以靜制動(dòng)，動(dòng)中窺靜

淺談動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解決策略

寶應(yīng)縣安宜初級(jí)中學(xué)    李步章

世間萬(wàn)物運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，靜止是相對(duì)的，這是辯證唯物主義的觀點(diǎn)。隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的進(jìn)一步實(shí)施，有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題內(nèi)容的考察在中考試題中屢見(jiàn)不鮮，面對(duì)這類問(wèn)題，考生往往有些茫然。下面簡(jiǎn)說(shuō)這類問(wèn)題的解決方法，其主要策略是：以靜制動(dòng)，動(dòng)中窺靜。

1、利用特定的數(shù)學(xué)模型，以靜制動(dòng)

〖模型〗如圖：點(diǎn)A、B在直線 的同側(cè)，在直線 上求一點(diǎn)P，使PA＋PB最小。

這個(gè)問(wèn)題的求解是大家非常熟悉的，在歷年的中考試題中經(jīng)常被考查。

例題1  如圖：等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)。若AE=2，EM+CM的最小值為_______________．（2010年山東濱州）

利用等邊三角形的軸對(duì)稱性，顯然點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于直線AD對(duì)稱，利用學(xué)模型連接BE，則BE與AD的交點(diǎn)M為所求，BE的長(zhǎng)即為EM＋CM的最小值。

2、利用圖形的基本性質(zhì)，以靜制動(dòng)

幾何性質(zhì)：“兩點(diǎn)之間線段最短”以及“直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短”等，也是解決幾何中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的重要依據(jù)。

例2  （2010年四川省自貢市）如圖，點(diǎn)Q在直線y＝－x上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），當(dāng)線段AQ最短時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為____________。

點(diǎn)Q在直線y＝－x上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何性質(zhì)，它與點(diǎn)A的所有連線中當(dāng)線段AQ垂直于直線y＝－x時(shí)AQ最短，利用等腰直角三角形的性質(zhì)就可以求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

3、弄清點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，畫出各種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的圖形，以靜制動(dòng)。

任何一個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體均可以看成質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，與之相關(guān)的圖形也會(huì)發(fā)生變化，但它在同一范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)形成的圖形相對(duì)是穩(wěn)定的，也可以說(shuō)是靜止不變的。因此，對(duì)每個(gè)范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)畫出圖形顯得尤為重要，做好這一步可以將問(wèn)題化為熟悉的問(wèn)題去解決。

例如3  點(diǎn)P按A→B→C→M的順序在邊長(zhǎng)為1的正方形邊上運(yùn)動(dòng)，M是CD邊上的中點(diǎn)。設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程x為自變量，△APM的面積為y，則函數(shù)y的大致圖像是（　?。?/span>

根據(jù)題意畫出圖形：

有三種狀態(tài)

（1）點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，即當(dāng) ≤ ≤1時(shí)（如圖1）

S_△APM= ·BC=

（2）點(diǎn)P在CD邊上時(shí)，即當(dāng)1≤ ≤2時(shí)（如圖2）

S_△APM=S_{正方形ABCD}-S_Rt△ABP-S_Rt△PCM-S_Rt△ADM

=1- AB·BP- PC·CM- AD·DM

=1- ×1×( -1)- × (2- )- × ×1

= -

（3）點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，即當(dāng)2≤ ≤2.5時(shí)（如圖3）

S_△APM= ·PM= ×1×( - )

= -

進(jìn)而不難得出結(jié)論A

例4  （2010年蘇州市）劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動(dòng)中，用硬紙片做了兩個(gè)直角三角形，見(jiàn)圖①、②．圖①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；圖②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4 cm．圖③是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個(gè)實(shí)驗(yàn)：他將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動(dòng)．在移動(dòng)過(guò)程中，D、E兩點(diǎn)始終在AC邊上(移動(dòng)開始時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合)．

(1)在△DEF沿AC方向移動(dòng)的過(guò)程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：F、C兩點(diǎn)間的距離逐漸      ．(填“不變”、“變大”或“變小”)

(2)劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過(guò)進(jìn)一步地研究，編制了如下問(wèn)題：

問(wèn)題①：當(dāng)△DEF移動(dòng)至什么位置，即AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，F、C的連線與AB平行？

問(wèn)題②：當(dāng)△DEF移動(dòng)至什么位置，即AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，以線段AD、FC、BC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形?

問(wèn)題③：在△DEF的移動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)位置，使得∠FCD=15°?如果存在，求出AD的長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

請(qǐng)你分別完成上述三個(gè)問(wèn)題的解答過(guò)程．

第（1）題只要考生“心里”畫出FC最長(zhǎng)和最短時(shí)（極點(diǎn)位置）的圖形，此時(shí)的點(diǎn)F從初始位置到終點(diǎn)位置的軌跡就形成一個(gè)如圖所示矩形ADF＇F

此時(shí)FF＇上的任一點(diǎn)P與點(diǎn)C距離PC滿足下列關(guān)系：F＇C≤PC≤FC（大角對(duì)大邊），因此結(jié)論應(yīng)為變小。

而且第（2）個(gè)問(wèn)題中的每一個(gè)問(wèn)題的解決無(wú)不說(shuō)明“以靜制動(dòng)”。抓住圖形在動(dòng)態(tài)變化中暫時(shí)靜止的某一瞬間，將這些點(diǎn)鎖定在某一位置上，畫出圖形，化動(dòng)為靜，問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就顯現(xiàn)出來(lái)，從而得到解決問(wèn)題的方法。

因此問(wèn)題①在畫出圖形的情形下實(shí)質(zhì)為下列問(wèn)題：

如圖，∠ABC=∠FDE =90°，∠A=30°，

∠DEF=45°，BC=6cm，DE=4cm，當(dāng)AD=      cm時(shí)FC∥AB。

這個(gè)問(wèn)題的解決是非常容易的。

第②的問(wèn)題的解決是利用方程的數(shù)學(xué)模型和分類的數(shù)學(xué)思想，就是用含未知數(shù)的代數(shù)式表示線段AD，然后分（Ⅰ）當(dāng)線段FC為斜邊時(shí)；（Ⅱ）當(dāng)線段AD為斜邊時(shí)；（Ⅲ）當(dāng)線段BC為斜邊時(shí)三種情況進(jìn)行求解。此處無(wú)圖勝有圖。

第③個(gè)問(wèn)題的解決是從結(jié)論出發(fā)，先畫出圖形，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明其結(jié)論是否存在。

根據(jù)題意所畫圖形如圖，過(guò)點(diǎn)F作∠CFE的平分線FP，利用直角三角形和等腰三角形形等的相關(guān)性質(zhì)計(jì)算得出:DC= ＋8＞12從而說(shuō)明不存在.

以上是解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一些淺顯的看法,但要使問(wèn)題得以解決還必須給合具體問(wèn)題建立函數(shù)模型、方程模型來(lái)求解，涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)主要有全等、相似等。