圖像傅立葉變換（二維傅立葉變換fourier, 二維DFT, 2d-fft）的原理和物理意義

jtll521 2010-11-28

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圖像傅立葉變換
圖像的傅立葉變換，原始圖像由N行N列構(gòu)成，N必須是基2的，把這個(gè)N*N個(gè)包含圖像的點(diǎn)稱(chēng)為實(shí)部，另外還需要N*N個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為虛部，因?yàn)镕FT是基于復(fù)數(shù)的，如下圖所示：

計(jì)算圖像傅立葉變換的過(guò)程很簡(jiǎn)單：首先對(duì)每一行做一維FFT，然后對(duì)每一列做一維FFT。具體來(lái)說(shuō)，先對(duì)第0行的N個(gè)點(diǎn)做FFT（實(shí)部有值，虛部為0），將FFT輸出的實(shí)部放回原來(lái)第0行的實(shí)部，F(xiàn)FT輸出的虛部放回第0行的虛部，這樣計(jì)算完全部行之后，圖像的實(shí)部和虛部包含的是中間數(shù)據(jù)，然后用相同的辦法進(jìn)行列方向上的FFT變換，這樣N*N的圖像經(jīng)過(guò)FFT得到一個(gè)N*N的頻譜。

下面展示了一副圖像的二維FFT變換：

頻域中可以包含負(fù)值，圖像中灰色表示0，黑色表示負(fù)值，白色表示正值?？梢钥吹?個(gè)角上的黑色更黑，白色更白，表示其幅度更大，其實(shí)4個(gè)角上的系數(shù)表示的是圖像的低頻組成部分，而中心則是圖像的高頻組成部分。除此以外，F(xiàn)FT的系數(shù)顯得雜亂無(wú)章，基本看不出什么。

將上述直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)的形式，稍微比較容易理解一點(diǎn)，幅度中4個(gè)角上白色的區(qū)域表示幅度較大，而相位中高頻和低頻基本看不出什么區(qū)別來(lái)。

上述以一種不同的方法展示了圖像頻譜，它將低頻部分平移到了頻譜的中心。這個(gè)其實(shí)很好理解，因?yàn)榻?jīng)2D-FFT的信號(hào)是離散圖像，其2D-FFT的輸出就是周期信號(hào)，也就是將前面一張圖周期性平鋪，取了一張以低頻為中心的圖。將原點(diǎn)放在中心有很多好處，比如更加直觀更符合周期性的原理，但在這節(jié)中還是以未平移之前的圖來(lái)解釋。

行N/2和列N/2將頻域分成四塊。對(duì)實(shí)部和幅度來(lái)說(shuō)，右上角和左下角成鏡像關(guān)系，左上角和右下角也是鏡像關(guān)系；對(duì)虛部和相位來(lái)說(shuō)，也是類(lèi)似的，只是符號(hào)要取反，這種對(duì)稱(chēng)性和1維傅立葉變換是類(lèi)似的，你可以往前看看。

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，先考慮4*4的像素，右邊是其灰度值，對(duì)這些灰度值進(jìn)行2維fft變換。

h和k的范圍在-N/2到N/2-1之間。

通常I(n,m)是實(shí)數(shù)，F(xiàn)(0,0)總是實(shí)數(shù)，并且F(h,k)具有對(duì)偶性。

如果寫(xiě)成指數(shù)形式，即:

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圖像傅立葉變換的物理意義

如果只保留靠近中心的幅度，則圖像的細(xì)節(jié)丟失，但是不同區(qū)域還是有著不同灰度。

如果保留的是遠(yuǎn)離中心的幅度，則圖像的細(xì)節(jié)可以看得出，但是不同區(qū)域的灰度都一樣了。

考慮一個(gè)黑色矩形的傅立葉變換，這個(gè)黑色矩形的背景為白色。

如果對(duì)頻域中垂直方向高頻分量進(jìn)行截?cái)?，則圖像中黑白將不那么分明了，表現(xiàn)為振蕩。

可以得出結(jié)論：
傅立葉變換系數(shù)靠近中心的描述的是圖像中慢變化的特性，或者說(shuō)灰度變換比較緩慢的特性（頻率比較慢的部分）；
傅立葉變換系數(shù)遠(yuǎn)離中心的描述的是圖像中快變化的特性，或者說(shuō)灰度變換比較劇烈的特性（頻率比較快的部分）。

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傅立葉變換相位所含的信息
有兩幅圖像，如果用第一幅圖像傅立葉變換的幅度和第二幅圖像傅立葉變換的相位做反變換得到的圖像是什么樣子的？如果反過(guò)來(lái)，將第一幅圖像的相位和第二幅圖像的幅度做反變換得到的圖像又是什么樣子的？

這里再用1維傅立葉變換解釋一下：

在1維傅立葉變換中，可以看到相位包含了邊沿何時(shí)出現(xiàn)的信息！在圖像的傅立葉變換中也一樣，相位決定了圖像的邊沿，所以決定了圖像中你看到物體的樣子！
關(guān)于相位所含的信息，你可以這樣理解：
邊沿的形成是當(dāng)很多正弦波上升沿都發(fā)生在同一時(shí)刻，也就是這些正弦波的相位是相同的時(shí)刻，所以相位所含的信息決定了邊沿所發(fā)生的位置，而正是邊沿決定了圖像的樣子。
這個(gè)就是圖像信號(hào)和聲音信號(hào)的一個(gè)區(qū)別，聲音信號(hào)的信息多數(shù)都包含在其傅立葉變換的幅度中，即不同頻率幅度的大小，就是說(shuō)你聽(tīng)到什么聲音取決于你聽(tīng)到什么樣的頻率的信號(hào)，而對(duì)于這些信號(hào)時(shí)什么時(shí)候發(fā)生的并不十分重要。

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