2011年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)授予以色列人丹尼爾·舍特曼（Daniel Shechtman），他觀察到自然界中基本粒子存在非周期性排列的現(xiàn)象。這個(gè) 準(zhǔn)晶模型 的發(fā)現(xiàn)，拓展了整個(gè)晶體學(xué)界的知識(shí)域和審美視野。
但其實(shí)，在此之前數(shù)學(xué)界就已經(jīng)研究過(guò)這個(gè)問(wèn)題，并且持續(xù)探索了半個(gè)世紀(jì)之久，到今天雖然依舊留有懸念，不過(guò)結(jié)果已然精彩紛呈。問(wèn)題的起源可以非常簡(jiǎn)單，不妨讓我們從地板磚說(shuō)起。
你注意過(guò)腳下的地板磚是什么形狀嗎？它們通常都是正三角形、正方形和正六邊形。事實(shí)上，如果想要用單一的一種正多邊形鋪滿整個(gè)平面，那么正三角形、正方形和正六邊形是僅有的三種選擇。這是因?yàn)?，這三種圖形的內(nèi)角分別是 60° 、90° 和 120° ，它們都是 360 的約數(shù)。如果換作內(nèi)角為 108° 的正五邊形，那么它無(wú)論如何也沒(méi)法既無(wú)重復(fù)又無(wú)遺漏地鋪滿整個(gè)平面——三個(gè)正五邊形相接，不能擺滿 360° ；四個(gè)正五邊形相接，又超過(guò) 360° 了。
正多邊形平鋪平面的能力
不過(guò)，如果允許多種形狀不同的磚塊組合，我們就能得到幾乎是無(wú)窮無(wú)盡的地板磚設(shè)計(jì)方案。我們甚至能構(gòu)造出這么一種極端的情況：?jiǎn)慰疵恳环N磚塊都不是平鋪平面的料，但把它們合在一起，就能得到一個(gè)漂亮的平鋪方案。在下圖中，基本的磚塊只有四種，正五邊形、正十邊形、正五角星和一個(gè)包含 16 條邊的 8 字形磚塊。這四種磚塊都沒(méi)法單獨(dú)平鋪平面，但彼此合作就能得出一個(gè)不錯(cuò)的平鋪圖：
一個(gè)非周期性的平鋪方案
請(qǐng)注意，這個(gè)平鋪方案和我們之前的那些方案有一個(gè)很大的不同：它不是周期性的！換句話說(shuō)，它不是某一種基本模式的重復(fù)排列，不管怎樣對(duì)整個(gè)平面進(jìn)行平移，圖案都不能和原來(lái)重合。但這其實(shí)有些故弄玄虛的味道。因?yàn)槭聦?shí)上，我們可以用這四種磚塊實(shí)現(xiàn)一個(gè)簡(jiǎn)單的周期性平鋪：
一個(gè)周期性的平鋪方案
于是我們想問(wèn)：存在一組磚塊，它可以平鋪整個(gè)平面，但只能用非周期性的方法才能平鋪整個(gè)平面嗎？其實(shí)，為了給這個(gè)問(wèn)題找出一個(gè)完美的回答，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)奮斗了整整半個(gè)世紀(jì)。
故事的起點(diǎn)：王氏磚塊
1961 年，美籍華裔數(shù)學(xué)家王浩考慮了這么一個(gè)有趣的問(wèn)題：大小相同的正方形磚塊可以無(wú)限地平鋪整個(gè)平面，但如果增加一些額外的限制呢？王浩設(shè)想了一種邊上涂有顏色的正方形磚塊，并要求擺放磚塊時(shí)只有相同顏色的邊才能挨在一起（磚塊不能旋轉(zhuǎn)、翻折）。我們通常把這樣的磚塊叫做王氏磚塊（Wang tile）。任意給定一組王氏磚塊，能否用它們擺滿整個(gè)平面呢？如果磚塊數(shù)量一多，這就不容易看出來(lái)了，就連計(jì)算機(jī)也不見(jiàn)得有簡(jiǎn)單的判斷方法。尋找一種簡(jiǎn)潔有效的判斷方法，成為了王氏磚塊研究的核心問(wèn)題。
一個(gè)可以平鋪平面的王氏磚塊組，以及一個(gè)不能平鋪平面的王氏磚塊組
在研究過(guò)程中，王浩找到了一種算法，它能夠列舉出所有可以周期性平鋪平面的磚塊組，同時(shí)也能列舉出所有不可以平鋪平面的磚塊組。因此，如果任意一個(gè)磚塊組都只可能屬于上述兩種情況之一，那么我們就能保證在有限長(zhǎng)的時(shí)間里等到答案。這樣看來(lái)，王浩似乎成功找到了一種判斷給定的王氏磚塊是否能平鋪平面的算法。
但五年之后，事情突然發(fā)生了 180 度大逆轉(zhuǎn)。數(shù)學(xué)家羅伯特?貝格（Robert Berger）在 1966 年證明了，王氏磚塊問(wèn)題事實(shí)上是一個(gè)不可判定問(wèn)題。這聽(tīng)上去似乎很不合邏輯，但經(jīng)過(guò)嚴(yán)格推導(dǎo)后，事實(shí)就擺在眼前：判斷一組給定的王氏磚塊能否平鋪整個(gè)平面，這不但沒(méi)有簡(jiǎn)潔有效的算法，而且事實(shí)上根本就沒(méi)有任何算法。再天才、再有耐心的程序員，也不可能編寫(xiě)出一個(gè)自動(dòng)判斷一組王氏磚塊有無(wú)平鋪方案的程序，因?yàn)檫@在理論上就是不可能實(shí)現(xiàn)的。
把兩人得出的結(jié)論一對(duì)比，我們立即可知，一定存在一組王氏磚塊，它只能非周期性地平鋪平面！人們通常把這樣的磚塊組簡(jiǎn)稱為“非周期性磚塊組”。在 1966 年的論文中，羅伯特?貝格給出了第一個(gè)非周期性磚塊組，它由 20426 個(gè)磚塊構(gòu)成。沒(méi)多久，貝格本人又給出了一個(gè)含有 104 個(gè)磚塊的非周期性磚塊組。經(jīng)過(guò)其他數(shù)學(xué)家的努力，這個(gè)數(shù)目不斷地減小，最終在 1996 年減小到了 13 塊。
只含有 13 個(gè)磚塊的非周期性磚塊組
上述非周期性磚塊組的平鋪方案
羅賓遜磚塊組
既然王氏磚塊中存在非周期性磚塊組，那么對(duì)于其他類型的磚塊，存在非周期性磚塊組也不足為奇了。1971 年，美國(guó)數(shù)學(xué)家拉斐爾?羅賓遜（Raphael M. Robinson）發(fā)現(xiàn)了一個(gè)只含 6 個(gè)磚塊的非周期性磚塊組。不過(guò)，這里“磚塊組”的意義和王氏磚塊卻有很大的區(qū)別：這里的磚塊都可以旋轉(zhuǎn)或者翻轉(zhuǎn)，另外除了邊上有匹配規(guī)則以外，角上也有相應(yīng)的規(guī)則。下圖就是羅賓遜磚塊組，其中邊上和角上的匹配規(guī)則都巧妙地用拼圖的形式表示了出來(lái)。
羅賓遜磚塊組
為了便于研究，我們通常會(huì)在羅賓遜磚塊中加上兩種顏色的線條。羅賓遜磚塊組可以平鋪平面，但只能非周期性地平鋪平面。下圖就是一種平鋪方案，注意兩種顏色的線條將會(huì)產(chǎn)生尺度越來(lái)越大的正方形，這說(shuō)明這種平鋪方案是非周期的。
羅賓遜磚塊組的平鋪方案，除右下角外，其他部分都省略了具體的磚塊形狀，只保留了由線條構(gòu)成的“骨架”
彭羅斯磚塊組
磚塊的數(shù)目還能繼續(xù)減少嗎？答案是肯定的。1974 年，英國(guó)數(shù)學(xué)家羅杰?彭羅斯（Roger Penrose）跳出了正方形磚塊的圈子，巧妙地構(gòu)造出了一系列非周期性磚塊組。其中最簡(jiǎn)單的一個(gè)磚塊組只含兩個(gè)磚塊，它們分別是 36 度菱形和 72 度菱形：
彭羅斯磚塊組，其中邊界上的匹配規(guī)則已經(jīng)用拼圖的形式給出
在邊界規(guī)則的限定下，我們只能用它們非周期性地平鋪整個(gè)平面：
彭羅斯磚塊組的平鋪方案
現(xiàn)在，我們的問(wèn)題就只剩下一個(gè)了：是否存在由單個(gè)磚塊構(gòu)成的非周期性磚塊組呢？
泰勒磚塊組
2010 年 9 月，非周期性磚塊組的問(wèn)題終于有了一個(gè)大突破。瓊?泰勒（Joan M. Taylor）發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)只含單個(gè)磚塊的非周期性磚塊組。
泰勒磚塊組
這是一個(gè)六邊形的磚塊。在擺放的時(shí)候，我們可以任意旋轉(zhuǎn)或者翻轉(zhuǎn)磚塊，但有兩點(diǎn)限制。第一，黑色的線條必須連在一起（這也就相當(dāng)于是邊界匹配規(guī)則）；第二，一條邊兩端的紫色小旗必須朝向相同的方向。
其中規(guī)則二中的兩個(gè)小旗來(lái)自于兩個(gè)不相鄰的磚塊?？梢宰C明，用這種六邊形磚塊是能夠平鋪整個(gè)平面的，但方案是唯一的。拼接的限制很巧妙地迫使黑色線條構(gòu)成規(guī)模越來(lái)越大的三角形，從而使得整個(gè)圖形不具有周期性。
泰勒磚塊組的平鋪方案
不過(guò)，泰勒磚塊組有一個(gè)明顯不盡人意的地方：它的第二條規(guī)則是對(duì)不相鄰磚塊的擺放限制，這顯得有些“過(guò)”了。因此，非周期性磚塊組的問(wèn)題仍然不能算作是徹底解決。是否存在一個(gè)更常規(guī)的單個(gè)非周期性磚塊呢？這個(gè)問(wèn)題至今仍未解決。
