無(wú)窮，這是一個(gè)比較抽象的概念，如果我們說(shuō)無(wú)窮，可能第一印象是那些很大很大的數(shù)，所以我們先從比較直觀(guān)的大數(shù)開(kāi)始。

大數(shù)與無(wú)窮大

在漢語(yǔ)中，如果我們要具體表示數(shù)量大小的話(huà)，我們可以用十，百，千，萬(wàn)，或是它們的組合一百萬(wàn)，一千億，一萬(wàn)萬(wàn)億等等去表示。如果是英語(yǔ)的話(huà)，我們就用hundred,thousand,million等去表示。當(dāng)一個(gè)中國(guó)人對(duì)你說(shuō)出一萬(wàn)億億，或是一個(gè)美國(guó)人民用著正宗的倫敦音跟你說(shuō)ten billion的時(shí)候，你是不是覺(jué)的這些數(shù)字已經(jīng)有點(diǎn)震撼到你了？其實(shí)這還只是熱身。大家都用過(guò)Google吧，如果你對(duì)IT界的八卦比較熟悉的話(huà)，那么你應(yīng)該知道，Google這個(gè)名字來(lái)源與西方世界的一個(gè)單詞Googol，這是西方世界中能夠用獨(dú)立名詞說(shuō)出來(lái)的最大數(shù)，它為10的100次方。但這還不是最大的，在除了“浩瀚無(wú)邊”，“恒河之沙”之類(lèi)的虛幻性的描述和當(dāng)當(dāng)用數(shù)字表示以外，具有獨(dú)立名稱(chēng)最大數(shù)是佛教的asankhyeya，它等于10的140次方。這些數(shù)已經(jīng)很大了，對(duì)于我們大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，我們一生都不見(jiàn)的會(huì)遇見(jiàn)或是用到這么大的數(shù)。可是在無(wú)窮前面，無(wú)窮大與Googol的距離和無(wú)窮與1的距離是一樣的。因此無(wú)窮大不是一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)概念。

在數(shù)學(xué)和物理學(xué)上，有著許多不同的常數(shù)，可是如果你稍微留心一下，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們之間有個(gè)很有趣的差別：數(shù)學(xué)上的常數(shù)都很小，而物理學(xué)上的常數(shù)要不很大，要不很小。在數(shù)學(xué)上，算是兩大明星，可是它們的值一個(gè)大約是3.14，一個(gè)大約是2.72，跟物理學(xué)上的常數(shù)比起來(lái)，真是有點(diǎn)那不出手。物理學(xué)上一出手就是10的10次方以上，你要是弄個(gè)8次方，你都不好意思見(jiàn)人。例如電子質(zhì)量是,普朗克常數(shù)是。

以上舉了這些大數(shù)的例子，視乎與無(wú)窮沒(méi)有太大的聯(lián)系。如果你這樣想的話(huà)，就對(duì)了。因?yàn)樗鼈兌际桥阋r。就像我在第一段講的，無(wú)窮是一個(gè)概念，它是無(wú)法用數(shù)去表達(dá)出來(lái)的。無(wú)論你寫(xiě)出了多大的數(shù)，它與無(wú)窮大的距離與1還是一樣的。哪怕你把宇宙中的所有原子排成一排，第一個(gè)當(dāng)1，后面都當(dāng)0，這個(gè)數(shù)依然離無(wú)窮大很遙遠(yuǎn)。無(wú)窮大是一個(gè)無(wú)法企及的距離。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，我們用表述無(wú)窮大，這是英國(guó)數(shù)學(xué)家在1655年首次使用這個(gè)符號(hào)。

級(jí)數(shù)與無(wú)窮

我們先來(lái)看一個(gè)非常著名的級(jí)數(shù)－“調(diào)和級(jí)數(shù)”

如果問(wèn)你一個(gè)問(wèn)題，這個(gè)級(jí)數(shù)是發(fā)散的還是收斂的？如果你對(duì)數(shù)學(xué)不是很了解的話(huà)，乍一看，這就是一個(gè)收斂的級(jí)數(shù)。然而你錯(cuò)了，這是一個(gè)實(shí)實(shí)在在發(fā)散的級(jí)數(shù)。只不過(guò)它的發(fā)散速度實(shí)在是令人發(fā)指。調(diào)和級(jí)數(shù)的前1000項(xiàng)的和約為7.485，前100萬(wàn)項(xiàng)的和約為14.357，前10億項(xiàng)的和約為21，前一萬(wàn)億項(xiàng)和約為28，當(dāng)它的和超過(guò)100時(shí)，如果每一項(xiàng)在紙帶上只占1毫米，我們必須使用10^43毫米長(zhǎng)的紙帶，這大約是10^25光年，而宇宙估計(jì)尺寸只有10^12光年。當(dāng)宇宙都已經(jīng)被貫穿了，而調(diào)和級(jí)數(shù)才不過(guò)100.如果想讓其趨向無(wú)窮，我覺(jué)的這件事情還是交給無(wú)窮去做吧，人類(lèi)就不要插手了。

另外一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的例子，跟一個(gè)著名的悖論有關(guān)系，那就是芝諾悖論：

“AB兩點(diǎn)，一個(gè)人從A點(diǎn)走向B點(diǎn)，他必然要經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)，我們稱(chēng)為C點(diǎn)。同樣他也要經(jīng)過(guò)C和B的中點(diǎn)，我們稱(chēng)為D，依次反復(fù)，他要經(jīng)過(guò)無(wú)窮個(gè)中點(diǎn)，因此，他永遠(yuǎn)也到不了B點(diǎn)”

這種說(shuō)法乍一看，視乎是正確的。但是我們可以看看下面的一些計(jì)算，首先假設(shè)AB之間的距離為1米，這個(gè)人走的速度是每秒1米。根據(jù)這個(gè)人要經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)個(gè)中點(diǎn)，我們可以得到下面這個(gè)式子：

S為他通過(guò)的距離。大家一看這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，立馬可以得出S的值為1.而人行走的速度為每秒1米，我們可以用同樣的式子計(jì)算出行走的時(shí)間為1秒。

Euler一生中最喜歡研究的一個(gè)方面就是無(wú)窮級(jí)數(shù)了。在他的那本被稱(chēng)為數(shù)學(xué)界的七大奇書(shū)之一的《無(wú)窮分析引論》中，可以看到他用大段大段的篇幅介紹著各種各樣的無(wú)窮級(jí)數(shù)：

這些級(jí)數(shù)如果沒(méi)有了無(wú)窮這個(gè)條件，是無(wú)法寫(xiě)出這樣優(yōu)美的式子，你可以這樣說(shuō)是無(wú)窮賦予了它們生命，沒(méi)有了無(wú)窮的這個(gè)條件，這些式子就失去了意義。

康托爾眼中的無(wú)窮

康托爾是19世紀(jì)末20世紀(jì)初德國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)立者。是數(shù)學(xué)史上最富有想象力，最有爭(zhēng)議的人物之一。19世紀(jì)末他所從事的關(guān)于連續(xù)性和無(wú)窮的研究從根本上背離了數(shù)學(xué)中關(guān)于無(wú)窮的使用和解釋的傳統(tǒng)，從而引起了激烈的爭(zhēng)論乃至嚴(yán)厲的譴責(zé)。然而數(shù)學(xué)的發(fā)展最終證明康托是正確的。他所創(chuàng)立的集合論被譽(yù)為20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)創(chuàng)造。

以上是一段康托爾的介紹，還是要告誡同學(xué)們，沒(méi)有很強(qiáng)大的精神力量，為了身心健康，要謹(jǐn)慎的去思考宇宙從何而來(lái)，將往哪去？“蒼穹深深深幾許”之類(lèi)的問(wèn)題。

康托爾認(rèn)為，不是只存在一個(gè)無(wú)窮大，而是有很多類(lèi)型的無(wú)窮大；這些種類(lèi)在本質(zhì)上互不相同，但在很大程度上也像尋常數(shù)一樣可進(jìn)行互相比較。這種觀(guān)點(diǎn)與當(dāng)時(shí)流行的觀(guān)點(diǎn)不同。換句話(huà)說(shuō)，無(wú)窮大與無(wú)窮大是不一樣的，還是有高低大小之分的。

我們先來(lái)看一個(gè)例子。大家先考慮一個(gè)問(wèn)題，是自然數(shù)集合大還是偶數(shù)集合大？也許很多人會(huì)脫口而出，當(dāng)然是自然數(shù)集合大。要是我告訴你，它們一樣大，你是不是覺(jué)的有點(diǎn)不可思議，有種我在散布偽科學(xué)的想法？

2 4 6 8 10 12 14 16…..

1 2 3 4 5 6 7 8……

我們可以看到，自然數(shù)集中的任何一個(gè)數(shù)都能在偶數(shù)集中找到唯一相對(duì)應(yīng)的數(shù)，相反，偶數(shù)集中的任何一個(gè)數(shù)也能在自然數(shù)集中找到唯一的一個(gè)相對(duì)應(yīng)的數(shù)。也就是說(shuō)自然數(shù)集與偶數(shù)集一一對(duì)應(yīng)，它們兩個(gè)集合的元素?cái)?shù)目一樣多！這與我們平常的生活經(jīng)驗(yàn)相悖－“整體大于部分”，一個(gè)集合的子集等于集合本身！這是多么讓人難以相信的事情。有這樣想法的人是很正常的，因?yàn)槲覀兊慕?jīng)驗(yàn)局限于有限世界中，它們并沒(méi)有擴(kuò)大到無(wú)窮大。而在無(wú)窮集合的世界里面，有限集合的規(guī)律都被打破了，有種到了新的山頭，有新的規(guī)矩的樣子。

康托爾的理論是很博大的，感興趣的同學(xué)可以自己找相關(guān)的熟悉看看。這里只不過(guò)是滄海一粟。

幾何與無(wú)窮

我們說(shuō)數(shù)學(xué)是美的，并不僅僅說(shuō)它有著非常巧妙的證明，優(yōu)美的公式。數(shù)學(xué)也能在感官上給予我們美的震撼，就像繪畫(huà)，雕塑一般，有種不朽的感覺(jué)。

首先，先介紹一個(gè)人：埃舍爾。

埃舍爾把自己稱(chēng)為一個(gè)”圖形藝術(shù)家”，他專(zhuān)門(mén)從事于木版畫(huà)和平版畫(huà)。1898年他出生在荷蘭的 Leeuwarden，全名叫 Maurits Cornelis Escher. 說(shuō)到埃舍爾，首先讓人聯(lián)想到的就是“迷惑的圖畫(huà)”。明明是向二樓上去的樓梯不知為什么卻返回到了一樓，鳥(niǎo)兒在不斷的變化中不知什么時(shí)候卻突然變成了魚(yú)兒，這些圖畫(huà)就是埃舍爾所描繪的幻想的異次元空間，它具有不可思議的魔力，征服著人們的心靈。他那特別稀有的畫(huà)風(fēng)在很長(zhǎng)時(shí)間以來(lái)被美術(shù)界視為異端，后來(lái)數(shù)學(xué)家們開(kāi)始關(guān)注埃舍爾的畫(huà)面的高難度構(gòu)成，接下來(lái)他的畫(huà)又在年輕人中間大受歡迎，并在世界范圍內(nèi)確立了其不可動(dòng)搖的地位。

有的時(shí)候，一張圖片比上千字的說(shuō)明都來(lái)的有效。周而復(fù)始的瀑布，走不完的樓梯，把我們帶入到一個(gè)無(wú)窮無(wú)盡，沒(méi)有開(kāi)始，沒(méi)有盡頭，周而復(fù)始的世界當(dāng)中。

無(wú)窮的話(huà)題是一個(gè)貫穿幾千年數(shù)學(xué)歷史的一個(gè)重要話(huà)題，從阿基米德推算出球體體積，到Euler的無(wú)窮級(jí)數(shù)的研究，從牛頓－萊布尼茨創(chuàng)建微積分，到康托爾的集合論，無(wú)窮這個(gè)概念在逐漸的得到完善和發(fā)展。不僅僅在數(shù)學(xué)上得到了充分的發(fā)展，在多年來(lái)的發(fā)展中，也讓許多人重新思考了許多有關(guān)神學(xué)與哲學(xué)的問(wèn)題。這里只是盡我所能，列出一些喜聞樂(lè)見(jiàn)的內(nèi)容，希望大家對(duì)這個(gè)比較抽象的概念有個(gè)其它方面的認(rèn)識(shí)。