diǎn)掌握的題目是1、2、4、5、6、7、8、10、11、12

第三章的習(xí)題都比較難，需要多總結(jié)和體會(huì)解題思路



總習(xí)題三

1零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論問(wèn)題，典型題，需掌握

2又一道設(shè)置巧妙的題目，解決方法有很多，通過(guò)二階導(dǎo)的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)增量與導(dǎo)數(shù)、微分的大小關(guān)系，07年真題就有一道題目由此題改造而來(lái)，需重點(diǎn)體會(huì)

3舉反例，隨便找個(gè)有跳躍點(diǎn)的函數(shù)即可

4中值定理和極限的綜合應(yīng)用，重要題目，主要從中體會(huì)中值定理的妙處

5零點(diǎn)問(wèn)題，可用反證法結(jié)合羅爾定理，也可正面推證，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，此題非典型題

6、7、8中值定理典型題，要證明存在零點(diǎn)，可構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，再利用羅爾定理，此類題非常重要，要細(xì)心體會(huì)解答給出的方法

9非常見(jiàn)題型，了解即可

10羅必達(dá)法則應(yīng)用，重要題型，重點(diǎn)掌握

11不等式，一般可用導(dǎo)數(shù)推征，典型題

12、13極值及最值問(wèn)題，需要掌握，不過(guò)相對(duì)來(lái)說(shuō)多元函數(shù)的這類問(wèn)題更重要些

14、15、16不作要求

17非常重要的一道題目，設(shè)計(jì)的很好，需要注意題目條件中并未給出f''可導(dǎo)，故不能連用兩次洛必達(dá)法則，只能用一次洛必達(dá)法則再用定義，這是此題的亮點(diǎn)

18無(wú)窮小的階的比較，一是可直接按定義，二是可將函數(shù)泰勒展開(kāi)，都能得到結(jié)果，此題考察的是如何判斷兩個(gè)量的階的大小，重要

19對(duì)凹凸性定義的推廣，用泰勒公式展開(kāi)到二階可較方便的解決，此題可看作泰勒公式應(yīng)用的一個(gè)實(shí)例，重在體會(huì)其思想

20確定合適的常數(shù)，使得函數(shù)為給定的無(wú)窮小量，典型題，且難度不大

綜上，第三章總習(xí)題需要重點(diǎn)掌握的是1、2、4、6、7、8、10、11、12、13、17、18、20


第四章沒(méi)有什么可說(shuō)的重點(diǎn)，能做多少是多少吧……

積分的題目是做不完的。

當(dāng)然，如果你以那種不破樓蘭終不還的決心和氣勢(shì)，最終把所有題目搞定了，這還是值得恭喜的，盡管可能這會(huì)花掉很多時(shí)間，但仍然是值得的……因?yàn)檫@有效的鍛煉了思維。


總習(xí)題五

1填空，重要，但第（2）、（3）問(wèn)涉及廣義積分，不作要求

2典型題，前3題用定積分定義求極限，需重點(diǎn)掌握，尤其是要體會(huì)如何把和式改寫為相應(yīng)的積分式，積分區(qū)間和被積函數(shù)如何定，這個(gè)是需要適當(dāng)?shù)木毩?xí)才能把握好的，后2題涉及積分上限函數(shù)求導(dǎo)，也是常見(jiàn)題型

3分別列出三種積分計(jì)算中最可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，需細(xì)心體會(huì)，重要

4利用定積分的估值證明不等式，技巧性較強(qiáng)

5兩個(gè)著名不等式的積分形式，不作強(qiáng)制要求，了解即可

6此題證明要用5題中的柯西不等式，不作要求

7計(jì)算定積分，典型題

8證明兩個(gè)積分相等，可用一般方法，也可利用二重積分的交換積分次序，設(shè)計(jì)巧妙的重點(diǎn)題目

9同樣是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，只不過(guò)對(duì)象變得比一般函數(shù)復(fù)雜，是積分上限函數(shù)，但本質(zhì)和第三章的類似題目無(wú)區(qū)別，不難掌握

10分段求積分，典型題

11證明積分第一中值定理，要用到連續(xù)函數(shù)的介值定理，難度高于積分中值定理的證明，可作為提高和鍛煉性質(zhì)的練習(xí)

綜上，總習(xí)題五需要重點(diǎn)掌握的題目是1、2、3、7、8、9、10


定積分的應(yīng)用一塊的考察，現(xiàn)在更偏重的是幾何應(yīng)用

1物理應(yīng)用，跳過(guò)

2所涉及到的圖形較為復(fù)雜，是兩個(gè)圓，其中第二個(gè)是旋轉(zhuǎn)了一定角度的圓，不易看出，此題可作為一個(gè)提高性質(zhì)的練習(xí)

3重點(diǎn)題，積分的幾何應(yīng)用和極值問(wèn)題相結(jié)合，?？碱}型之一

4旋轉(zhuǎn)體體積，需注意的是繞哪條線形成的旋轉(zhuǎn)體，所繞的軸不同的話，結(jié)果不同

5求弧長(zhǎng)，非典型題，了解即可

6、7、8均為物理應(yīng)用，不作要求，有興趣的不妨一試

綜上，總習(xí)題六實(shí)際上就2、3、4題需要引起注意


第七章空間解析幾何，只對(duì)數(shù)一的同學(xué)有要求，數(shù)二三四的就直接pass吧

總習(xí)題七

1填空，向量代數(shù)的基本練習(xí)，必不可少

2、3、4、5都是平面向量幾何的題目，不太重要，不過(guò)適當(dāng)練習(xí)可以培養(yǎng)起用向量的方式來(lái)思考問(wèn)題的習(xí)慣

7、8、9、10、11都是與向量有關(guān)的運(yùn)算，包括加（減），數(shù)乘、點(diǎn)積（相應(yīng)的意義是一個(gè)向量在另一個(gè)向量的投影）、兩向量的夾角、叉積（相應(yīng)的意義是平行四邊形的面積），要通過(guò)這些題目熟悉向量的各種運(yùn)算，重要

12用證明題的形式來(lái)考察對(duì)混合積的掌握，需掌握

13按定義寫點(diǎn)的軌跡方程，解析幾何中的常見(jiàn)題，了解基本做法即可

14旋轉(zhuǎn)曲面相關(guān)題目，非常重要，要搞清楚繞某一軸旋轉(zhuǎn)后的旋轉(zhuǎn)曲面寫法

15、16求平面的方程，順帶可復(fù)習(xí)平面方程的類型，這類問(wèn)題的解決辦法一般是先從立體幾何中考慮，想到做法再翻譯成解析幾何的語(yǔ)言，重在思路的考察，需多加練習(xí)

17求直線方程，同上題

18解析幾何與極值的混合問(wèn)題，也是一類典型題

19、20考察投影曲線和投影面，這部分知識(shí)是多重積分計(jì)算的基礎(chǔ)，要重點(diǎn)掌握

21畫出曲面所圍的立體圖形，有一定難度，是對(duì)空間想象能力的鍛煉，盡量都掌握

綜上，總習(xí)題七需重點(diǎn)掌握的題目是1、7、8、9、10、11、12、14、15、16、17、18、19、20


下冊(cè)的內(nèi)容有很多數(shù)二數(shù)三數(shù)四不考，因此我在解讀習(xí)題時(shí)盡量標(biāo)注出是數(shù)一要求的，大家平時(shí)也多查查考綱或者翻翻計(jì)劃，這樣對(duì)于哪些考哪些不考就更清楚了。


總習(xí)題八：

1填空，很重要

2選擇，著重考查一條說(shuō)法，偏導(dǎo)數(shù)存在未必可微，這個(gè)是無(wú)論數(shù)幾都需要的，還有就是偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，這個(gè)只數(shù)一要求

3基本題，求二元函數(shù)的定義域和極限，因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，直接用“代入法”求極限就可以了

4典型題，判斷極限存在性，考察如果證明一個(gè)二元函數(shù)的極限是不存在的（常用方法是取兩條路徑）

5典型題，求偏導(dǎo)數(shù)，注意在連續(xù)區(qū)間內(nèi)按求導(dǎo)法則求，在間斷點(diǎn)處只能按定義求

6求高階偏導(dǎo)數(shù)，到二階的題目需要熟練掌握

7微分的概念，簡(jiǎn)單題目，直接按微分和增量的定義即可

8重點(diǎn)題型，對(duì)一個(gè)二元函數(shù)，考察其在某點(diǎn)的連續(xù)性、偏導(dǎo)存在情況和可微性，務(wù)必熟練此類題目

9、10、11、12復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，重點(diǎn)題型，要多加練習(xí)的一類題目，復(fù)合函數(shù)中哪些自變量是獨(dú)立的，哪些是不獨(dú)立的，還有各自對(duì)應(yīng)關(guān)系，判斷好這些是解題的關(guān)鍵

13、14分別是極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)情形下偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，數(shù)一要求

15、16方向?qū)?shù)相關(guān)題目，該知識(shí)點(diǎn)與第十一章聯(lián)系密切，重要，數(shù)一要求

17、18多元函數(shù)的極值問(wèn)題，典型題，且通常都是結(jié)合條件極值來(lái)考，這類題目一定要熟練，其中08年真題中一道極值題目就是把17題中的柱面改成錐面，其它完全一樣，由此可見(jiàn)對(duì)課本要重新重視。

綜上，總習(xí)題八需要重點(diǎn)掌握的題目是1、2、4、5、6、8、9、10、11、12、13（數(shù)一）、14（數(shù)一）、15（數(shù)一）、16（數(shù)一）、17、18


第九章的內(nèi)容中，二重積分以外的內(nèi)容是數(shù)二三四不要求的，就不在題號(hào)后一一寫明了

總習(xí)題九

1選擇題，實(shí)際是考察多重積分的對(duì)稱性，屬于典型題，在多重積分的情況下，對(duì)稱性的應(yīng)用比定積分要復(fù)雜，重要，第（1）小問(wèn)是三重積分，只數(shù)一要求，第（2）小問(wèn)是二重積分

2、3基本題型，計(jì)算二重積分或者是交換二重積分的順序，需要熟練掌握

4利用交換積分次序證明等式，體會(huì)一下方法即可

5基本題型，利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分，實(shí)際上在計(jì)算多重積分時(shí)本就要求根據(jù)不同的積分區(qū)域選擇合適的坐標(biāo)系，這是一個(gè)基本能力，重要

6確定三重積分的積分區(qū)域，比較鍛煉空間想象能力的一類題，重要

7計(jì)算三重積分，基本題型，仍然要注意區(qū)域不同，所選坐標(biāo)系不同

8重積分的幾何應(yīng)用，從二重積分的角度，或者從三重積分的角度都可以求解，此題要求數(shù)二三四考生也掌握

9、10、11是重積分的物理應(yīng)用，不作要求

綜上，總習(xí)題九需要重點(diǎn)掌握的題目是1、2、3、5、6、7、8


第十章的內(nèi)容全部針對(duì)數(shù)一

總習(xí)題十

1填空，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是兩類線、面積分之間的聯(lián)系，重要

2選擇，考察的是第一類曲面積分的對(duì)稱性，與重積分的對(duì)稱性類同，重點(diǎn)題型。需要注意，第二類線、面積分與第一類會(huì)有所不同，因?yàn)榈诙惥€、面積分的被積元也有符號(hào)，這是和第一類線、面積分的區(qū)別

3計(jì)算曲線積分，基本題型，需要多加練習(xí)，六個(gè)小題基本覆蓋了曲線積分計(jì)算題的類型

4計(jì)算曲面積分，基本題型，要求同上題。注意在計(jì)算線、面積分時(shí)，方法很多，常用的有直接轉(zhuǎn)化成定積分或二重積分，或用Green公式，Guass定理，在用這兩個(gè)定理時(shí)又要注意其成立的條件是所圍區(qū)域不能有奇點(diǎn)，甚至不是閉區(qū)域要先補(bǔ)線或者補(bǔ)面，此類題目一定要熟練掌握

5全微分的相關(guān)等價(jià)說(shuō)法，典型題，順帶可回顧一下與全微分有關(guān)的一系列等價(jià)命題

6、7線面積分的物理應(yīng)用，不作要求

8證明，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，覆蓋面廣，通過(guò)此題的練習(xí)可回憶和鞏固線面積分的幾乎所有知識(shí)點(diǎn)（把梯度和方向?qū)?shù)包括進(jìn)來(lái)了），推薦掌握

9從流量的角度出發(fā)理解第二類曲面積分，基本題型

10用Stokes定理積分空間曲線積分，基本題型，01年考過(guò)

綜上，總習(xí)題十需要重點(diǎn)掌握的題目是1、2、3、4、5、8、9、10


第十一章是級(jí)數(shù)，數(shù)二數(shù)四不要求，其中傅立葉級(jí)數(shù)對(duì)數(shù)三無(wú)要求

總習(xí)題十一

1填空，涉及級(jí)數(shù)斂散性的相關(guān)說(shuō)法，重要

2判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性，典型題，綜合應(yīng)用比較、比值、根值三種方法，在用比較判別法時(shí)實(shí)際就是比較兩個(gè)通項(xiàng)是否同階無(wú)窮小，這樣可讓思路更清晰

3抽象級(jí)數(shù)的概念題，重點(diǎn)題型之一，要利用級(jí)數(shù)收斂的相關(guān)性質(zhì)判斷

4設(shè)置了陷阱的概念題，因?yàn)楸容^判別法只對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)成立，也是重點(diǎn)題型之一

5判斷級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂，典型題，通過(guò)這些練習(xí)來(lái)加強(qiáng)對(duì)這類題目的熟練度

6利用收斂級(jí)數(shù)的通項(xiàng)趨于零這一說(shuō)法來(lái)判斷極限，體會(huì)方法即可

7求冪級(jí)數(shù)的收斂域，典型題，要多加練習(xí)，注意搞清楚收斂域、收斂半徑、收斂區(qū)域的區(qū)別

8求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，典型題，重要，一般求和函數(shù)都不用直接法而用間接法，即通過(guò)對(duì)通項(xiàng)作變形（逐項(xiàng)積分或求導(dǎo)等），再利用已知的常見(jiàn)函數(shù)的展開(kāi)式得到結(jié)果，注意求出和函數(shù)不要忘記相應(yīng)的收斂域。

9利用構(gòu)造冪級(jí)數(shù)來(lái)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，也是一類重要題型

10將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)，與8是互為反問(wèn)題，仍是多用間接展開(kāi)法，方法上異曲同工，需要熟練掌握，同樣注意不要忘記收斂域

11、12傅立葉級(jí)數(shù)的相關(guān)題目，基本題，此類題目記得相應(yīng)的系數(shù)表達(dá)式就可解決，一般來(lái)說(shuō)至少要掌握周期為pi的情形。注意傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)的系數(shù)公式難記，只能平時(shí)多加回顧，還有不要忽略了在非連續(xù)點(diǎn)展開(kāi)后的傅氏級(jí)數(shù)的收斂情況（即狄利赫萊收斂定理）

綜上，總習(xí)題十一需要重點(diǎn)掌握的題目是1、2、3、4、5、7、8、9、10、11


第十二章微分方程，二階以上的方程對(duì)數(shù)四不作要求，下面不再詳細(xì)說(shuō)明

總習(xí)題十二

1填空，涉及微分方程理論的若干說(shuō)法，基本題，第（2）問(wèn)只數(shù)一要求

2通過(guò)解的形式觀察出相應(yīng)的微分方程，典型題，其中第（2）問(wèn)更重要

3、4求解不同類型的微分方程，通過(guò)這些題目的練習(xí)，基本對(duì)各種方程的解法有一定了解，同時(shí)也培養(yǎng)了一些解題思路和技巧，重要。其中涉及到全微分方程的幾個(gè)小題只數(shù)一有要求

5微分方程的幾何應(yīng)用，基本題

6微分方程的物理應(yīng)用，不作要求

7由積分方程推導(dǎo)微分方程，典型題，要求掌握

8用變量代換化簡(jiǎn)微分方程，典型題，只對(duì)數(shù)一有要求，注意在代換過(guò)程中要搞清楚變量和變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系

9涉及微分方程基本理論的題目，非常見(jiàn)題型，但可體會(huì)其出題思路

10歐拉方程的練習(xí)，數(shù)一要求