進(jìn)而比較相鄰兩數(shù)之差，可以發(fā)現(xiàn)

　　由此可以推得，左起第1994個(gè)數(shù)比第1993個(gè)數(shù)大

　　1994+1993=3987

　　答：左起第1994個(gè)數(shù)比第1993個(gè)數(shù)大3987。

　　例87 有一列數(shù) 1、2、4、7、11、16、22、29、……這列數(shù)左起第1994個(gè)數(shù)除以5的余數(shù)是多少？

　　分析與解 觀察這一列數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)它排列的規(guī)律是：第2個(gè)數(shù)比第1個(gè)數(shù)多1；第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)多2；第4個(gè)數(shù)比第3個(gè)數(shù)多3；……依次類推。這樣我們就可以先求出第1994個(gè)數(shù)是幾，再算出這個(gè)數(shù)除以5的余數(shù)是多少了。

　　左起第1994個(gè)數(shù)是

　　1+1+2+3+…+1993

　　=1+1987021

　　=1987022

　　再計(jì)算1987022除以5的余數(shù)，得到余數(shù)是2。

　　也可以這樣思考：

　　根據(jù)這列數(shù)排列的規(guī)律，我們先列出前15個(gè)數(shù)，然后再算一下這15個(gè)數(shù)被5除的余數(shù)。列表如下：

　　從上表可以看出、第1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)被5除的余數(shù)，與第6、7、8、9、10五個(gè)數(shù)被5除的余數(shù)對應(yīng)相同、也與第11、12、13、14、15五個(gè)數(shù)被5除的余數(shù)對應(yīng)相同。由此得出，這一列數(shù)被5除的余數(shù)，每隔5個(gè)數(shù)循環(huán)出現(xiàn)。

　　因?yàn)?994=5×398+4，所以第1994個(gè)數(shù)被5除得到的余數(shù)，與第四個(gè)數(shù)除以5得到的余數(shù)一樣，也就是余數(shù)為2。

　　答：這列數(shù)左起第1994個(gè)數(shù)除以5得到的余數(shù)是2。

　　例88 有1994名同學(xué)按編號從小到大排成一排，令奇數(shù)號位（1號位、3號位……）上的學(xué)生離隊(duì)。余下的同學(xué)順序不變，再令其中站在新編號為奇數(shù)號位上的同學(xué)離隊(duì)。依次重復(fù)上面的做法，那么最后留下來的同學(xué)，在開始時(shí)是排在第幾號位上的？

　　答：最后留下來的同學(xué)，在開始時(shí)是排在第1024號位上的。

　　例89 把乒乓球裝在6個(gè)盒中，每盒裝的個(gè)數(shù)分別為1個(gè)、3個(gè)、9個(gè)、27個(gè)、8l個(gè)、243個(gè)。從這6盒中，每次取其中1盒，或取其中幾盒，計(jì)算乒乓球的個(gè)數(shù)之和，可以得到63個(gè)不同的和。如果把這些和從小到大依次排列起來，是1個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、9個(gè)、10個(gè)、12個(gè)、……，那么第60個(gè)和是多少個(gè)？

　　分析與解 首先應(yīng)該想到，不能用從取1盒、取2盒、……去計(jì)算乒乓球個(gè)數(shù)之和的辦法，去尋找第60個(gè)和是多少個(gè)。根據(jù)題意，第63個(gè)兵乓球個(gè)數(shù)之和是很容易計(jì)算出來的，而第60個(gè)兵乓球個(gè)數(shù)之和與它相差不多，例推回去，就可以得出結(jié)果了。

　　根據(jù)已知，第63個(gè)乒乓個(gè)數(shù)之和是

　　1+3+9+27+81+243=364

　　于是第62個(gè)乒乓球個(gè)數(shù)之和應(yīng)該是

　　364-1=363

　　第61個(gè)乒乓球個(gè)數(shù)之和應(yīng)該是

　　364-3=361.

　　第60個(gè)乒乓球個(gè)數(shù)之和應(yīng)該是

　　364-3-1=360

　　答：第60個(gè)乒乓球個(gè)數(shù)之和是360。

　　例90 有甲、乙、丙、丁四個(gè)人，他們的年齡一個(gè)比一個(gè)大2歲，這四個(gè)人年齡的乘積是48384。這四個(gè)人的年齡各是幾歲？

　　分析與解 題中告訴我們，48384是四個(gè)人年齡的乘積，只要我們把48384分解質(zhì)因數(shù)，再按照每組相差2來分成四個(gè)數(shù)相乘，這四個(gè)數(shù)就是四個(gè)人的年齡了。

　　=12×14×16×18

　　由此得出這四個(gè)人的年齡分別是12歲、14歲、16歲、18歲。

　　也可以這樣想：

　　由題意可知，這四個(gè)數(shù)是相差2的四個(gè)整數(shù)。它們的積是偶數(shù)，當(dāng)然這四個(gè)數(shù)不是奇數(shù)，一定是偶數(shù)。又因?yàn)?8384的個(gè)位數(shù)字不是0，顯然這四個(gè)數(shù)中，沒有個(gè)位數(shù)字是0的，那么這四個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定是2、4、6、8。

　　答：這四個(gè)人的年齡分別是12歲、14歲、16歲、18歲。

　　例91 把分母為60的最簡假分?jǐn)?shù)從小到大排列，第1994個(gè)分?jǐn)?shù)是幾分之幾？

　　分析與解 直接求出第1994個(gè)假分?jǐn)?shù)是幾分之幾，是不大容易的。我們不妨換一下思考的角度，那就是將假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)去思考，求出第1994個(gè)帶分?jǐn)?shù)是幾又幾分之幾，再把這個(gè)帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)就可以了。

　　由于分母是60的最簡真分?jǐn)?shù)共有16個(gè)，把它們從小到大排列起來，依

　　由此可知，分母為60的最簡假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)后，由小到大依次排列，

　　因?yàn)?994÷16=124……10，所以第1994個(gè)帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分是

　　答：第1994個(gè)最簡假分?jǐn)?shù)是7537/60。

　　例92 有 A、B、C、D、E五個(gè)小足球隊(duì)參加足球比賽，到現(xiàn)在為止，A隊(duì)賽了4場，B隊(duì)賽了3場，C隊(duì)賽了2場，D隊(duì)賽了1場。那么E隊(duì)賽了幾場？

　　分析與解 把參賽的五個(gè)球隊(duì)看成平面上不在同一條直線上的五個(gè)點(diǎn)，并且沒有3個(gè)點(diǎn)在一條直線上。這樣每兩隊(duì)比賽了1場，就可以用相應(yīng)的兩點(diǎn)間連一條線段來表示。根據(jù)各隊(duì)比賽過的場次可畫成圖55。

　　從上圖不難看出，E隊(duì)賽了2場。

　　答：E隊(duì)賽了2場。

　　例93 有4個(gè)不同的自然數(shù)a、b、c、d，而且a＜b＜c＜d。又知道a比b小5，d比c大7，這四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 17，那么d最大是多少？最小是多少？

　　分析與解 題中告訴我們，四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是17，那么這四個(gè)數(shù)的和就是17×4=68。

　　題中問d最大是多少。要使d最大，那么a就要盡量小。因?yàn)檫@四個(gè)數(shù)都是自然數(shù)，所以a最小為1。又因?yàn)閍比b小5，所以這時(shí)b為6。這樣不難求出這時(shí)c與d的和是68-1-6=61。題中又告訴我們，d比c大7，這樣就可以求出這時(shí)d是61+7/2=34，即d最大是34。

　　那么d最小是多少呢？

　　題中告訴我們，a比b小5，d比c大7，a、b、c、d四個(gè)數(shù)之和是68，而68+5+7之和正好是b與d的和的2倍，因此b與d的和是（68+5+7）÷2=40。要使d最小，那么a、b、c就要盡量大，而b與c的差應(yīng)該盡量小，而b與c的差最小是1，這樣b與d之差就是1+7=8。由此得出d最小是：40+8/2=24

　　答：d最大是34，最小是24。

　　例94 一個(gè)正方體有六個(gè)面，分別用字母A、B、C、D、E、F表示。圖56是從三個(gè)不同角度看到的這個(gè)正方體的部分面的字母。那么這個(gè)正方體到底哪個(gè)面與哪個(gè)面相對？

　　分析與解 觀察題中給出的三個(gè)圖，不容易看出哪個(gè)面與哪個(gè)面相對。那就換一種思考方法，看看哪個(gè)面不對著哪個(gè)面，從而得出哪個(gè)面與哪個(gè)面相對的正確結(jié)論。

　　觀察圖（1）可知，A面不對著D面、E面；觀察圖（2）可知，A面不對著B面、F面。由此得出，A面一定對著C面。

　　再觀察圖（2），可以知道，F(xiàn)面不對著A面、B面；觀察（3）可以知道，F(xiàn)面不對著C面、D面。那么F面一定對著E面。

　　這樣剩下的B面一定對著D面。

　　答：這個(gè)正方體的A面對著C面；B面對著D面；E面對著F面。

　　例95 一次乒乓球比賽，共有512名乒乓球運(yùn)動(dòng)員參加比賽。比賽采用淘汰制賽法，兩個(gè)人賽一場，失敗者被淘汰，將不再參加比賽；獲勝者進(jìn)入下輪比賽，如此進(jìn)行下去，直到?jīng)Q賽出第一名為止。問這次乒乓球比賽一共要比賽多少場？

　　分析與解 如果這樣去想，第一輪512名運(yùn)動(dòng)員參賽，要賽256場；第二輪256名運(yùn)動(dòng)員參賽，要賽128場；……直到?jīng)Q賽出第一名為止，再將各輪比賽場次加起來，計(jì)算出一共要比賽多少場。這種方法是可以的，不過太復(fù)雜了。

　　如果按下面的思路思考，那就簡單得多了。

　　根據(jù)題中所說，比賽采取淘汰制，每比賽一場淘汰掉1人，到最后決賽得出第一名，只有這第一名未被淘汰。也就是說，512名運(yùn)動(dòng)員參賽，有511人被淘汰。淘汰一個(gè)人就要賽一場，所以這次乒乓球比賽一共要進(jìn)行511場比賽。

　　答：這次乒乓球比賽，一共要比賽 511場。

　　例96 一只杯子里裝著紅葡萄酒，一只杯子里裝著白酒，都是300毫升?，F(xiàn)在從裝著紅葡萄酒的杯中倒出30毫升紅葡萄酒與白酒混合，混合均勻后，再從混合的酒中取出30毫升倒回裝紅葡萄酒的杯中，每個(gè)杯中的酒仍然是300毫升。問這時(shí)是紅葡萄酒杯中的白酒多呢？還是白酒杯中的紅葡萄酒多呢？

　　分析與解 解答這題不應(yīng)從具體數(shù)量上分析入手，因?yàn)槟菢佑?jì)算就太復(fù)雜了。

　　根據(jù)題中條件，紅葡萄酒和白酒的數(shù)量都是300毫升，我們用V表示。白酒中紅葡萄酒的含量用a表示，紅葡萄酒中白酒的含量用b表示。于是白酒杯中的酒是

　　V=（V-b）+a

　　紅葡萄酒杯中的酒是

　　V=（V-a）+b

　　因此，（V-b）+a=（V-a）+b

　　那么 a-b=b-a

　　2a=2b

　　所以 a=b

　　這就是說，白酒里的紅葡萄酒與紅葡萄酒里的白酒是一樣多的。

　　當(dāng)然題目還可以改為：“不等混合均勻，又倒回30毫升”，那該是怎樣的結(jié)果呢？

　　這個(gè)問題的回答是：結(jié)果與前面完全一樣，其中的道理也就不用再說了。

　　答：紅葡萄酒中的白酒與白酒中的紅葡萄酒一樣多。

　　例97 甲盒中有1993個(gè)白棋子和1994個(gè)黑棋子，乙盒中有足夠多的黑棋子?，F(xiàn)在每次從甲盒中任取2個(gè)棋子放在外面。如果被取出的2個(gè)棋子是同顏色的，就從乙盒中取1個(gè)黑棋子放入甲盒；如果取出的2個(gè)棋子是不同顏色的，便將那個(gè)白棋子再放回到甲盒中去。這樣經(jīng)過3985次取、放之后，甲盒中還剩下幾個(gè)棋子？它們是什么顏色的？

　　分析與解 根據(jù)題意，甲盒中共有1993+1994= 3987（個(gè)）棋子。每次取出2個(gè)棋子后又放回到甲盒中1個(gè)棋子，實(shí)際每次取、放后，甲盒中減少1個(gè)棋子。因此，經(jīng)過3985次取、放后，甲盒中還剩下3987-3985=2個(gè)棋子。

　　根據(jù)題中所說的取、放方法，每次取、放之后，甲盒中要么減少1個(gè)黑棋子，要么減少2個(gè)白棋子增加1個(gè)黑棋子。顯然，甲盒中的白棋子總是兩個(gè)兩個(gè)地減少。而甲盒中有1993個(gè)白棋子，那么，最后必定剩下1個(gè)白棋子。另外剩下的那個(gè)棋子一定是黑色的。

　　答：甲盒中還剩下2個(gè)棋子，1個(gè)白色的，1個(gè)黑色的。

　　例98 某市電話403局的各戶電話號碼是4030000～4039999。那么除局號外其余4個(gè)數(shù)碼中的前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和不相等的電話號碼共有多少個(gè)？

　　分析與解 我們知道，403局的電話號碼0000～9999，共有10000個(gè)號碼。而前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和相等的號碼的個(gè)數(shù)，比前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和不相等的號碼的個(gè)數(shù)少得多。因此，要求前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和不相等的電話號碼的個(gè)數(shù)，應(yīng)該先求出前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和相等的個(gè)數(shù)，再從 10000中減去這個(gè)數(shù)，所得的結(jié)果就是題目所要求的電話號碼的個(gè)數(shù)了。

　　那么除局號外，在其余4個(gè)數(shù)碼中，前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和相等的號碼有多少個(gè)呢？

　　我們知道，在這些號碼中，兩個(gè)號碼之和最小的是0，最大的是18。

　　前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為0的，只用到數(shù)字0，即0000。前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為18的，只用到數(shù)字9，即9999。顯然，前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為0或18的，都只用到1個(gè)數(shù)字，各有1個(gè)號碼。

　　再看前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為1的情況。這時(shí)只用到0和1兩個(gè)數(shù)字，它們是0101、0110、1010、1001，共4個(gè)號碼。前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為17的，只用到8和9兩個(gè)數(shù)字，它們是

　　8989、8998、9898、9889，共4個(gè)號碼。顯然，前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為1或17的，都用到2個(gè)數(shù)字，各有4個(gè)號碼。

　　我們再看看前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為2的情況。這時(shí)只用到0、1、2三個(gè)數(shù)字，它們是0202、0220、2020、2002、1102、0211、2011、1120、1111，共9個(gè)號碼。前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為16的，用到 7、8、9三個(gè)數(shù)字，它們是7979、7997、9797、9779、8879、7988、8897、9788、8888，共9個(gè)號碼。顯然，前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為2或16的，都用到3個(gè)數(shù)字，各有9個(gè)號碼。

　　前面已經(jīng)說了，前、后兩個(gè)數(shù)碼之和最小的是0，最大的是18，共有19種情況。我們把這19種情況，即用到數(shù)字的個(gè)數(shù)及號碼的數(shù)，列成下表。

　　從上表不難看出，前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)之和相等的號碼共有

　　=（1+4+9+16+25+36+49+64+81）×2+100

　　=285×2+100

　　=570+100

　　=670（個(gè)）

　　于是得出，除局號外，在其余的四個(gè)數(shù)碼中，前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和不相等的電話號碼共有

　　10000-670=9330（個(gè)）

　　答：前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和不相等的電話號碼共有 9330個(gè)。

　　例99 用紅、黃、藍(lán)三種顏色把圖57中8個(gè)圓圈涂上顏色，每個(gè)圓圈只許涂一種顏色，并且有連線的兩端的圓圈不能涂上相同的顏色，那么共有多少種不同的涂法？

　　分析與解 根據(jù)題中條件，首先要想到中間菱形的四個(gè)圓圈連線最多，應(yīng)該從這里開始思考。為了說明方便，先用字母表示圖中各圓圈，如圖58所示。

　　假如在A圓圈內(nèi)涂紅色，那么B、C、D三個(gè)圓圈的涂色方法有六種，如圖59所示。

　　因?yàn)锳圓圈可以涂紅、黃、藍(lán)三種顏色，所以A、B、C、D四個(gè)圓圈的涂色方法共6×3=18種。

　　又因?yàn)锳、B、C、D都有一條線分別與E、F、G、H相連，所以 E、F、 G、H各有2種不同的涂法，由此共有18×2×2×2×2=288種不同的涂法。

　　答：共有288種不同的涂法。

　　例100 9月1日開學(xué)那天，五年級數(shù)學(xué)科代表向李老師匯報(bào)說：“李老師，我們100個(gè)同學(xué)，在暑假里一共做了1600道數(shù)學(xué)題。”李老師聽了非常高興，當(dāng)即表揚(yáng)了他們，并且說：“你們100個(gè)人中，至少有4個(gè)人做的數(shù)學(xué)題的數(shù)目一樣多。”李老師說的這句話對嗎？為什么？

　　分析與解 根據(jù)題意，把100個(gè)學(xué)生按3人為一組，分成33組，還剩下1個(gè)學(xué)生。

　　假設(shè)第1組3個(gè)學(xué)生都沒做題，即每人做了0道題；第2組3個(gè)學(xué)生每人做1道題；第3組3個(gè)學(xué)生每人做2道題；…… 第33組3個(gè)學(xué)生每人做32道題。剩下的一個(gè)學(xué)生要是與前面的99個(gè)學(xué)生做的題數(shù)不相同，最少也要做33道題。這樣100個(gè)學(xué)生最少共做了

　　3×（0+1+2+3+4+…+31+32）+33

　　=3×528+33

　　=1584+33

　　=1617（道）

　　超過了1600道題。要是不超過1600道題，必須有1個(gè)或更多的學(xué)生少做題，合起來共少做了17道題。其實(shí)只要有1個(gè)學(xué)生少做了題，這個(gè)學(xué)生就會(huì)歸到其它做題少的那組中去。這樣一來，那個(gè)組就會(huì)有4個(gè)學(xué)生做題一樣多了。

　　因此，李老師的話是正確的。