費(fèi)爾馬：

在笛卡兒系統(tǒng)地闡述現(xiàn)代解析幾何基礎(chǔ)的同時(shí)，另一位法國數(shù)學(xué)天才費(fèi)爾馬(Pierrede Fermat)也注意到這門學(xué)科．費(fèi)爾馬要求承認(rèn)是他發(fā)明解析幾何的理由是：他在1636年9月給羅伯瓦的一封信中說到，他有這個(gè)概念已經(jīng)七年了．在他死后發(fā)表的論著《平面和立體的軌跡引論》(isogoge ad locus planos et solidos)中，記載了這項(xiàng)工作的一些細(xì)節(jié)．在這里，我們見到了一般直線和圓的方程，以及關(guān)于雙曲線、橢圓、拋物線的討論．在一部1637年前完成的、關(guān)于切線和求面積的著作中，費(fèi)爾馬解析地定義了許多新的曲線．笛卡兒只提出了很少幾種由機(jī)械運(yùn)動(dòng)生成的新曲線，而費(fèi)爾馬則提出了許多以代數(shù)方程定義的新曲線．曲線xmyn=a，yn=axm和rn=aθ，現(xiàn)在還被稱作費(fèi)爾馬的雙曲線(hyperbolas)、拋物線(parabolas)和螺線(spirals of Fermat)．費(fèi)爾馬還和別人一起提出了后來被稱作阿涅澤的箕舌線(witch of Agnesi)的三次曲線；這曲線是以阿涅澤(Mati- a Haetana Agnesi，1718—1799)的名字命名的，她是一位多才多藝的婦女，是杰出的數(shù)學(xué)家、語言學(xué)家、哲學(xué)家和夜游病患者．這樣，在很大程度上，笛卡兒從一個(gè)軌跡開始然后找它的方程，費(fèi)爾馬則從方程出后，然后來研究軌跡．這正是解析幾何的基本原則的兩個(gè)相反的方面．費(fèi)爾馬的著作用的是韋達(dá)的記號(hào)，并且因此，與笛卡兒的較為現(xiàn)代的記號(hào)相比，有點(diǎn)象古文．

有一個(gè)看來可靠的報(bào)告說，費(fèi)爾馬在1601年8月17日出生于圖盧茲附近的博芒特．德．洛馬格內(nèi)．他在1665年1月12日死于卡斯特爾或圖盧茲，這是人們都知道的．他的墓碑，原來在圖盧茲的奧古斯丁教堂，后來移到當(dāng)?shù)氐牟┪镳^；在墓碑上寫著上述的死的日期和死時(shí)的年齡：五十七歲．但是，這與通常標(biāo)出的費(fèi)爾馬生卒年(1601？—1665)相抵觸．事實(shí)上，不同的作者對(duì)費(fèi)爾馬的出生年有不同的說法(當(dāng)然都有其理由)：從1590年到1608年，不等．
費(fèi)爾馬是一個(gè)皮革商的兒子，童年是在家里受的教育．三十歲，他得到圖盧茲地方議會(huì)辯護(hù)士的職位．在那里，他謙虛謹(jǐn)慎地干他的工作．他在當(dāng)卑微的律師時(shí)，把自己大量的業(yè)余時(shí)間用于數(shù)學(xué)研究．雖然他一輩子發(fā)表的著作不多，但他和同時(shí)代的許多第一流數(shù)學(xué)家有科學(xué)上的通信關(guān)系，并且以這種方式給他的同行以相當(dāng)大的影響．他以那么多的重要貢獻(xiàn)豐富了那么多的數(shù)學(xué)分支，以致曾被稱作十七世紀(jì)最偉大的法國數(shù)學(xué)家．
在費(fèi)爾馬對(duì)數(shù)學(xué)的多種多樣的貢獻(xiàn)中，最杰出的是對(duì)現(xiàn)代數(shù)論的奠基．在這個(gè)領(lǐng)域中，費(fèi)爾馬有非凡的直覺和能力．最初吸引費(fèi)爾馬注意數(shù)論的，也許是梅齊利亞克(Bachetde Meziriac)1621年翻譯的丟番圖《算術(shù)》(Arithmetica)的拉丁文譯本．費(fèi)爾馬在此領(lǐng)域的許多貢獻(xiàn)就寫在他的梅齊利亞克譯作手抄本的頁邊上．1670年，在他死后五年，這些筆記由他的兒子薩穆埃爾(Clement—Samuel)編入《算術(shù)》新版(印得不大仔細(xì))發(fā)表．許多由費(fèi)爾馬宣布的未被證明的定理，后來已被證明是正確的．現(xiàn)舉例說明費(fèi)爾馬的研究趨向：
1．如果p是素?cái)?shù)，并且a與p互素，則ap-1-1可被p整除．例如，如果p=5，a=2，ap-1-1=15=(5)(3)．此定理被稱作費(fèi)爾馬小定理(little Fermat theo-rem)，是費(fèi)爾馬在1640年10月18日給德貝西(Frenicle de Bessy)的信中給出的，未作證明．歐拉于1736年發(fā)表了第一個(gè)關(guān)于費(fèi)爾馬小定理的證明(參看問題研究10．5)．
2．每一個(gè)奇素?cái)?shù)可用且僅可用一種方式表為兩個(gè)平方數(shù)之差．費(fèi)爾馬對(duì)此命題給了一個(gè)簡單證明．如果p是一個(gè)奇數(shù)，則我們?nèi)菀鬃C明
另一方面，如果p=x2-y2，則p=(x+y)(x-y)．但是，因?yàn)閜是素?cái)?shù)，它只有因數(shù)p和1．因此，x+y=p和x-y=1，或x=(p+1)/2和y=(p-1)/2．
3．一個(gè)形式為4n+1的素?cái)?shù)可以表成兩個(gè)平方數(shù)之和．例如，5=4+1，13=9+4，17=16+1，29=25+4．此定理是費(fèi)爾馬在1640年12月25日給梅森的信中最先指出的．歐拉于1754年首先證明了它，并且還證明了這種表達(dá)式的唯一性．
4．一個(gè)形式為4n+1的素?cái)?shù)，作為整數(shù)邊直角三角形的斜邊，僅有一次；其平方有兩次；其立方有三次，等等．例如，5=4(1)+1，這時(shí)有52=32+42；252=152+202=72+242；1252=752+1002=352+1202=442+1172．
5．每一個(gè)非負(fù)整數(shù)可以表成四個(gè)或少于四個(gè)平方數(shù)的和．這個(gè)難證的定理是1770年由拉格朗日證明的．
6．整數(shù)邊直角三角形的面積不能是一個(gè)平方數(shù)．這也是后來由拉格朗日證明的．
7．x2+2=y3只有一個(gè)整數(shù)解；x2+4=y3只有兩個(gè)整數(shù)解．這是向英國數(shù)學(xué)家們提出的一個(gè)競賽題．第一個(gè)方程的解是x=5，y=3；第二個(gè)方程的解是x=2，y=2和x=11，y=5．
8．不存在正整數(shù)x，y，z，使得x^4+y^4=z2．
9．不存在正整數(shù)x，y，z，n，使得xn+yn=zn(當(dāng)n＞2時(shí))．這個(gè)著名的猜想，稱為費(fèi)爾馬最后“定理”(Fermat’s last“theorem”)．費(fèi)爾馬把它寫在丟番圖的梅齊利亞克譯本的手抄本第二卷問題8的旁邊，這個(gè)問題是：“分一給定的平方數(shù)為兩個(gè)平方數(shù)．”費(fèi)爾馬的頁邊評(píng)注斷定：“分一立方數(shù)為兩個(gè)立方數(shù)，分一個(gè)四次冪(或者一般地，任何次冪)為兩個(gè)同次冪，這是不可能的：我確實(shí)找到了一個(gè)巧妙的證明，但是頁邊太窄，寫不下．”費(fèi)爾馬是否真有此問題的一個(gè)完善的證明，也許將永遠(yuǎn)是個(gè)謎！從那時(shí)起，許多卓越的數(shù)學(xué)家曾在此問題上試驗(yàn)他的技巧，但是這一般的猜想，至今仍然期待人們?nèi)ソ鉀Q．在別處，費(fèi)爾馬對(duì)n=4的情況給出了一個(gè)證明：歐拉給出了一個(gè)n=3的情況的證明(后來由別人加以完善)．大約1825年，勒讓德和狄利克雷獨(dú)立地對(duì)于n=5的情況給出了證明；拉梅于1839年對(duì)于n=7證明了此定理．德國數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺?E．Kummet．1810—1893)對(duì)此問題的研究作了有意義的推進(jìn)．1843年，庫默爾向狄利克雷提交了一個(gè)書面說明，后者指出了其推理中的一個(gè)錯(cuò)誤．庫默爾回過來重新研究它，又過了幾年，在稱作理想數(shù)理論(The theory of ideals)的高等代數(shù)中發(fā)展一個(gè)與之相聯(lián)系的重要課題，為費(fèi)爾馬關(guān)系式的不可解性導(dǎo)出很一般的條件．現(xiàn)在知道：費(fèi)爾馬的最后“定理”，對(duì)于n＜125，000和許多別的特殊的n值，確實(shí)成立．1908年，德國數(shù)學(xué)家瓦爾夫斯克爾給哥廷根科學(xué)院留下十萬馬克，作為這個(gè)“定理”的第一個(gè)完全證明的獎(jiǎng)金．結(jié)果，追求名利者提出的證明紛至沓來，并且從那以后，這個(gè)問題的業(yè)余愛好者簡直到處都有，就象對(duì)于三等分角和化圓為方問題一樣，費(fèi)爾馬的最后“定理”作為數(shù)學(xué)問題而享有盛名，原因就在于：對(duì)于它，已經(jīng)發(fā)表了許多錯(cuò)誤證明．
10．費(fèi)爾馬的猜想：對(duì)于所有非負(fù)數(shù)n，f(n)=22n+1是素?cái)?shù)．這個(gè)猜想已被證明是錯(cuò)誤的；歐拉證明了：f(5)是合數(shù)．已知：對(duì)于5≤n≤16和n的至少四十七個(gè)其它值(也許最大的是n=1945)，f(n)是合數(shù)．f(5)，f(6)和f(8)的素因子已找到；f(9)的一個(gè)素因子已找到．
1879年，在萊頓的圖書館中，在C．惠更斯手稿中間，發(fā)現(xiàn)一篇論文，其中，費(fèi)爾馬講到一種一般方法——他可能曾用它作出他的許多發(fā)現(xiàn)．這方法被稱作費(fèi)爾馬的無限遞降法(method of infinite descent)對(duì)于確立否定的結(jié)論很有用．這方法，簡單地說，是這樣的：為了證明與正整數(shù)相聯(lián)系的某關(guān)系式是不可能的，假定：反過來，該關(guān)系式被一些正整數(shù)的特定集合滿足．從這假定出發(fā)，證明：同樣的關(guān)系式對(duì)另一較小的正整數(shù)的集合成立．于是，再用同方法證明：該關(guān)系式對(duì)于另一個(gè)更小的正整數(shù)集合成立，等等以至無窮．因?yàn)檎麛?shù)不能無限減小，所以，開始的假定是站不住腳的，因而，原來的關(guān)系式不能成立．為了弄清這b是正整數(shù)．
我們已經(jīng)講過，帕斯卡與費(fèi)爾馬的通訊關(guān)系為概率論奠了基．應(yīng)該記得：它是從所謂得分問題(porblem or the points)開始的：“在兩個(gè)被假定有同等技巧的博弈者之間，在一個(gè)中斷的博弈中，如何來確定賭金的劃分，已知兩個(gè)博弈者在中斷時(shí)的得分及在博弈中獲勝所需要的分?jǐn)?shù)．”費(fèi)爾馬討論了一個(gè)博弈者A需要2分獲勝，另一個(gè)博弈者B需要3分獲勝的情況．這是費(fèi)爾馬對(duì)于此種特殊情況的解．因?yàn)?，顯然最多四次就能決定勝負(fù)，令a表示A勝，b表示B勝，考慮a和b兩個(gè)字母每次取4個(gè)的16種排列：
aaaa aaab abba bbab
baaa bbaa abab babb
abaa baba aabb abbb
aaba baab bbba bbbb
a出現(xiàn)等于或多于2次，則A獲勝：有11種情況是這樣的．b出現(xiàn)等于或多于3次，則B獲勝；有5種情況是這樣的．所以，賭金應(yīng)以11∶5的比例劃分．對(duì)于一般情況：A需要m分獲勝，B需要n分獲勝，我們能寫出a、b兩個(gè)字母每次取m+n-1個(gè)的2m+n-1種排列．然后，我們找a出現(xiàn)等于或多于m次的α種情況，和b出現(xiàn)等于或多于n次的β種情況．所以，賭金應(yīng)以α∶β的比例劃分．
帕斯卡利用其“算術(shù)三角形”解得分問題，在9．9節(jié)中講過．令C(n，r)表示從n件中每次取r件的組合數(shù)[參看問題研究9．13(g)]，我們能容易地證明：“算術(shù)三角形”的第五條對(duì)角線上的數(shù)分別為：
C(4，4)=1，C(4，3)=4，C(4，2)=6，C(4，1)=4，C(4，0)=1．
因?yàn)?，回到上面講的特殊的得分問題，C(4，4)是得4個(gè)a的方式數(shù)，C(4，3)是得3個(gè)a的方式數(shù)，等等；由此得出：此問題的解為：
[C(4，4)+C(4，3)+C(4，2)]∶[C(4，1)+C(4，0)]=(1+4+6)∶(4+1)
=11∶5
對(duì)于一般情況，A需要m分獲勝，B需要n分獲勝，我們選擇帕斯卡算術(shù)陣的第(m+n)條對(duì)角線．然后，我們求此對(duì)角線的前n個(gè)數(shù)的和α和此對(duì)角線的最后m個(gè)數(shù)的和β．于是，賭金應(yīng)依α∶β的比例劃分．
帕斯卡和費(fèi)爾馬在他們1654年的有歷史意義的通信中考慮到有關(guān)得分問題的其它問題，例如，當(dāng)博弈者超過兩個(gè)時(shí)，或兩個(gè)博弈者的技巧參差不齊時(shí)，賭金該如何劃分．帕斯卡和費(fèi)爾馬的這個(gè)工作開數(shù)學(xué)概率論之先河．惠更斯(Christiaan Huygens，1629—1695)寫關(guān)于概率論的第一篇正式論文，就是以帕斯卡—費(fèi)爾馬的通信為基礎(chǔ)的．雅科布．伯努利(Jakob Bernoulli，1654—1705)的《猜測術(shù)》(Ars conjectandi)在他死后1713年才出版；這部書是這門學(xué)科的最優(yōu)講述，它包括惠更斯的較早的論文．繼這些先行者之后，促進(jìn)此學(xué)科發(fā)展的有：棣莫費(fèi)爾(De Moivre，1667—1754)，丹尼爾．伯努利(Daniel Bemoul-li，1700—1782)，歐拉(1707—1783)，拉格朗日(1736—1813)，拉普拉斯(1749—1827)，和一大批其他數(shù)學(xué)家．
引人入勝并且有些令人驚異的是：數(shù)學(xué)家們居然有能力發(fā)展這樣一門學(xué)科(即，數(shù)學(xué)概率論)，它證明的理性的定律能被應(yīng)用于純屬機(jī)遇的場合．這門學(xué)科遠(yuǎn)不是不實(shí)際的：通過大試驗(yàn)室中進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)，通過與概率有密切關(guān)系的保險(xiǎn)公司的存在，并通過大商業(yè)和戰(zhàn)爭的推理計(jì)算，表明了這一點(diǎn)．
我們?cè)谙乱徽?11．7節(jié))中還要回過來講費(fèi)爾馬：在那里，講他將無窮小用于幾何(尤其是他在極大值、極小值方面的工作)；就憑這一點(diǎn)，他成了微積分的一位重要的先驅(qū)．