芝諾悖論不斷以新的形式出現在科學中，形成一個龐大的“芝諾悖論家族”：第二次數學危機是芝諾悖論在300多年前的一種翻版所引起的[3~5]，而我們今天發(fā)現的調和級數悖論則是芝諾悖論的又一個很巧妙的翻版。

 

1．   芝諾所著述的與無窮概念相關的悖論

 

芝諾這些悖論的原作沒有流傳下來，但亞里士多德在其著作中對此作了記錄。我們將與調和級數悖論相關的兩個悖論[1]摘引如下：

    a. 運動是不存在的。在跑完某一段距離的全程之前，競賽者首先必須跑完這段距離的一半；在跑完全程的一半之前，又必須跑完一半的半，即全程的四分之一；在跑完全程的四分之一之前，又得跑完全程的八分之一；…… 如此遞推，以至無窮，故運動不可能。

b. 阿基里斯追不上烏龜。阿基里斯是古希臘神話中善跑的英雄。在他和烏龜的競賽中，烏龜在前面跑，

-----------------------------------

收稿日期：2003-06-20

作者簡介：歐陽耿（1957—），男，福建省漳州市人，漳州師范學院副教授，從事數學悖論和數學基礎理論研究．

他在后面追，但他不可能追上烏龜。因為在競賽中，追者首先必須到達被追者的出發(fā)點，當阿基里斯到達烏龜在某時所處的位置時，烏龜已向前移動一些；阿基里斯再到達烏龜的那個位置時，烏龜又往前跑了一段；…… 因此，無論阿基里斯到達烏龜曾處的哪個位置，烏龜都會在他前面。所以，無論阿基里斯跑得

多快，他永遠追不上烏龜。

芝諾的這些悖論顯然都與人們的生活經驗、共識相悖。但問題是2400多年來人們一直無法真正認識

無窮概念的本質，無法真正認識與之相關的數量形式，必然無法回答芝諾通過悖論要人們所回答的問題。

據說，芝諾的一個學生曾抓來一只烏龜，讓它在踞自己10步以外向前爬行，然后從后面追上烏龜，演示給芝諾看，想以此來證明阿基里斯完全可以追上烏龜。另一個叫爻布納.希莫尼的學者編了一個既生動有趣、又中肯貼切的對話來評述芝諾悖論的荒謬：當一只饑餓兇猛的獅子從籠子里被放出來去追趕芝諾時，芝諾不慌不忙地一邊慢跑一邊告訴人家，這只獅子永遠不可能跑到他身邊。因為獅子首先必須到達他的出發(fā)點，當獅子到達他在某時所處的位置時，他已向前移動一些；獅子再到達他的那個位置時，他又往前跑了一段；…… 因此，無論獅子到達他曾處的哪個位置，他都會在獅子前面。所以，無論獅子跑得多快，它永遠追不上他。從另一個角度說，這獅子在接近他時必須跑完全程的一半，在跑完全程的一半前又必須跑完全程的四分之一，在跑完全程的四分之一前又必須跑完程的八分之一，如此類推，以至無窮，獅子連一步都跨不出。但在他剛說完獅子無論如何永遠沒辦法追上他的話音落下后不久，芝諾被這飛跑而至的獅子吞吃掉了。有的人認為象這樣對芝諾悖論的解答是最生動、準確不過了。其實在數學上僅用現在初中生都懂的加和數列就可以輕而易舉地告訴人們阿基里斯何時可追上烏龜。史料也表明芝諾當時未必不懂得這些簡單的常識。但這類解答僅描述了事件的現象和結果，而芝諾要人們解答的是事件的可能性問題，要人們在理論上認識，解釋與無窮概念相關的整個事件的過程。

2500多年前的芝諾以悖論的形式向人們發(fā)問：數學中與無窮概念相關的最小的數量形式是什么、有多大、該如何處理它們？由于這類問題一直無法得到解決，終于又爆發(fā)了另一次理論危機，以“微積分中的微增量dx是什么、有多大、該如何處理它們？”來重復2500多年前芝諾悖論所提出的問題，這就是眾所周知的第二次數學危機。微積分的歷史告訴我們，人們在求導數計算中可以不管dx有多大，想怎樣去稱呼那個dx，打算怎樣去解析與dx相關的那一切數學行為都無所謂，反正按照那些公式如此這般去操作，保證能得出正確的結果。正如芝諾的學生滿足于自己確實能從后面追上烏龜這樣一件事實。但情況并不是這么簡單！人們公認，第二次數學危機所關心的并不是求導數計算的結果如何，而是象芝諾悖論那樣，關心的是人們該如何從理論上來認識與“無窮”相關的過程、與“無窮”相關的數量形式及其處理方式。由于現代科學中的無窮觀在本質上仍然停留在芝諾時代的那種狀態(tài)[2~10]，必然使現代數學中“與無窮概念有關的數量形式及其相關處理方式”的所有理論，不管用什么語言來表述，在芝諾悖論面前全部原形畢露！無論是在標準分析或非標準分析中，阿基里斯仍然追不上烏龜！所以，公元前465年時的芝諾悖論到如今仍然是芝諾悖論，且由于依然如故的合適的生存條件，使它在2500年中繁殖了許多后代。

 

2．   芝諾悖論家族中的又一個新成員-------調和級數悖論

 

   Oresme于1360年左右在《歐幾里德幾何問題》小冊子中給出了一個關于調和級數發(fā)散性的證明。我們可以在現有的，由任何語言所寫的許多數學分析書中看到這個被公認的、很簡單但卻有著不尋常意義的證明（以下簡稱“原證”）。當然是現有的傳統(tǒng)有窮--無窮理論體系及相關的極限論決定了這個證明的產生，使這個證明的整個思路、過程、結果在現有的理論體系框架中被當作共識所普遍接受。但我們的研究恰恰說明這個證明是2500年前芝諾悖論的又一個翻版。

調和級數是個無窮常減級數，Un 0 。級數中出現了人們常說的那種“無窮小”數量形式。在這證明中所暴露的問題仍然是芝諾在2500年前所問的完全相同的問題：無窮小究竟有多大？如何處理它們？

我們將Oresme的證明摘引如下：

                                           （1）

     =１＋ ＋（ ）＋．．．＋（ ．．．＋ ）＋．．．             （２）

     >1+ ( )+．．．+( +．．．＋ )+．．．                            （3）

     =1+ ．．．                                              （4）

   對這個證明有兩種解析：

A. 對級數（1）加上無窮多個括號而得到一個新的，含有無窮多個大于1/2的數的正數項無窮常增級數（2）；然后，通過sn 的新級數（3）的發(fā)散性證得級數（1）發(fā)散。

B. 對級數（1）加上許多個括號而得sn ，在此，k大于任給正數，然后取極限，當n 時，k ，因此sn 而證得級數（1）發(fā)散。

   原證中的思路與做法是現有數學中傳統(tǒng)的有窮--無窮概念體系和與之相關的極限論很徹底的表現。

   對于第一種解釋，承認調和級數中的un 這一事實，原證中那種使用多項式加括號法則去處理調和級數中的無窮多個un 的數量形式而制造出無窮多個大于1/2的量的思路與做法不妥。這里我們發(fā)現了一個問題：如想對級數（1）加上無窮多個括號而制造出無窮多個大于1/2的量，就要求級數提供無窮多個被加的量，即需要n 。 但是當n 時，按定義，級數中必然出現無數以limun = 0,  lim un+1=0,．．．，limun+a=0．．．的形式所表現的那類數量形式。按照三代數學分析理論中處理X 0的數學內容的作法，我們應該將這些無限趨于0的數量形式從多項式運算式中趕走[3]，導致如此多項式運算的加括號法則失效，再也沒辦法制造出任何大于1/2的量了。所以，如此加括號法則僅能處理調和級數中的一部分數項而制造出許多個大于1/2的量，但卻沒有能力處理調和級數中的無窮數項而得到無窮多個大于1/2的量。

退一步說，如果有人想出一些理論，硬說原證中那種對實際情況不做任何分析而無限使用加括號法對調和級數進行處理的隨心所欲的做法是允許的，我們只要改變原證中的加括號法則，依法炮制（如使式（2）中的每一項大于1或大于10或大于100……），就可以將調和級數變成任意的正數項無窮常增級數。這樣，一個un 的無窮常減級數就可以用加括號法象變戲法一樣將其改造成任意的un 的無窮常增級數，反之亦然！難道這樣兩種性質上有很大區(qū)別的無窮級數果然真的可以互相轉化？這只能給原來的“無窮”、“無窮小”、“無窮大”概念再添上一層神秘的色彩。

對于第二種解釋，我們承認可對級數（1）的有窮數項加上有窮多個括號而得sn ，但如果接下去說“要取極限”，而斷言當n 時，k ，因此sn ，就錯了。與第一種解析中同樣的道理，因為當我們說n 時，實際上就同時承認了limun = 0,  limun+1=0,．．．，limun+a=0．．．這類事實的存在；與求導數過程中的微增量一樣，它們本應該從多項式運算式中消失，而再也沒有“原料”讓那樣的一種多項式加括號法去制造出任何大于1/2的數了。這決定k根本就不具備趨于 的條件，sn 的推論是完全沒有根據的，是錯誤的！

我們目睹了一個活生生的現代芝諾悖論的翻版：阿基里斯就是這個證明中的多項式加括號法，而烏龜就是調和級數。盡管善跑的阿基里斯步伐又大又快，但是在理論上烏龜將永遠在他的前面----盡管多項式加括號法可以很快處理掉調和級數中的許許多多數項，但理論上卻永遠有無數可用多項式加括號法則去處理的數項。所以那里的阿基里斯永遠追不上烏龜，而這里的多項式運算可以得到無窮多個大于1/2的量。

在此，我們清楚地看到，在原證的整個證明中竟然可以完全不必分析級數中的un 是什么意思，該如何處理它們，為什么可以那樣處理？比如說，能否象在求導數的運算中那樣，對這些無窮小數項（或叫無限趨于0的量）過一道“ —δ”語言手續(xù)，或過一道“取標準數的手續(xù)”，而讓它們都從多項式加法運算式中消失，使證明中的加括號多項式運算沒有條件無窮地進行下去。是數學家把這些問題給忘了嗎？不！問題的關鍵是：在傳統(tǒng)的有窮--無窮理論體系中該在什么時候、對什么樣的數學內容取極限，是毫無理論根據的。而更重要的是：從芝諾時代起一直到現在，“無窮”就是個很籠統(tǒng)的數學內容，人們根本無法明確地表現與無窮概念相關的各種數量形式，這必然使人們無法認識調和級數中的un 所表示的數學意義；該如何認識與處理這類與un 有關的無數數項，人們心里是無數的[6~7]。換句話說，以現有數學中傳統(tǒng)的有窮、無窮理論體系和與之相關的極限論，誰也無法自圓其說：為什么在數學分析理論的求導數運算中，可以通過對dx取極限或取標準數的做法讓無限趨于零的dx從多項式運算式中消失，而在調和級數中的lim un=0 ，limun+1=0,．．．，limun+a=0．．．卻不該從多項式運算式中消失？誰也無法自圓其說：用那樣一種加括號法則去處理調和級數，究竟能制造出多少個大于1/2的量-------有窮多個或無窮多個？當然，在現有的理論體系中，不管是哪種結論都會產生悖論。

 

3．   結論

 

2500多年前，芝諾以悖論的形式向人們發(fā)問：無窮過程所產生的無窮小究竟是多大、該如何處理它們？而到了三百多年前的微積分時代，貝克萊又以“dx悖論”的形式再版芝諾悖論，重新向人們發(fā)問：與無窮概念相關的無限趨于0的量究竟是多大、該如何處理它們？今天，調和級數悖論所提出的問題還是：無窮調和級數中的un  數項究竟是多大、該如何處理它們？2500多年來，這個問題反復出現，不知要耗費人類多少心血。

2500多年的科學史告訴我們，人們在解決芝諾悖論上的工作思路是錯誤的：沒有深入研究造成悖論的傳統(tǒng)無窮觀及相關數量體系的缺陷，沒有從構造新的無窮觀及相對應的數量體系下手。所以，不管如何努力，只能是徒勞。

掙脫現有的傳統(tǒng)有窮--無窮理論體系缺陷的束縛，構造科學的、新的有窮--無窮理論體系及與之相對應的數量體系，才是徹底解決芝諾悖論、徹底解決所有芝諾悖論翻版，徹底解決第二、第三次數學危機的唯一途徑[6~10]。

 

參考文獻：

[1] F.N.麥吉爾主編.世界哲學寶庫――世界225篇哲學名著述評（M）.《世界哲學寶庫》編委會譯.北京:中國廣播電視出版社,1991.

[2] 歐陽耿.數學中實無窮與潛無窮的幾個問題（J）.吉安師范專科學校學報（自然科學版）, 1998,19（6）: 26－28.

[3] 歐陽耿.數學分析中懸而未決的問題（J）.吉安師范?？茖W校學報（自然科學版）, 1995,16（5）: 29－34.

[4] 歐陽耿.重新認識第二次數學危機（J）.咯什師范學院學報（自然科學版）, 2002,23（3）: 82-86.

[5] 歐陽耿．數學基礎理論中的兩個缺陷 （J）.咯什師范學院學報（自然科學版）,2001,21（1）: 44-48. 

[6] 歐陽耿.數學中三種新的數量形式（J）. 咯什師范學院學報 2003,24（3）: 31-37.

[7 ] 歐陽耿.數學中的新數譜（J）.吉安師范?？茖W校學報（自然科學版）.1996, 17（5）: 7－10.

[8 ] 歐陽耿.現有集合論中一種神秘的錯誤（J）.西北大學學報（自然科學版）, 2000,30（4）: 8－11.

[9] 歐陽耿.重新認識第三次數學危機（J）.咯什師范學院學報（自然科學版）, 2000,20（2）: 69-72.

[10] 歐陽耿.羅素悖論與康托在集合論中的兩個失誤（J）.貴州師范大學學報（自然科學版）, 2002,20(3):81-84.

 

 

Another Modern Version of Zeno’s Paradox -----
the Paradox of Harmonious Series
 

OUYANG Geng

（Department of Mathematics, Zhangzhou Teacher’s College, Zhangzhou 363000, Fujian, China）

 

Abstract:   Another modern version of Zeno’s Paradox is discovered----- the Paradox of Harmonious Series. The conclusion is the problems raised by ancient Zeno’s Paradox will never be solved and the reproduction of Zeno’s Paradox will never be stopped under the present traditional finite-infinite theory.

Key words: Zeno’s Paradox; mathematical crisis; traditional finite-infinite theory; infinitesimal