如何把握復(fù)習(xí)《選修4－5：不等式選講》的方向

                            《不等式選講》是在必修模塊數(shù)學(xué)5中第三章《不等式》的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，總的來說仍然繼續(xù)學(xué)習(xí)了不等式的基礎(chǔ)性知識，但增加了不等式的證明和“柯西不等式”、“排序不等式”、“貝努利不等式”的推證及應(yīng)用，使得教學(xué)內(nèi)容較多，難度增大，學(xué)生學(xué)起來費勁，教師教起來困難。作為新高考復(fù)習(xí)，如何把握復(fù)習(xí)這個專題內(nèi)容的方向，是擺在我們面前急需解決的問題。本文就談?wù)勛约涸谶@方面的體會，不妥之處還望批評指正。

一．《不等式選講》構(gòu)成的背景及其定位

眾所周知，不等式一直在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中占有相當(dāng)?shù)奈恢?，也一直是高考中的必考?nèi)容，但由于“不等式的證明”所涉及到的復(fù)雜變換技巧和過于形式化的知識特點，給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了一定的困難。因此，近些年來，不等式內(nèi)容有逐漸淡化處理的傾向。不等式問題的處理逐漸呈現(xiàn)出淡化理論闡述與推導(dǎo)、減少恒等變換的技巧訓(xùn)練的趨勢。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》（實驗稿）對不等式的處理分為兩個部分：一是必修模塊數(shù)學(xué)5中的一元二次不等式、二元一次不等式組以及基本不等式，重在強調(diào)不等式的現(xiàn)實背景和實際應(yīng)用，把不等式作為描述、刻畫優(yōu)化問題的一種數(shù)學(xué)模型；二是選修系列4中的專題5——“不等式選講”，涉及的內(nèi)容仍然大都是基礎(chǔ)性的不等式知識。如含有絕對值的不等式、不等式的基本證明方法、幾個重要的不等式等。

特別值得注意的是，“不等式選講”仍屬于高等院校招生考試的命題范圍。而且，考慮到不等式在高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)性和工具性特點，《標準》在“不等式選講”中增加了“柯西不等式”、“排序不等式”、“貝努利不等式”等幾個重要不等式的內(nèi)容，并特別強調(diào)這些不等式的幾何背景知識的介紹，意在增強學(xué)生對不等式本質(zhì)的認識，為后續(xù)進一步的學(xué)習(xí)做準備。

二.《不等式選講》標準

    在自然界中存在著大量的不等量關(guān)系和等量關(guān)系，不等關(guān)系和相等關(guān)系是基本的數(shù)學(xué)關(guān)系。它們在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中起著重要的作用。

本專題主要介紹一些重要的不等式和它們的證明、數(shù)學(xué)歸納法和它的簡單應(yīng)用。本專題特別強調(diào)不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學(xué)生對這些不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提高學(xué)生的邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力。

內(nèi)容與要求

1.回顧和復(fù)習(xí)不等式的基本性質(zhì)和基本不等式。

2.理解絕對值的幾何意義，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：

 （3）會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：

3.認識柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義。

（1）證明柯西不等式向量形式：

（2）   4.用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況：

5.用向量遞歸方法討論排序不等式。

6.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題。

7.會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式：

了解當(dāng)n為大于1的實數(shù)時貝努利不等式也成立。

8.會用上述不等式證明一些簡單問題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值。

9.通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。

   10．完成一個學(xué)習(xí)總結(jié)報告。

說明與建議

1．在本專題教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生了解重要的不等式都有深刻的數(shù)學(xué)意義和背景，例如本專題給出的不等式大都有明確的幾何背景。學(xué)生在學(xué)習(xí)中應(yīng)該把握這些幾何背景，理解這些不等式的實質(zhì)。

2．利用代數(shù)恒等變換以及放大、縮小方法是證明不等式的常用方法。例如，比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等，在很多情況下需要一些前人為我們創(chuàng)造的技巧，對于專門從事某些數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究的人們掌握這些技巧是極為重要的。但是，對大多數(shù)學(xué)習(xí)不等式的人來說，常常很難從這些復(fù)雜的代數(shù)恒等變換中看到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，對他們更為重要的是理解這些不等式的數(shù)學(xué)思想和背景。所以，本專題盡力使用幾何或其他方法來證明這些不等式，使學(xué)生較為容易地理解這些不等式以及證明的數(shù)學(xué)思想，不對恒等變換的難度特別是一些技巧作更多的要求，不希望不等式的教學(xué)陷在過于形式化的和復(fù)雜的恒等變換的技巧之中。要求教師不要選擇那些代數(shù)恒等變換比較復(fù)雜或過于技巧化的問題或習(xí)題。

3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是重要的數(shù)學(xué)思想方法，教師應(yīng)通過對一些簡單問題的分析，幫助學(xué)生掌握這種思想方法。在利用數(shù)學(xué)歸納法解決問題時，常常需要進行一些代數(shù)恒等變換。要求教師不要選擇那些代數(shù)恒等變換比較復(fù)雜或過于技巧化的問題或習(xí)題，以免沖淡了對數(shù)學(xué)歸納法思想的理解。

三．高考中如何考《不等式選講》

先分析以下近三年海南、寧夏的新高考關(guān)于這一專題的考題：

1.07年24題（本小題滿分10分）：已知函數(shù)，

（1）解不等式 >2;(2)求函數(shù)最小值。

2.08年24題（本小題滿分10分）：已知函數(shù) ，（1）作出函數(shù) 的圖像；（2）解不等式 。

3.09年24題（本小題滿分10分）：如圖，O為數(shù)軸的原點，A，B，M為數(shù)軸上的三點，C為OM線段上的動點。設(shè)x表示C與原點的距離，y表示C到A的距離的4倍與C到B的距離的6倍的和。

（1）將y表示成x的函數(shù)；

（2）要使y的值不超過70，x應(yīng)該在什么范圍內(nèi)取值?

            O        A           B         M    

                    10           20        30 x

點評：從以上三年的考題可以看出，《不等式選講》都是重點考查兩層絕對值函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，包括建立函數(shù)關(guān)系式、畫函數(shù)圖像、解不等式和求最值等等；同時考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。這類題具有一定的典型性和普遍性，屬基礎(chǔ)題，較簡單，估計大多數(shù)學(xué)生都能解對。

四．如何把握復(fù)習(xí)《選修4－5：不等式選講》的方向

從以上分析，我們在復(fù)習(xí)《選修4－5：不等式選講》時，要將兩層絕對值函數(shù)作為復(fù)習(xí)的重點，熟練掌握其性質(zhì)及其應(yīng)用，會解相關(guān)不等式。要淡化證明不等式，對柯西不等式、排序不等式和貝努力不等式的推導(dǎo)和應(yīng)用更要降低難度，切不要拔高要求，顧此失彼。特提出如下教學(xué)建議：

1.回顧高中選修2-2推理與證明中的比較法、綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等內(nèi)容。重視學(xué)生在學(xué)習(xí)本課程時已掌握的相關(guān)知識，可適當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生閱讀自學(xué)，設(shè)置梯度恰當(dāng)?shù)牧?xí)題，采用題組教學(xué)的形式，達到復(fù)習(xí)鞏固系統(tǒng)化的效果，類似于高考第二輪的專題復(fù)習(xí)，構(gòu)建知識體系。

2、控制難度不拓展

在解絕對值不等式的教學(xué)中，要控制難度：含未知數(shù)的絕對值不超過兩個；絕對值內(nèi)的關(guān)于未知數(shù)的函數(shù)主要限于一次函數(shù)。解含有絕對值的不等式的最基本和有效的方法是分區(qū)間來加以討論，把含有絕對值的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式；

不等式證明的教學(xué)，主要使學(xué)生掌握比較法、綜合法、分析法，其它方法如反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法，應(yīng)用柯西不等式和排序不等式的證明，只要求了解。

代數(shù)恒等變換以及放縮法常常使用一些技巧。這些技巧是極為重要的，但對大多數(shù)學(xué)生來說，往往很難掌握這些技巧，教學(xué)中要盡力使學(xué)生理解這些不等式以及證明的數(shù)學(xué)思想，對一些技巧不做更多的要求，不要把不等式的教學(xué)陷在過于形式化的和復(fù)雜的技巧之中。

3、重視不等式的應(yīng)用

不等式應(yīng)用的教學(xué)，主要是引導(dǎo)學(xué)生解決涉及大小比較、解不等式和最值問題，其中最值問題主要是用二個或三個正數(shù)平均不等式、二維或三維柯西不等式求解。對于超過3個正數(shù)的均值不等式和柯西不等式；排序不等式；貝努里不等式的應(yīng)用不作要求。

4、重視展現(xiàn)著名不等式的背景

幾個重要不等式都有明確的幾何背景。教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生了解重要不等式的數(shù)學(xué)意義和幾何背景，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中把握這些幾何背景，力求直觀理解這些不等式的實質(zhì)。特別是對于n元柯西不等式、排序不等式、貝努利不等式等內(nèi)容，可指導(dǎo)學(xué)生閱讀了解相關(guān)背景知識。

5.關(guān)于明年高考題預(yù)測：繼續(xù)考查兩層絕對值函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用；或者考查用“均值不等式”、“柯西不等式”求最值問題，有一定的靈活性和綜合性。

6.重視課本、回歸課本（2007年高考湖北卷最后一道壓軸題就來源于課本，考查“貝努利不等式”的證明和公式的應(yīng)用，試題很新穎），也是我們復(fù)習(xí)時必須注意的重要環(huán)節(jié)。課本的數(shù)學(xué)思想方法是我們解題的關(guān)鍵所在，必須牢固和熟練掌握。回歸課本，最終目標是從課本出發(fā)，把學(xué)生引向高考數(shù)學(xué)的至高點。