演講人：劉克峰

    時 間：2010年10月12日

    地 點：上海世博會法國館

    開場白 法國高等科學(xué)研究院（IHES），位于法國巴黎郊外的一個從事數(shù)學(xué)和理論物理的基礎(chǔ)研究的私立研究機(jī)構(gòu)。在上海舉辦世博會期間，該院聯(lián)系到法國館，于2010年10月12日在法國館的報告廳,舉辦了一個極富特色的“會見解碼者”公眾報告會，由八位法國頂級的數(shù)學(xué)家與中國數(shù)學(xué)家一起，為中國公眾做了一系列的學(xué)術(shù)報告，目的是吸引公眾來了解一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)，會見一些在一線工作的第一流數(shù)學(xué)家。數(shù)學(xué)家們以公眾可以接受的語言,深入淺出地介紹現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些美妙結(jié)果，這樣的大數(shù)學(xué)家和公眾見面交流的機(jī)會，在世界范圍內(nèi)都是不多見的。我們從中擷取法國和中國幾位專家的報告，以饗讀者。

    曾經(jīng)有一些偉大的數(shù)學(xué)公式改變了人類歷史的進(jìn)程,如牛頓的第二力學(xué)定律,F=ma，愛因斯坦的質(zhì)能方程,E=mc^2,以及牛頓的萬有引力定律。這些公式極其簡單,卻蘊含了萬物的相互作用和變化規(guī)律。今天我們能夠制造飛船登上月球,能夠利用核能量為人類服務(wù),這些公式為此提供了重要的理論基礎(chǔ)。這些美妙的公式也印證了老子的名言:“大道至簡。”

    “政治是暫時的，而數(shù)學(xué)方程式是不朽的。”

    古今科學(xué)家們都堅信，數(shù)學(xué)是表達(dá)大自然規(guī)律最好的語言。任何科學(xué)理論最終和最完美的表達(dá)方式應(yīng)該是數(shù)學(xué)方程式。愛因斯坦曾說過：“政治是暫時的，而數(shù)學(xué)方程式是不朽的。”作為數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，我們苦苦追尋的就是這樣的方程式，它們簡單、漂亮，能夠深刻地揭示大自然的奧秘。

    歷史上有許多偉大的數(shù)學(xué)物理學(xué)家，比如阿基米德，他發(fā)現(xiàn)了杠桿原理和窮竭法；牛頓，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，發(fā)明了微積分；歐拉，發(fā)現(xiàn)了流體力學(xué)的歐拉方程和數(shù)學(xué)的變分法；高斯，發(fā)現(xiàn)了電磁場的高斯定律，也奠定了微分幾何基礎(chǔ)；愛因斯坦，其廣義相對論不僅是宇宙學(xué)的基礎(chǔ)，也推進(jìn)了現(xiàn)代微分幾何與微分方程的發(fā)展。

    在歷史上，最成功的兩個物理理論是量子場論和廣義相對論

    許多主要的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，也是由于物理的刺激而發(fā)展起來的，如微分方程、微分幾何、算子代數(shù)等等。我這里要闡述的是近三十年來由弦理論激發(fā)出的一系列數(shù)學(xué)成果。

    在歷史上，最成功的兩個物理理論是量子場論和廣義相對論，他們分別精確地描述了微觀世界里的粒子和宏觀世界里的星球的運動規(guī)律。量子場論中的基本方程是薛定諤方程，廣義相對論的基本方程是愛因斯坦場方程，它們在一定程度上卻互不相容。從愛因斯坦開始，幾代物理學(xué)家夢寐以求的就是將這兩組方程統(tǒng)一到同一個理論框架下，這樣大至星球，小到粒子這些宇宙萬物的運行規(guī)律和相互作用都由這一組方程式來描述。這就是大統(tǒng)一理論，被人們稱為“萬有理論”，或者“終極理論”。經(jīng)過幾代物理學(xué)家的努力和無數(shù)次的失敗，弦理論到目前為止被認(rèn)為最有希望完成大統(tǒng)一的夢想。弦理論的基本假設(shè)是，宇宙最基本的粒子是一些高速震蕩的弦。就像振顫的小提琴琴弦給我們美妙的旋律一樣，弦理論中這些震動的弦作為最基本的元素構(gòu)成了我們五彩繽紛的世界。

    大統(tǒng)一理論應(yīng)該是唯一的，但是在過去三十年間，弦論學(xué)家們發(fā)展了五種自恰的弦理論，這五種理論看起來很不相同，但每一種都很合理地揭示了一些物理中的奧秘。在1994年的第二次弦理論革命中，威滕提出了M-理論將這五種理論聯(lián)系在一起，發(fā)現(xiàn)它們彼此是通過弦對偶互相等價的。

    我們說兩種理論相互對偶，如果他們可以描述同一種物理現(xiàn)象。過去十幾年間，弦對偶已經(jīng)產(chǎn)生出了很多驚人的數(shù)學(xué)與物理成果。把在不同的弦理論中的計算公式通過對偶等同起來，人們得到了許多令人嘆為觀止的數(shù)學(xué)公式和方程。

    數(shù)學(xué)中的流形翻譯于英文的manifold，取自于文天祥的著名詩句：天地有正氣,雜然賦流形，下則為河岳,上則為日星。

    弦理論中一個最基本的研究對象是卡拉比—丘流形。數(shù)學(xué)中的流形翻譯于英文的manifold，取自于文天祥的著名詩句：天地有正氣,雜然賦流形，下則為河岳,上則為日星。它可以描述任何可以用局部平坦空間所覆蓋的物體。在1976年，丘成桐先生證明了著名的卡拉比猜想，此猜想斷言，任何第一陳類為零的特殊流形，叫作緊凱勒流形，都具有黎奇平坦的度量，這一類流形現(xiàn)在被稱為卡拉比—丘流形。而這里的陳類是以陳省身先生的名字命名的一種深刻的幾何不變量，由陳先生在上世紀(jì)四十年代所發(fā)現(xiàn)。

    復(fù)三維的卡拉比—丘流形在弦理論中非常重要，它們代表著弦理論所需要的，我們目前無法看到的四維時空之外的六維空間。弦理論斷言，有了這神秘的六維空間，就有了萬有理論。

    通過比較不同弦理論的數(shù)學(xué)描述，人們常常發(fā)現(xiàn)意外而深刻的數(shù)學(xué)猜想，得到許多令人興奮的數(shù)學(xué)結(jié)果。比如鏡對稱，大N陳—賽蒙斯與拓?fù)湎依碚摰膶ε?。而所有這些又往往與卡拉比—丘流形緊密地聯(lián)系在一起。

    通過弦對偶，人們找到了實三維流形的拓?fù)鋷缀闻c復(fù)三維流形的復(fù)幾何之間的驚人聯(lián)系。很多困難的數(shù)學(xué)計算，在轉(zhuǎn)化到實的三維空間后變得異常簡單。而實三維和四維空間中的一些意想不到的聯(lián)系也通過復(fù)三維的卡拉比—丘流形被發(fā)現(xiàn)?；趯ε祭碚摰牟孪牒托碌南敕?，許多困難的數(shù)學(xué)問題得到解決，而這些新的方法和結(jié)果又往往是數(shù)學(xué)家們此前連做夢都想不到的。這些來自弦對偶的猜想的解決又反過來幫助物理學(xué)家最精確地驗證了這些物理理論的正確性，這也是當(dāng)今世界還無法用傳統(tǒng)的試驗方法能夠做到的。

    “上帝是個數(shù)學(xué)家”

    為了讓大家能夠?qū)v史上數(shù)學(xué)與物理之間激動人心的交融有所了解，我這里介紹幾個我過去二十年間親身經(jīng)歷的例子。我們將看到卡拉比—丘流形與弦對偶在這些進(jìn)展中所起的奇妙作用。

    我的第一個例子是IIA與IIB兩種弦理論的對偶，這也被稱為鏡對稱理論。這種對偶的一個基本的假設(shè)是，一個卡拉比—丘流形都有它的一個鏡像，它們描述等價的物理理論。通過鏡對稱理論得到的最驚人的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是著名的坎德拉斯鏡公式。這個1991年發(fā)現(xiàn)的公式曾經(jīng)令數(shù)學(xué)界與物理學(xué)界都興奮異常。它使得數(shù)學(xué)家們開始密切關(guān)注弦論的進(jìn)展，而物理學(xué)家們也開始學(xué)習(xí)最深刻的數(shù)學(xué)。這里涉及的數(shù)學(xué)問題有近百年的歷史。數(shù)學(xué)家們一直想要計算出，對每一個給定的正整數(shù)，我們稱作階，在一個特殊的卡拉比—丘流形，即五次卡拉比—丘超曲面中有多少條有理曲線。用更通俗的語言就是說在這個特殊的卡拉比—丘空間中，對每一個階，我們能夠放進(jìn)多少個球。當(dāng)階為1的時候，我們知道為2875，而階為二的時候為60925。這兩個數(shù)字的計算曾花費了數(shù)學(xué)家上百年的時間。

    令人驚奇的是，這個問題在IIA弦理論的計算中也出現(xiàn)了，他們把這些數(shù)叫做瞬子數(shù)。通過鏡對稱理論，坎德拉斯研究小組把這個問題轉(zhuǎn)化為IIB弦理論中一個簡單的，計算鏡像卡拉比—丘流形的周期問題，而這只需要求解一個常規(guī)的四階常微分方程。這樣我們就可以一下子非常輕松地算出所有想要的數(shù)字。比如3階時，我們得到317206375；而10階時，我們會得到704288164978454686113488249750?？驳吕构皆?997年由我與連文豪、丘成桐以及吉文圖分別獨立證明。

    陳省身、楊振寧、丘成桐是三位偉大的華人科學(xué)家。陳省身的重要貢獻(xiàn)包括陳—韋伊理論和陳—賽蒙斯理論，這都與他的陳類相關(guān);除了以宇稱破缺獲得諾貝爾獎；楊振寧在理論物理中以楊—米爾斯方程和楊—巴克斯特方程最為著名;丘成桐則以卡拉比—丘流形,正質(zhì)量猜想的證明而廣為人知.他們的這些貢獻(xiàn)在數(shù)學(xué)與理論物理中都有劃時代的意義.我們將看到他們的工作通過弦對偶理論深刻地聯(lián)系在一起。

    在過去二十年間,通過幾何工程化技巧,弦論學(xué)家們已經(jīng)成功地把陳—賽蒙斯、楊—米爾斯理論等同為弦理論的一部分。通過弦對偶,人們發(fā)現(xiàn)了許多與扭結(jié)不變量,黎曼面?？臻g等有關(guān)的驚人而美妙的數(shù)學(xué)公式。這其中很關(guān)鍵的工具是諾貝爾獎獲得者特胡福特的大N展開技巧,就是在李群SU(N)中令Ｎ趨于無窮，并以此發(fā)現(xiàn)全新的現(xiàn)象。

    1986年，當(dāng)代偉大的弦論學(xué)家威滕首先意識到陳—賽蒙斯理論是一種量子場論，并用它構(gòu)造出了扭結(jié)不變量，即著名的瓊斯不變量。隨后數(shù)學(xué)家用量子群重新構(gòu)造了扭結(jié)與三維流形的不變量，這樣陳—賽蒙斯不變量就可以通過量子群來構(gòu)造。而量子群中最基本的方程就是楊—巴克斯特方程。

    黎曼面的?？臻g是經(jīng)過幾代偉大數(shù)學(xué)家的發(fā)展而成為數(shù)學(xué)許多學(xué)科中最基本的研究對象，對許多研究領(lǐng)域的發(fā)展起到了重要的作用，許多數(shù)學(xué)工具也都可以應(yīng)用到?？臻g的研究中去。

    計算模空間上的浩治積分是很重要也很困難的數(shù)學(xué)問題。從1980年開始，經(jīng)過近十年的努力，數(shù)學(xué)家們也只能計算出一些很簡單的特例。直到1990年，威滕根據(jù)物理中的矩陣模型與二維引力場的對偶作了一個驚人的猜測，認(rèn)為一大類浩治積分的無窮生成函數(shù)滿足一系列的偏微分方程。1992年，康切維奇證明了這個猜想，這揭開了這個研究領(lǐng)域激動人心的序幕。在2007年，通過找出威滕方程的循環(huán)精確解，我與徐浩證明了著名的法波猜想。數(shù)學(xué)家法波1992年提出的這個猜想給出了無窮多個浩治積分精巧的顯式表達(dá)式。

    在過去的二十年間里,通過對卡拉比—丘流形做手術(shù),威滕、大栗博司、瓦法等一批弦論學(xué)家把陳—賽蒙斯理論系統(tǒng)地發(fā)展成為弦理論的一部分?；谶@一理論,在2001年,對于一大類浩治積分的無窮生成函數(shù),馬利諾和瓦法提出了一個由陳—賽蒙斯不變量表達(dá)的有限閉公式猜測。在2003年,我與劉秋菊、周堅一起證明了這個漂亮的公式。而前面提到的威滕猜想和其他幾個有關(guān)浩治積分的著名公式都可以通過對馬利諾—瓦法公式求極限來得到。

    弦論學(xué)家拉巴斯提達(dá)、馬利諾、大栗博司、瓦法等進(jìn)一步發(fā)展了陳賽蒙斯理論并將其與M理論聯(lián)系在一起。2000年他們作出了另一個驚人的猜測，我們稱作LMOV猜想。他們的猜想宣稱由無窮多個陳—賽蒙斯扭結(jié)不變量組成的生成函數(shù)具有不可思議的代數(shù)性質(zhì)并可以轉(zhuǎn)化成另一個整系數(shù)的生成函數(shù)。在2007年我與彭磐一起證明了LMOV猜想。

    在上面的幾個例子里，我們從弦理論中學(xué)到了生動的一課。很多時候計算單個的積分也許會非常困難，但把無窮多個積分放在一起的生成函數(shù)可能會很容易一起算出來，因為這些生成函數(shù)往往滿足一些猶如天賜的規(guī)律和方程。

    受弦論學(xué)家的啟發(fā)，數(shù)學(xué)家們發(fā)展了一系列新的猜測來理解一些不變量的整性，而這些新的不變量本質(zhì)上都是從陳—賽蒙斯或者楊—米爾斯理論中來的。到這里我們看到，陳省身、楊振寧、丘成桐這三位偉大的華人科學(xué)家的工作通過弦理論密切地聯(lián)系在了一起。

    數(shù)學(xué)中還有其他許多由物理啟發(fā)出來的激動人心的發(fā)展。數(shù)學(xué)家唐納森在1980年用楊—米爾斯理論革命性地推動了四維拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)步；物理學(xué)家賽博格—威滕在1996年發(fā)現(xiàn)了著名的新方程，再次革新了低維拓?fù)鋵W(xué)。受弦理論的啟發(fā)，在2002年，佩雷爾曼擴(kuò)展了哈密爾頓的黎奇流，這是他開始解決龐加萊猜測的出發(fā)點。1986年數(shù)學(xué)家與弦論學(xué)家們互相啟迪，并一起發(fā)現(xiàn)了橢圓虧格，把幾何中的指標(biāo)理論與數(shù)論中的模形式神奇地聯(lián)系在一起，而指標(biāo)理論中的關(guān)鍵是物理學(xué)家狄拉克發(fā)明的狄拉克算子。1990年，通過研究共形場論，弦論學(xué)家維林德發(fā)現(xiàn)了著名的維林德公式，給出了黎曼面上平坦向量叢?？臻g上一個奇妙的公式，這立刻刺激了這個領(lǐng)域的飛速發(fā)展。數(shù)學(xué)家辛欽受物理的啟發(fā)，構(gòu)造了西格斯模空間，而這個?？臻g是2010年費爾茲獎得主吳寶珠解決基本引理的基礎(chǔ)。

    綜上所述，我們看到，弦理論幫助數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)中許多主流分支之間不可思議的聯(lián)系，他們的想法和遠(yuǎn)見幫助數(shù)學(xué)家解決了許多極為困難的數(shù)學(xué)問題。由此，物理的大統(tǒng)一理論引發(fā)出了數(shù)學(xué)大統(tǒng)一理論的可能性。從這個意義上講，我們也許可以說：“上帝是個數(shù)學(xué)家。”

    成功=工作+玩耍+閉上嘴巴

    最后，我想把愛因斯坦的一個有趣的公式送給國內(nèi)的孩子們。令A(yù)代表生活中的成功，X代表工作，Y代表玩耍，Z代表閉上嘴巴。那么，我們有A=X+Y+Z。我想說的是現(xiàn)在的孩子們也許玩兒得太少了，過多的考試消磨了他們創(chuàng)造力，所以我們的教育至今還沒有培養(yǎng)出大師。