我們要設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器，跟前面設(shè)計(jì)IIR濾波器一樣，得先知道一些關(guān)于濾波器的指標(biāo)。在用窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR濾波器需要知道的指標(biāo)是：通帶，阻帶的邊界頻率，阻帶衰減和通帶衰減。

    因?yàn)槭荈IR，有限沖激響應(yīng)的濾波器，我們通常的理想濾波器的單位脈沖響應(yīng) h 是無限長(zhǎng)的，所以我們需要通過窗來截?cái)嗨?，然后?duì)它進(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)。

一、 加窗方法設(shè)計(jì)的步驟大概分以下幾步：

1、根據(jù)阻帶的衰減，選擇合適的窗：

           最小阻帶衰減     過渡帶帶寬△w

矩形窗      20.9dB            0.92π/M

漢寧窗      43.9dB            3.11π/M

海明窗      54.5dB            3.32π/M

布萊克曼窗  75.3dB            5.56π/M

    不同的窗有不同的性質(zhì)：不同的窗函數(shù)，產(chǎn)生泄漏的大小不一樣，頻率分辨能力也不一樣。信號(hào)的截?cái)喈a(chǎn)生了能量泄漏，而用FFT算法計(jì)算頻譜又產(chǎn)生了柵欄效應(yīng)，從原理上講這兩種誤差都是不能消除的，但是我們可以通過選擇不同的窗函數(shù)對(duì)它們的影響進(jìn)行抑制。(矩形窗主瓣窄，旁瓣大，頻率識(shí)別精度最高，幅值識(shí)別精度最低；布萊克曼窗主瓣寬，旁瓣小，頻率識(shí)別精度最低，但幅值識(shí)別精度最高)。

2、根據(jù)窗函數(shù)得到的序列經(jīng)過firl或fir2得到一個(gè)濾波器傳輸函數(shù)系數(shù)的序列。

1）fir1 ： 用來設(shè)計(jì)傳統(tǒng)的低通，高通，帶通，帶阻，多頻帶FIR濾波器；

   調(diào)用格式：b = fir1(N,Wn);

             b = fir1(N,Wn,‘high’);

             b = fir1(N,Wn, ‘stop’);

   參數(shù)說明：N：階次，濾波器長(zhǎng)度為N＋1；

             Wn：通帶截止頻率，其值在0～1之間，1對(duì)應(yīng)Fs/2；

             b:濾波器系數(shù)。

  在上述所有格式中，若不指定窗函數(shù)的類型，fir1自動(dòng)選擇Hamming窗。

2）fir2 ： 用來設(shè)計(jì)具有任意幅度響應(yīng)的FIR濾波器。

   調(diào)用格式：b = fir2(N, F, M);

   參數(shù)說明：F是頻率向量，其值在0～1之間；

             M是和F相對(duì)應(yīng)的所希望的幅頻相應(yīng)。

   如同fir1, 缺省時(shí)自動(dòng)選用Hamming窗。

3）為了觀測(cè)到設(shè)計(jì)出來的濾波器的特性，我們可以用impz得到它的脈沖響應(yīng)，用freqz得到頻率響應(yīng)。

   其中在畫頻率響應(yīng)的時(shí)候我們分為幅度和相位畫出。

   又因?yàn)槲覀円^測(cè)的是衰減的大小程度，以dB為單位，所以我們?cè)诋嫹鹊臅r(shí)候縱坐標(biāo)應(yīng)該轉(zhuǎn)換成dB。

   而相位，由于計(jì)算機(jī)中反正切函數(shù)規(guī)定，在一、二象限中的角度為0到π，三、四象限的角度為0到-π。我們一般要反應(yīng)的角度變化是0到2π，但如果不經(jīng)過處理，實(shí)際結(jié)果會(huì)在π處發(fā)生跳變，跳變的幅度為2π，這就是相位的卷繞。所以我們用解卷繞函數(shù)unwarp(w)，使相位在π處不發(fā)生跳變，從而反應(yīng)出真實(shí)的相位變化。

二、實(shí)例

%%第一題、通帶截止頻率為0.2pi,阻帶截止頻率為0.3pi，阻帶衰減不小于50dB，通帶衰減不大于3dB，設(shè)計(jì)一個(gè)FIR濾波器，并驗(yàn)證。
wp=0.2*pi; ws=0.3*pi;    %性能指標(biāo)
wdelta=ws-wp;           %過渡帶寬度
M=ceil(3.32*pi/wdelta);  %濾波器長(zhǎng)度，朝正無窮方向舍入
N=2*M+1;               %窗口長(zhǎng)度
wc=(ws+wp)/2;           %截止頻率
win=hamming(N);        %因?yàn)樗p不小于50dB，所以選擇海明窗，這里得到海明窗的時(shí)域響應(yīng)
b=fir1(N-1,wc/pi,win);
n=0:1:N;
[hi t]=impz(b,1,n);%得到脈沖響應(yīng)
[hf w]=freqz(b,1,512);  %得到頻率響應(yīng)

figure(1);
subplot(3,1,1); stem(n,hi);
xlabel('n'); ylabel('Magnitude'); title('impulse response');
subplot(3,1,2); plot(w/pi,20*log10(abs(hf)));
xlabel('Frequency(Hz)'); ylabel('Magnitude(dB)');
title('Frequency response');
subplot(3,1,3); plot(w/pi,180/pi*unwrap(angle(hf)));
xlabel('Frequency(Hz)'); ylabel('Phase(degrees)');
title('Frequency response');
%驗(yàn)證：
nn=0:50;
x1=sin(nn*0.2*pi); x2=sin(nn*0.8*pi);%假設(shè)兩個(gè)信號(hào)，低頻和高頻
in=x1+x2; out=filter(b,1,in); %濾波過程

figure(2);
subplot(2,2,1); stem(x1);
xlabel('n'); ylabel('Magnitude');
title('x1'); axis([0 50 -1 1]);
subplot(2,2,2); stem(x2);
xlabel('n'); ylabel('Magnitude');
title('x2'); axis([0 50 -1 1]);
subplot(2,2,3); stem(in);
xlabel('n'); ylabel('Magnitude');
title('x1+x2 before filter'); axis([0 50 -2 2]);
subplot(2,2,4); stem(out);
xlabel('n'); ylabel('Magnitude');
title('x1+x2 after filter'); axis([0 50 -1 1]);

在這題要主要的是求分貝的公式：20*log10(abs(hf)),還有解卷繞函數(shù)的調(diào)用180/pi*unwrap(angle(hf))。

從上面的程序可以得到圖：

%第二題，取1中相同的濾波器類型和階數(shù)，通帶和阻帶的臨界頻率也相同，分別用矩形窗，漢寧窗，海明窗和布萊克曼窗設(shè)計(jì)濾波器，并分析它們的性能。
wp=0.2*pi;
ws=0.3*pi;    %性能指標(biāo)
wdelta=ws-wp;           %過渡帶寬度
M1=ceil(0.92*pi/wdelta);  
M2=ceil(3.11*pi/wdelta);
M3=ceil(3.32*pi/wdelta);
M4=ceil(5.56*pi/wdelta);
N1=2*M1+1; 
N2=2*M2+1;
N3=2*M3+1;
N4=2*M4+1;
wc=(ws+wp)/2;   %截止頻率
win1=boxcar(N1);  %矩形窗的時(shí)域響應(yīng)
win2=hanning(N2);  %漢寧窗的時(shí)域響應(yīng)
win3=hamming(N3);  %海明窗的時(shí)域響應(yīng)
win4=blackman(N4);  %布萊克窗的時(shí)域響應(yīng)

b1=fir1(N1-1,wc/pi,win1);   
b2=fir1(N2-1,wc/pi,win2);  
b3=fir1(N3-1,wc/pi,win3); 
b4=fir1(N4-1,wc/pi,win4);  
[h1 w1]=freqz(b1,1,512); 
[h2 w2]=freqz(b2,1,512) ;
[h3 w3]=freqz(b3,1,512) ;
[h4 w4]=freqz(b4,1,512) ;
figure(3);
subplot(4,2,1); plot(w1/pi,20*log10(abs(h1)));
ylabel('Magnitude');  title('Rectangle Window');
subplot(4,2,2); plot(w1/pi,180/pi*unwrap(angle(h1)));
ylabel('Phase(degrees)');  title('Rectangle Window');

subplot(4,2,3); plot(w2/pi,20*log10(abs(h2)));
ylabel('Magnitude'); title('Hanning Window');
subplot(4,2,4); plot(w2/pi,180/pi*unwrap(angle(h2)));
ylabel('Phase');  title('Hanning Window');

subplot(4,2,5); plot(w3/pi,20*log10(abs(h3)));
ylabel('Magnitude'); title('Hamming Window');
subplot(4,2,6); plot(w3/pi,180/pi*unwrap(angle(h3)));
ylabel('Phase');  title('Hamming Window');

subplot(4,2,7); plot(w4/pi,20*log10(abs(h4)));
ylabel('Magnitude'); title('Blankman Window');
subplot(4,2,8); plot(w4/pi,180/pi*unwrap(angle(h4)));
ylabel('Phase');  title('Blankman Window');

這題只是單純的重復(fù)4次濾波器的設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)的方法同第一題一樣。得到的圖如下：

從上可以觀察到，

1、衰減：從上到下，衰減依次增大，以布萊克曼窗的為最優(yōu)，矩形窗最差。

2、過渡帶：從上到下，過渡帶逐漸增寬，以矩形窗的為最優(yōu)，布萊克曼窗最差。

其實(shí)，改善阻帶衰減的一種辦法是加寬過渡帶寬，以犧牲過渡帶換取阻帶衰減的增加。也就是以增加主瓣寬度為代價(jià)來降低旁瓣。

所以，我們?cè)谠O(shè)計(jì)濾波器的時(shí)候，要根據(jù)不同的指標(biāo)，性能，需求去選擇合適的窗來進(jìn)行設(shè)計(jì)。