2000.6.20.

前言

第一節(jié)：數(shù)學(xué)美的本質(zhì)

1.1   數(shù)學(xué)美的本質(zhì)

1.2   數(shù)學(xué)美學(xué)研究的意義

1.2.1        素質(zhì)教育的需要

1.2.2        發(fā)展學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的需要

1.2.3        培養(yǎng)興趣、啟迪思維的需要

1.2.4        豐富美學(xué)理論的需要

第二節(jié)：數(shù)學(xué)美育的價(jià)值功能

2.1   忽視數(shù)學(xué)美育的價(jià)值功能的析因

2.2   數(shù)學(xué)美育的價(jià)值功能

2.2.1 數(shù)學(xué)美能夠激發(fā)人們創(chuàng)造發(fā)明的激情

2.2.2 寓美于教，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

2.2.3 以美啟智，提高學(xué)生探索問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力

第三節(jié)：數(shù)學(xué)美育教育之途徑

3.1   展示明顯的數(shù)學(xué)美，培養(yǎng)學(xué)生的審美感知能力

3.2   挖掘隱含的數(shù)學(xué)美，培養(yǎng)學(xué)生把審美趣味創(chuàng)造性運(yùn)用于學(xué)習(xí)

3.3   將美學(xué)原理應(yīng)用于解題實(shí)踐

3.3.1        審視數(shù)學(xué)美，啟迪問(wèn)題解決的思路

3.3.2        挖掘數(shù)學(xué)美，簡(jiǎn)化問(wèn)題解決的捷徑

3.3.3        創(chuàng)造數(shù)學(xué)美，探索問(wèn)題解決的途徑

3.3.4  追求數(shù)學(xué)美，總結(jié)問(wèn)題解決的規(guī)律

前         言

綜觀當(dāng)前的教育形勢(shì)，舉國(guó)上下正在全力推進(jìn)素質(zhì)教育，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展、具有創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的人才已成為教育者關(guān)注的焦點(diǎn)。德育已得到高度的重視，教育界高舉“德育領(lǐng)先”旗幟；智育在傳統(tǒng)教學(xué)中有著深厚的根基，重視程度不言而喻；體育本著全民健身的宗旨，活動(dòng)有聲有勢(shì)；勞動(dòng)教育或許與生活實(shí)踐比較密切，也相應(yīng)受到越來(lái)越多的人的關(guān)注；然而，美育？……美育沒(méi)有受到相應(yīng)的重視！此外，我們?cè)谡務(wù)撊宋木竦臅r(shí)候，常常把人文精神定位在追求“真、善、美”和人的全面自由的發(fā)展之最高層面上，在討論藝術(shù)美的理論中，也常常談到“真、善、美”三位一體的問(wèn)題。懷特海曾經(jīng)指出，數(shù)學(xué)是真、善、美的辯證統(tǒng)一。一個(gè)正確的數(shù)學(xué)理論，反映客觀事物的本質(zhì)和規(guī)律，這就是真；數(shù)學(xué)理論不管離現(xiàn)實(shí)多遠(yuǎn)，最后總能找到它的實(shí)際用途，體現(xiàn)其為人類服務(wù)的價(jià)值取向，這是數(shù)學(xué)的善；數(shù)學(xué)理論本身的奇特、微妙、簡(jiǎn)潔有力以及建立這些理論時(shí)人的創(chuàng)造性思維這就是數(shù)學(xué)的美。而這些觀點(diǎn)在教學(xué)過(guò)程中是否得到充分的體現(xiàn)嗎？沒(méi)有！蘇霍姆林斯基曾說(shuō)：“沒(méi)有審美教育就沒(méi)有任何教育”。在此，不想夸大美育的作用。但是，作為素質(zhì)教育的重要組成部分，未能得到充分重視，確是深感遺憾。值得高興的是，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（討論稿）已提出了數(shù)學(xué)教育必須注意培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神和人文精神，特別是“數(shù)學(xué)與文化”這一單元體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的一個(gè)重要功能是在美學(xué)方面，這種功能是鼓舞人們把對(duì)數(shù)學(xué)的追求化為一種對(duì)完善的追求?；诖?，提出本課題研究本課題，或許可以對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何加強(qiáng)美育提供一些有益的啟示。

第一節(jié)：數(shù)學(xué)美的本質(zhì)

1.1數(shù)學(xué)美的本質(zhì)

自從有人類社會(huì)以來(lái)，人們就愛(ài)好美，追求美。盡管一些從事數(shù)學(xué)教育工作的同志，對(duì)數(shù)學(xué)中存在美這樣一個(gè)觀點(diǎn)還不能完全接受，但在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)中還是自覺(jué)不自覺(jué)地運(yùn)用了它。數(shù)學(xué)作為啟迪學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生能力的一門(mén)學(xué)科，除了具有其本身嚴(yán)密的邏輯性、抽象性之外，還具有其本身特有的美，即數(shù)學(xué)美。

那么什么是數(shù)學(xué)美？換言之，數(shù)學(xué)美的本質(zhì)是什么呢？

這主要體現(xiàn)在兩方面：

一、從價(jià)值追求上，數(shù)學(xué)的審美，說(shuō)到底是一種理性的精神，正是這種精神，使得人類的思想得以發(fā)揮到非常完善至美的程度；正是這種精神，從一定程度上影響了人類的物質(zhì)、道德和社會(huì)生活，并試圖回答了有關(guān)人類自身提出的一些問(wèn)題；正是這種精神，使得人們能盡可能地去理解、了解、控制自然，從而掌握客觀世界的規(guī)律；正是這種精神，使人們有可能去探求和確立已經(jīng)獲得知識(shí)的最深刻的、最完美的科學(xué)內(nèi)涵。   

二、從表現(xiàn)形式上，數(shù)學(xué)美實(shí)際上是數(shù)學(xué)語(yǔ)言（符號(hào)）呈現(xiàn)出來(lái)的以秩序、和諧、對(duì)稱、簡(jiǎn)潔等為主要內(nèi)容的結(jié)構(gòu)美，是一系列符號(hào)的形式美。從內(nèi)涵上講，反映的是這些符號(hào)秩序所表現(xiàn)出來(lái)的一種一致美、和諧美。

1.2數(shù)學(xué)美學(xué)研究的意義

1.2.1  素質(zhì)教育的需要

數(shù)學(xué)教育的目的之一，是讓學(xué)生具備對(duì)數(shù)學(xué)美的鑒賞分析能力，從而既有利于激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的愛(ài)好，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力。我們知道，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，比較重視知識(shí)的傳授、能力的培養(yǎng)，對(duì)于完成美育的教育任務(wù)卻常常落不到實(shí)處，培養(yǎng)學(xué)生欣賞美、鑒賞美的能力往往成為一句空話，而通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)美的研究和探討，可以使教師在教學(xué)過(guò)程中自覺(jué)地培養(yǎng)學(xué)生的審美觀念、審美情趣、審美理想、審美情感和審美能力，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中陶醉于數(shù)學(xué)美的享受之中，心曠神怡，使身上的肌肉松馳而消除緊張學(xué)習(xí)帶來(lái)的疲勞，調(diào)節(jié)生理節(jié)律，使大腦得以積極的休息，實(shí)實(shí)在在地完成美育的教育任務(wù)。

1.2.2  發(fā)展學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的需要

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生通過(guò)自己主動(dòng)的認(rèn)識(shí)而在頭腦里建立起來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，再完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)也只有通過(guò)學(xué)生自己的主動(dòng)認(rèn)識(shí)，才能轉(zhuǎn)化為其頭腦里的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。黑格爾曾說(shuō)過(guò)：“審美帶有令人解放的性質(zhì)”。美具有完整性與和諧性等特點(diǎn)。人在數(shù)學(xué)美領(lǐng)域里得到的既合規(guī)律又合目的的自由愉悅，有利于學(xué)生全面掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、從整體上把握數(shù)學(xué)知識(shí)與方法。

1.2.3  培養(yǎng)興趣、啟迪思維的需要

開(kāi)發(fā)智力、培養(yǎng)能力的核心是發(fā)展思維，而興趣則是最好的老師。美感和興趣雖然并非一回事，但美容易引起人們的興趣，啟迪人們的思維。對(duì)數(shù)學(xué)缺乏審美素養(yǎng)的學(xué)生往往感到數(shù)學(xué)單調(diào)枯燥、神秘莫測(cè)，難以激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，更談不上啟迪思維了。只有對(duì)數(shù)學(xué)美有深刻的領(lǐng)悟和感受，才能對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣，這是樂(lè)此不疲地進(jìn)行創(chuàng)造性思維的一種持久的驅(qū)動(dòng)力。所以，教師應(yīng)該寓教學(xué)于學(xué)生對(duì)美的享受之中，使學(xué)生自覺(jué)接受教學(xué)美的熏陶和感染，獲得知識(shí)，鍛煉能力，實(shí)現(xiàn)精神的愉悅，心靈的滿足，從而達(dá)到開(kāi)發(fā)非智力因素、啟迪思維的目的。

1.2.4  豐富美學(xué)理論的需要

數(shù)學(xué)中存在著美，這早已為古代哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家所肯定，也為古往今來(lái)的數(shù)學(xué)家所體驗(yàn)并留下一些零散的論述。盡管有關(guān)數(shù)學(xué)美的論述早已有之，但國(guó)際、國(guó)內(nèi)的數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育及美學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，對(duì)數(shù)學(xué)美討論的蓬勃興起，還是近二十年的事。我國(guó)數(shù)學(xué)美的研究始于1982年，到現(xiàn)在不過(guò)二十年的歷程。就其發(fā)展速度而言，在國(guó)際上是處于比較領(lǐng)先的地位，但就總體而言，整個(gè)數(shù)學(xué)美的研究還處于方興未艾的狀況，存在著研究面狹窄、理論深度不夠、實(shí)驗(yàn)研究少等問(wèn)題。作為一門(mén)正在形成中的邊緣學(xué)科，理論的構(gòu)建尚處于初始階段的數(shù)學(xué)美學(xué)，有待于各位同仁添磚加瓦，對(duì)數(shù)學(xué)美學(xué)作更廣泛、更深入的研究，爭(zhēng)取突破性的成果，從而加速數(shù)學(xué)美學(xué)理論體系的構(gòu)建，豐富整個(gè)美學(xué)理論的研究。

第二節(jié)    數(shù)學(xué)美育的價(jià)值功能

2.1  忽視數(shù)學(xué)美育價(jià)值功能的析因

第一是感到數(shù)學(xué)頭痛。陌生的符號(hào)、抽象的概念，使人望而生厭，句讀之未通，符號(hào)之不識(shí)，哪里還談得上審美觀的情趣。

對(duì)于第一種觀點(diǎn)是不難理解的，數(shù)學(xué)的確比較抽象，使大多數(shù)人望而生畏。但持這種觀點(diǎn)的人，只要他們多少掌握一些數(shù)學(xué)知識(shí)，無(wú)論是初等的或高等的，他們就會(huì)體會(huì)到一些數(shù)學(xué)美，從而逐漸改變自己的看法。古希臘有一句名言：“哪里有數(shù)，哪里就有美?！睌?shù)學(xué)中處處是數(shù)，能沒(méi)有美嗎？

第二是認(rèn)為科學(xué)不同于藝術(shù)，科學(xué)不允許個(gè)人的情感摻雜其中，而藝術(shù)沒(méi)有個(gè)人情感則是不可思議的?？茖W(xué)家的情感只是他在從事創(chuàng)造性勞動(dòng)過(guò)程中的情感，并非其勞動(dòng)成果的本身包含著情感。因此，用科學(xué)手段得到的東西，既不是藝術(shù)，更不是美本身，因而也談不上什么美的享受。

現(xiàn)在我們來(lái)談第二種觀點(diǎn)。這種觀點(diǎn)，實(shí)則也是似是而非，至少對(duì)數(shù)學(xué)不能適用。

首先，我們看看數(shù)學(xué)家是怎樣認(rèn)識(shí)的。羅素說(shuō)：“數(shù)學(xué)，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，正像雕刻的美，是一種泛而嚴(yán)肅的美。這種美，不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒(méi)有繪畫(huà)或音樂(lè)的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完滿的境地?！?/span>

再次，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是自由。數(shù)學(xué)研究在本質(zhì)上是一種創(chuàng)造，這種創(chuàng)造與藝術(shù)的創(chuàng)造并無(wú)二致，也充滿了個(gè)人的情感。

開(kāi)始在很長(zhǎng)一段時(shí)間里人們認(rèn)為一切連續(xù)函數(shù)都是可微函數(shù)，但偏偏有那么一些人標(biāo)新立異，“創(chuàng)造出”了處處不可微的連續(xù)函數(shù)。當(dāng)人們第一次看到從連續(xù)函數(shù)中跳出這么一個(gè)奇怪的函數(shù)時(shí)，又是多么地令人激動(dòng)。

2.2  數(shù)學(xué)美育的價(jià)值功能

數(shù)學(xué)是美的。

數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨(dú)特的創(chuàng)作。音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫(huà)使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切?！?/span>

美作為現(xiàn)實(shí)的事物和現(xiàn)象，是物質(zhì)產(chǎn)品和精神產(chǎn)品、藝術(shù)作品等屬性的總和，具有：勻稱性、比例性、和諧性、色彩變幻、鮮明性和新穎性。作為精神產(chǎn)品的數(shù)學(xué)就具有上述美的功能。

數(shù)學(xué)，始終是美的。

審美教育的范圍正日益廣泛地滲透到人類社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域之中。人們不僅通過(guò)音樂(lè)、藝術(shù)，而且也通過(guò)自然美、社會(huì)美、科學(xué)美，得到美的熏陶，美化精神境界。數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一，應(yīng)當(dāng)是培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的鑒賞能力，這不僅有利于激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的愛(ài)好，也有助于提高他們的創(chuàng)造發(fā)明能力。

基于上面數(shù)學(xué)美的論述，數(shù)學(xué)美育具有下述的價(jià)值功能。

2.2.1數(shù)學(xué)美能夠夠激發(fā)人們創(chuàng)造發(fā)明數(shù)學(xué)的激情

首先，我們可以看一看如下例子。據(jù)說(shuō)，古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯是丟番圖最得意的一個(gè)學(xué)生，他很小的時(shí)候就跟隨丟番圖學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。有一天他向老師請(qǐng)教一個(gè)問(wèn)題：有四個(gè)數(shù)，把其中每3個(gè)數(shù)相加，其和分別為22、24、27、20，求這四個(gè)數(shù)。

這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)很簡(jiǎn)單，但具體做起來(lái)卻有一定的復(fù)雜性。帕普斯請(qǐng)教丟番圖有沒(méi)有什么巧妙的方法可以解答這個(gè)問(wèn)題。丟番圖提出了一個(gè)巧妙的解法，他不是分別設(shè)四個(gè)未知數(shù)，而是設(shè)四個(gè)數(shù)之和為X，那么四個(gè)數(shù)就分別為x-22、x-24、x-27和x-20，于是有方程x=(x-22)+(X-24)+(X-27)+(X-20)。解之得X=31。從而得到四個(gè)數(shù)分別為9、7、4、11。對(duì)老師漂亮的解法帕普斯非常佩服，從而堅(jiān)定了畢生研究數(shù)學(xué)的意愿，后來(lái)成了一位著名的數(shù)學(xué)家。

而在教學(xué)過(guò)程中具體表現(xiàn)如何呢？

眾所周知，圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程之形式是如此簡(jiǎn)潔、優(yōu)美、勻稱，它給人以一種美的享受。就雙曲線而言，平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F₁、F₂的距離之差的絕對(duì)值是常數(shù)（小于|F₁F₂|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。如圖，取過(guò)焦點(diǎn)F₁、F₂的直線為x軸，線段F₁F₂的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)M（x，y）是雙曲線上的任意一點(diǎn)，焦距是2c，M與F₁，F₂兩點(diǎn)距離之差絕對(duì)值等于常數(shù)2a，則得其標(biāo)準(zhǔn)方程為x²/a²-y²/b²=1，在數(shù)學(xué)過(guò)程中，可以提出為什么要取“2c”與“2a”，而不取“c”與“a”呢？為什么要引進(jìn)b呢？為何叫標(biāo)準(zhǔn)方程呢？

我們說(shuō)，數(shù)學(xué)的發(fā)明和創(chuàng)造，除了反映客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，還來(lái)源于對(duì)美的追求。衡量一個(gè)理論是否成功，不僅要有實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)，邏輯標(biāo)準(zhǔn)，還要有美的標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)一種理論尚未達(dá)到美的境界時(shí)，就必須繼續(xù)改進(jìn)發(fā)展，“按照美的規(guī)律來(lái)制造”。如上一問(wèn)題，按定義可得：p={M| |MF₂|-|MF₂|=±2a}得方程 - =±2a，此可作雙曲線方程。但它不符合簡(jiǎn)單性原則。故方程可化為(c²-a²)x²-a²y²=a²(c²-a²)即x²/a²-y²/(c²-a²)=1。我們說(shuō)，此方程簡(jiǎn)單多了。但是，雙曲線具有對(duì)稱性，它表示的方程也該有對(duì)稱性。于是，由于c²-a²>0，故令c²-a²=b²，即得x²/a²-y²/b²=1，此式是如此簡(jiǎn)潔優(yōu)美。至此，我們清楚知道，一開(kāi)始選擇“2c”、“2a”正是為了追求簡(jiǎn)單性，而產(chǎn)生b是人為制造的，但實(shí)踐證明，b正好是雙曲線虛半軸長(zhǎng)，又具有鮮明幾何意義。為何稱為標(biāo)準(zhǔn)方程呢？應(yīng)該說(shuō)，對(duì)于同一個(gè)雙曲線，建立不同的坐標(biāo)系就可得到不同方程，其中若不規(guī)定一個(gè)作為標(biāo)準(zhǔn)的，那人們就沒(méi)有共同的語(yǔ)言。如此教學(xué)，通過(guò)深挖教材中數(shù)學(xué)美之因素，既能闡明問(wèn)題的本質(zhì)，又能提高學(xué)生的審美能力，增強(qiáng)他們的創(chuàng)造意識(shí)。

2.2.2寓美于教，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

心理學(xué)研究表明，興趣是人們積極主動(dòng)地認(rèn)識(shí)客觀事物的一種心理傾向，它表現(xiàn)為一種好學(xué)精神。運(yùn)用數(shù)學(xué)美的感染力,能夠使學(xué)生產(chǎn)生愉快的心理體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣。數(shù)學(xué)美有的是可以直接感受的，如雅致的圖形、流暢的曲線、對(duì)稱的方程、簡(jiǎn)單的解法等；有的不那么明顯，且往往容易被忽視，如一些概念、公式、定理、法則所蘊(yùn)含的較高層次的數(shù)學(xué)美，它們需要教師在備課時(shí)充分挖掘，在上課時(shí)明確展示。

為了讓學(xué)生更好地掌握無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和的公式和相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，本節(jié)課抓住無(wú)限向限轉(zhuǎn)化所揭示的數(shù)學(xué)美，由一個(gè)著名的悖論導(dǎo)入：古希臘神話中的善跑英雄阿里里斯和烏龜賽跑，設(shè)阿里里斯的速度是烏龜?shù)?/span>10倍，烏龜?shù)脑诎⒗锢锼骨懊?/span>100米，二者同時(shí)起跑。當(dāng)阿里里斯追趕100米后，烏龜已向前走了10米，當(dāng)他又追趕10米時(shí)，烏龜又走了1米，當(dāng)他追趕1米時(shí)，烏龜又走了0.1米，……，如此繼續(xù)，當(dāng)阿里里斯追到烏龜原來(lái)位置時(shí)，烏龜已向前走了一定的距離，因此，烏龜總在阿里里斯的前面，而阿里里斯永遠(yuǎn)追趕不上烏龜。

問(wèn)題一提出來(lái)，同學(xué)們都笑了，他們知道這結(jié)論是錯(cuò)的。教師問(wèn)：“錯(cuò)在哪里”，學(xué)生的興趣來(lái)了，都積極回答，但都對(duì)自己或他人的答案感到不滿意。教師指出：答案就在本節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容中。引導(dǎo)學(xué)生看書(shū)，學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容后，再回到這個(gè)悖論上，學(xué)生指出：阿里里斯在追趕烏龜?shù)倪^(guò)程中分別走了，100m、10m、1m、0.1m、0.01m、……，這是個(gè)|q|<1的無(wú)窮等比數(shù)列，它的各項(xiàng)的和：

最后，在教師的引導(dǎo)下，同學(xué)得出結(jié)論：無(wú)限能向有限轉(zhuǎn)化，而悖論的錯(cuò)誤在于沒(méi)有看到這一點(diǎn)。

這里，教師充分利用數(shù)學(xué)美的奇異性（意料之外的思維）和簡(jiǎn)單性（一目了然的結(jié)論），使學(xué)生的思維受到強(qiáng)刺激，產(chǎn)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望，整節(jié)課處在最佳的學(xué)習(xí)狀態(tài)之中。

我們知道，對(duì)數(shù)的學(xué)習(xí)是比較機(jī)械的、枯燥的。如在本章學(xué)習(xí)之前，先提出一個(gè)問(wèn)題，“一張0.01mm厚的紙折疊十次以后，有多厚”學(xué)生是可以計(jì)算得了。再此，又提出問(wèn)題，若是折了100次呢？有的學(xué)生或許可以算得，估算即為2¹⁰⁰層紙厚，為2¹⁰⁰=（2¹⁰）¹⁰≈（10³）¹⁰=10³⁰即為10³×0.01×0.01×0.01km=10²²km，這有10²²公里長(zhǎng)度。學(xué)生都為之驚嘆。這一數(shù)字，只是估算，學(xué)生感到有趣、好奇，它的新穎奇特在學(xué)生的心靈中引起了一種愉快的驚異，趣中孕育著“美感”。進(jìn)一步為了解決這一繁而驚人的計(jì)算，而因追求計(jì)算的“簡(jiǎn)單性”——數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式之一，導(dǎo)致了對(duì)數(shù)計(jì)算方法的產(chǎn)生。學(xué)生帶著興趣、美感、追求，開(kāi)始學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)運(yùn)算。

又如，在學(xué)習(xí)完黃金數(shù)x=w=      =0.618……，可以引申出，建筑物的窗口，寬與高度的比一般為w；人們的膝蓋骨是大腿與小腿的黃金分割點(diǎn)，人的肘關(guān)節(jié)是手臂的黃金分割點(diǎn)，肚臍是人身高的黃金分割點(diǎn)；當(dāng)氣溫為23攝氏度時(shí)，人感到最舒服，此時(shí)23:37（體溫）=0.618；名畫(huà)的主題，大都畫(huà)在畫(huà)面的0.618處，弦樂(lè)器的聲碼放在琴弦的0.618處，會(huì)使聲音更甜美。建筑設(shè)計(jì)的精巧、人體科學(xué)的奧秘、美術(shù)作品的高雅風(fēng)格，音樂(lè)作品的優(yōu)美節(jié)奏，交融于數(shù)的對(duì)稱美與和諧美之中。如此的教學(xué)能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

     2.2.3以美啟智，提高學(xué)生探索問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力

數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式是多種多樣的，從數(shù)學(xué)內(nèi)容看，有概念之美、公式之美、體系之美等；從數(shù)學(xué)的方法及思維看，有簡(jiǎn)約之美、類比之美、抽象之美、無(wú)限之美等；從狹義美學(xué)意義上看，有對(duì)稱之美、和諧之美、奇異之美等。

龐卡萊指出：“在解題中，在證明中，給我們以美感的東西是什么呢？是各部分的和諧，是它們的對(duì)稱，是它們的巧妙、平衡”。

解析幾何是用數(shù)研究形的數(shù)學(xué)分科，形數(shù)結(jié)合是研究解析幾何的基本觀點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)變化是解析幾何的主導(dǎo)思想。若能注意點(diǎn)撥這一優(yōu)美、和諧的知識(shí)結(jié)構(gòu)，將可以增強(qiáng)學(xué)生的“美的意識(shí)力” 。

例如，拋物線x²=8y的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（-2，4），P為拋物線上一點(diǎn)，求P點(diǎn)坐標(biāo)，使得|PM|+|PF|最小。

若以常規(guī)方法，設(shè)P（x，y）為拋物線上一點(diǎn)，則|MP|+|PF|= + ，顯然，這與簡(jiǎn)單性是背道而馳的，可以說(shuō)此路繁瑣之極。

考慮到數(shù)形結(jié)合，由定義可知，|MP|+|PF|=|PM|+P到準(zhǔn)線距離，如圖易得P點(diǎn)坐標(biāo)為P（-2，1/2），這個(gè)解法巧妙、簡(jiǎn)捷、合理、優(yōu)美。——它來(lái)自于解析幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)以及“美的意識(shí)力”的思考。

但這里取不到等號(hào)。進(jìn)一步分析基本不等式中極值與均值的統(tǒng)一美，猜想極值可能會(huì)在均值處

再如，對(duì)于問(wèn)題，已知x²+y²=1，求證 ≤y-ax≤

從審美的角度觀察其特征，可得到下面兩種簡(jiǎn)捷證法：

分析1：不等式等價(jià)于(|y-ax|)/ ≤1，左邊的結(jié)構(gòu)似曾相識(shí)，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)正好是圓x²+y²=1上的點(diǎn)到直線y=ax的距離，由于直線y=ax過(guò)圓心，故(|y-ax|)/ ≤1成立。

分析2：由x²+y²=1聯(lián)想到可設(shè)x=cosθ，y=sinθ

則y-ax=sinθ-acosθ= sin(θ+φ)，

故|y-ax|=| |sin(θ+φ) ≤

從兩種優(yōu)美的解答中發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)美的指導(dǎo)思想起了決定性的作用。

第三節(jié)    數(shù)學(xué)美的教育之途徑

3.1  展示顯明的數(shù)學(xué)美，培養(yǎng)學(xué)生的審美感知能力

徐利治教授指出：“學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該是主動(dòng)的、富有美感的智力活動(dòng)，學(xué)習(xí)材料的興趣和美學(xué)價(jià)值乃是學(xué)習(xí)的最佳刺激，強(qiáng)烈的心智活動(dòng)所帶來(lái)的美的愉悅和享受是推動(dòng)學(xué)習(xí)的最好動(dòng)力?！睂W(xué)生通過(guò)發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識(shí)、體驗(yàn)和運(yùn)用顯現(xiàn)的數(shù)學(xué)美的形式，直覺(jué)地感受到數(shù)學(xué)美震憾人心的力量，形成強(qiáng)烈的認(rèn)知趨向和身心滿足。在百思不得其解之后，一個(gè)巧妙的方法躍然而出，顯得那么奇特、新穎，內(nèi)心深處由衷產(chǎn)生無(wú)比的喜悅與沖動(dòng)，刻骨銘心，這就是數(shù)學(xué)的奇異美；當(dāng)冗長(zhǎng)的陳述、繁雜的關(guān)系用數(shù)學(xué)語(yǔ)言演繹而出時(shí)，學(xué)生無(wú)不被數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美所折服；數(shù)與形的統(tǒng)一、對(duì)稱圖形、對(duì)稱等式、對(duì)稱變換的運(yùn)用，顯得那么和諧生動(dòng)，使學(xué)生與數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，對(duì)稱美交融一體。

把棱(圓)柱、棱（圓）錐、棱（圓）臺(tái)的體積公式統(tǒng)一到：

無(wú)論多復(fù)雜的二次曲線（圓錐曲線）均可用方程：Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0表示。在極坐標(biāo)系下，還有更簡(jiǎn)潔、統(tǒng)一的形式：ㄗ=p/(1-ecosθ)（P為焦點(diǎn)參數(shù)）。

而對(duì)三角函數(shù)的充分理解和應(yīng)用，是把三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)的符號(hào)結(jié)合，與有向線段結(jié)合，與極坐標(biāo)結(jié)合，與復(fù)數(shù)結(jié)合，與參數(shù)方程結(jié)合，與數(shù)列和不等式結(jié)合。

上述三個(gè)問(wèn)題把相應(yīng)的知識(shí)統(tǒng)一到某個(gè)公式或某個(gè)定義上，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美的統(tǒng)一性與抽象性。教學(xué)中，應(yīng)注意揭示這些知識(shí)的數(shù)學(xué)美，讓學(xué)生去體驗(yàn)去感受，不但有助于學(xué)生把各種知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，形成知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)，而且有助于加深學(xué)生對(duì)具體知識(shí)各自特征的認(rèn)識(shí)，更好地把握知識(shí)間的區(qū)別與聯(lián)系，幫助學(xué)生構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)。

勾股定理c²=a²+b²，這一簡(jiǎn)單而整齊的形式，表達(dá)了一切直角三角形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系。

二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)、正多面體、圓等都具有明顯的對(duì)稱性，甚至有人感嘆：圓是最美的圖形。

“黃金分割”除了自身直覺(jué)美感外，由于它的許多美妙性質(zhì)還有一種奇異美：不僅與其它的數(shù)有密切聯(lián)系，在社會(huì)、生活、人體、藝術(shù)等方面都有廣泛應(yīng)用。

例如，為了引進(jìn)對(duì)數(shù)概念，教師先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)由等式a^b=N所定義的兩種運(yùn)算：①已知a、b，求N的運(yùn)算——乘方；②已知N、b，求a的運(yùn)算——開(kāi)方。再啟發(fā)學(xué)生從考慮數(shù)學(xué)和諧性的形式出發(fā)，必須要研究另一種運(yùn)算；③已知a、N，求b的運(yùn)算——求對(duì)數(shù)。這樣，就從彌補(bǔ)原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)不對(duì)稱的缺陷開(kāi)始，完成了引進(jìn)對(duì)數(shù)概念的任務(wù)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，或是讓學(xué)生分析現(xiàn)存的知識(shí)結(jié)構(gòu)的缺陷，提出反映“和諧性”形式的課題；或是讓學(xué)生改進(jìn)已有的解題方法的缺點(diǎn)，尋求具有“簡(jiǎn)單性”形式的方法；或是讓學(xué)生對(duì)前面的數(shù)學(xué)概念質(zhì)疑問(wèn)難，構(gòu)造帶有“奇異性”形式的反例，所有這些，只要持之以恒，就一定能培養(yǎng)起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的審美感覺(jué)，使他們能透過(guò)抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)看到美的形象，透過(guò)嚴(yán)密的邏輯推理領(lǐng)略美的風(fēng)采，為最終能駕起數(shù)學(xué)美的風(fēng)舟，駛向創(chuàng)造思維的彼岸作鋪墊。

3.2挖掘隱含的數(shù)學(xué)美，培養(yǎng)學(xué)生把審美趣味創(chuàng)造性地用于自己的學(xué)習(xí)

以數(shù)學(xué)美的完善與追求，是發(fā)現(xiàn)新理論、創(chuàng)造新發(fā)明的重要線索和有力手段。事實(shí)上，當(dāng)某個(gè)理論、某個(gè)問(wèn)題或某個(gè)對(duì)象，無(wú)論是其思想內(nèi)容，還是其形式方法，尚未完善時(shí)，往往會(huì)遵循審美標(biāo)準(zhǔn)、依據(jù)美的規(guī)律去繼續(xù)創(chuàng)造、發(fā)展直至完善它，這就是補(bǔ)美思想。

創(chuàng)造補(bǔ)美思想具有直覺(jué)性、統(tǒng)一性和創(chuàng)造性，創(chuàng)造補(bǔ)美思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中處處有所體現(xiàn)。

當(dāng)n是自然數(shù)，n！表示從1到n的n個(gè)自然數(shù)的乘積，而當(dāng)n=0時(shí)，0！顯然無(wú)意義，這就破壞了階乘定義的整體和諧美，考察公式Cⁿ_m=m!/(n!(m-n)!)，這里m、n是自然數(shù)，且m>n，當(dāng)m=n時(shí)，左邊為Cⁿ_m=1，右邊為m!/(m!0!)，為使m=n時(shí)，公式仍成立，就必須補(bǔ)充規(guī)定0!=1，從而滿足了和諧性。

直角坐標(biāo)系下，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，兩角和的余弦函數(shù)公式“C_α+β”的證明中，都可運(yùn)用補(bǔ)美思想，促進(jìn)方程和等式對(duì)稱，整齊，從而簡(jiǎn)捷推演。

數(shù)學(xué)美作為一種誘因，往往能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與掌握，一旦學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，充滿了審美趣味性，學(xué)習(xí)過(guò)程便會(huì)在前進(jìn)中留下美的軌跡，審美趣味將成為學(xué)生心理生活的催化劑，成為學(xué)生積極的自我完善的力量，讓學(xué)生對(duì)前、后知識(shí)進(jìn)行比較，理解它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而形成知識(shí)的有序結(jié)構(gòu)和解題的方法體系，既減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，又提高了學(xué)習(xí)效率，例如,為了介紹等差數(shù)列通項(xiàng)公式的幾何意義,教師要求學(xué)生將公式αn=α₁+(n-1)d變形為αn=dn+（α₁-d），看到當(dāng)d≠0時(shí)，αn是關(guān)于n的一次式。若令y=αn，x=n，k=d，b=α1=d，則可得直線方程y=kx+b，由此可見(jiàn)，以自然數(shù)集N為定義域的函數(shù)αn=f(n)的圖象應(yīng)是直線y=kx+b上那些x∈N的點(diǎn)的集合，而這一直線的斜率k=d，在縱軸上的截距b=α₁-d，這就是等差數(shù)列通項(xiàng)公式的幾何意義。等差數(shù)列通項(xiàng)公式與直線方程的形式是相同的，學(xué)生從中獲得了和諧的美感，很自然，在和諧美的啟示下，學(xué)生容易將經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(x₁，y₁)，(x₂，y₂)的直線的斜率公式k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)，創(chuàng)造性地用來(lái)解決由等差數(shù)列的兩項(xiàng)αm、αn來(lái)求其公差d的問(wèn)題，即d=(αn-αm)/(n-m)，此公式還能簡(jiǎn)捷地用作解決不少的等差數(shù)問(wèn)題，學(xué)生從中獲得了美的享受，啟迪了思維，深化了對(duì)知識(shí)的理解。

3.3將美學(xué)原理應(yīng)用于解題實(shí)踐

數(shù)學(xué)伴隨著一個(gè)探索發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，需要綜合運(yùn)用邏輯思維與非邏輯思維去找尋解題途徑，達(dá)到正確的、完美的解題目的。而在這一問(wèn)題解決過(guò)程中，數(shù)學(xué)審美活動(dòng)起著不可忽視的潛在作用。

法國(guó)啟蒙思想家狄德羅有一段名言精辟地指出：“數(shù)學(xué)中所謂美的問(wèn)題，是指一個(gè)又一個(gè)難以解答的問(wèn)題。所謂美的解答是對(duì)一個(gè)困難復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)易回答?！睌?shù)學(xué)美的主要表現(xiàn)有：簡(jiǎn)單性、和諧性、奇異性和抽象性。在問(wèn)題解決過(guò)程，若能從應(yīng)用數(shù)學(xué)審美的角度出發(fā)，審視問(wèn)題結(jié)構(gòu)的和諧性，追求問(wèn)題解決方案的簡(jiǎn)單性、奇異性、新穎性，挖掘命題結(jié)論的統(tǒng)一性，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)美的王國(guó)，陶冶精神情操，這對(duì)于誘發(fā)學(xué)生的求知欲，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力是不言而喻的。

3.3.1  審視數(shù)學(xué)美，啟迪問(wèn)題解決的思路

美的觀點(diǎn)一旦與數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件與結(jié)論的特征相結(jié)合，人們就能憑借已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生審美直覺(jué)，從而確定解題的總體思路和入手方向。因此，數(shù)學(xué)美感在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中能啟迪思維，引導(dǎo)人們探索解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的新路?；诖耍跀?shù)學(xué)問(wèn)題的解決中就需要我們以數(shù)學(xué)審美的眼光去觀察，從數(shù)學(xué)審美的角度去思考，按數(shù)學(xué)審美的要求去猜測(cè)，有意識(shí)地用數(shù)學(xué)審美的眼光觀察、思索數(shù)學(xué)問(wèn)題的外在形式上的美學(xué)特征，然后做出直覺(jué)的判斷，從而找到問(wèn)題的解決方案。

分析：審視數(shù)學(xué)美，就要求我們?cè)趩?wèn)題解決過(guò)程，首先應(yīng)審視所提供問(wèn)題的表面形式上的“美”的特征?？梢园l(fā)現(xiàn)，給出的三個(gè)方程井然有序，給人以和諧的美感，于是直覺(jué)也能感覺(jué)到，如果直接求出x²，y²，z²，就會(huì)破壞這種美的形式且運(yùn)算浩繁！和諧、美妙的形式特征，必須有著“美”的解答。經(jīng)過(guò)認(rèn)真觀察對(duì)比，可知2²，4²，6²是方程：

從命題的外在形式美的特征得到啟示，找到了美的解法，這決不是偶然的巧合，而是在和諧美的指引下的必然結(jié)果。因此，我們說(shuō)，問(wèn)題解決過(guò)程中，應(yīng)從全方位、多層次、多角度地審視數(shù)學(xué)美，這為問(wèn)題解決提供了一個(gè)重要途徑。

3.3.2  挖掘數(shù)學(xué)美，簡(jiǎn)化問(wèn)題解決的捷徑

數(shù)學(xué)中的數(shù)、式、形有著優(yōu)美的結(jié)構(gòu)。而這一美的結(jié)構(gòu)往往隱蔽在問(wèn)題之中，這就需要我們充分挖掘隱含在問(wèn)題中的“美”。我們?nèi)缒苡幸庾R(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)審美的角度，充分挖掘問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系或空間形式的簡(jiǎn)單性、秩序性等，加以簡(jiǎn)單化、秩序化，可以使解題者走許多捷徑，還可以發(fā)現(xiàn)具有創(chuàng)造性的解法。

例2:

評(píng)析：數(shù)學(xué)中的數(shù)、式、形有著優(yōu)美的結(jié)構(gòu)，呈現(xiàn)出許多秩序美，對(duì)稱美的形式。挖掘到本題中條件 x+y+z=6，對(duì)于x，y，z，是均衡的，亦即是對(duì)稱。又結(jié)論xy²z³是由字母                                                                                                  次數(shù)依次遞增，存在著秩序美的形式?？紤]到諸多方面的美，利用不等式

本題的解決挖掘了秩序美這一特征，從而找到了簡(jiǎn)化問(wèn)題的解決的捷徑。

3.3.3  創(chuàng)造數(shù)學(xué)美，探索問(wèn)題解決的途徑

在解決問(wèn)題時(shí)，呈現(xiàn)在我們面前的往往是錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系或繁雜的圖形，從其形式上難以發(fā)現(xiàn)其是否存在“美”的形式，有時(shí)，甚至無(wú)從下手。但是，經(jīng)過(guò)我們努力去發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造、運(yùn)用其可能的對(duì)稱性、和諧性，往往可以找到解決問(wèn)題的途徑。也就是說(shuō)，在問(wèn)題解決過(guò)程中，利用問(wèn)題形式的變換與化歸。而變換與化歸的依據(jù)在于各種形式問(wèn)題在其本質(zhì)上的和諧與統(tǒng)一。通過(guò)變換與化歸，創(chuàng)造其美的形式，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。

例3：證明三角形三內(nèi)角的平分線小于三邊的連乘積.

如圖1：如果記三角形的三邊分別為 a, b, c ,它們上的角平分線相應(yīng)為 ta , tb , tc ,  那么要證的結(jié)論是  tatbtc<abc .

在這個(gè)式子中，無(wú)論是對(duì) ta , tb , tc 來(lái)說(shuō)，還是對(duì)a, b, c 來(lái)說(shuō)都是對(duì)稱的。要證的結(jié)論也是對(duì)稱的。但一般的不可能有 ta<a  , tb<b , tc <c 同時(shí)成立，即不等式  ta<a 不具有對(duì)稱性。從不對(duì)稱性到對(duì)稱性，中間可能有一個(gè)過(guò)渡到對(duì)稱的過(guò)程。這就需要我們創(chuàng)造“美”的形式，設(shè)計(jì)一個(gè)“美”的解題方案以達(dá)到“美”的結(jié)果。我們可以試探是否具有 。顯然，這是一個(gè)“美”的形式，即對(duì)稱的形式。正是這一思路，使我們很快獲得解題途徑。

該問(wèn)題的解決，體現(xiàn)了從不對(duì)稱到對(duì)稱這一過(guò)程，而這一數(shù)學(xué)美的創(chuàng)造過(guò)程，為我們提供了問(wèn)題解決的途徑。

3.3.4  追求數(shù)學(xué)美，總結(jié)問(wèn)題解決的規(guī)律

法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊寫(xiě)道：“數(shù)學(xué)家們十分重視他們的方法和理論是否十分優(yōu)美，這并非華而不實(shí)的作風(fēng)，那么，到底是什么使我們感到一個(gè)解答，一個(gè)證明優(yōu)美呢？那就是為了部分之間的和諧、對(duì)稱，恰到好處的平衡。一句話，那就是井然有序，統(tǒng)一協(xié)調(diào)，從而使我們對(duì)整體以及細(xì)節(jié)都能有清楚的認(rèn)識(shí)和理解，這正是產(chǎn)生偉大成果的征兆?！眴?wèn)題的解決的“美”必須是解決方法的“美”，問(wèn)題結(jié)論的“美”。因此，在問(wèn)題解決中我們需要向美的目標(biāo)去發(fā)現(xiàn)、去追求，找到問(wèn)題的本質(zhì)特征，尋求簡(jiǎn)潔解法。

例4：已知平面上有5條直線，其中任何兩條都不平行，證明其中一定有兩條直線其夾角不大于36°.

分析：如圖2 ，本題中5條直線的位置不定，若用逐條線來(lái)加以分析的辦法，這顯然是不“美”的，也難以奏效，但由題沒(méi)知，5條直線中的任何兩條都不平行，這意味著平移其中的任何一條直線都不可能與其它直線重合。既然如此，我們從追求數(shù)學(xué)美的角度去考慮：能否設(shè)想通過(guò)平移（即不改變每條直線的方向）的辦法，使5條直線共點(diǎn)，如圖3，這就是一種簡(jiǎn)單化、有序化了的位置關(guān)系。至此我們便找到了解題的起點(diǎn)。

因?yàn)榇藭r(shí)在每相鄰兩條直線所成的十個(gè)角中，不可能都大于36°，否則這十個(gè)角的和將大于360°，由此可得到問(wèn)題的解決。

我們知道，數(shù)學(xué)美中的統(tǒng)一性是指有不同的數(shù)學(xué)對(duì)象或同一對(duì)象的不同組成部分之間所存在的內(nèi)在聯(lián)系或共同規(guī)律。追求統(tǒng)一性的欲望，驅(qū)使我們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)更一般的結(jié)論：平面上有n條直線，其中任何兩條都不平行，則其中至少有兩條直線的夾角不超過(guò)

這種證法抓住了問(wèn)題簡(jiǎn)單化、有序化這一數(shù)學(xué)美的特征，證題過(guò)程明快、流暢、言簡(jiǎn)意賅，給人一種美的享受。為了追求數(shù)學(xué)美的統(tǒng)一性，因而發(fā)現(xiàn)、總結(jié)了相關(guān)類型問(wèn)題解決規(guī)律。

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