一、應(yīng)當(dāng)把握數(shù)學(xué)思想

從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作的教師應(yīng)當(dāng)把握數(shù)學(xué)思想，有兩個(gè)理由。首先，在現(xiàn)實(shí)的大學(xué)教育中，普遍開設(shè)了數(shù)學(xué)文化的課程，這是非常重要的，而數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)文化的核心。梁漱溟在《東西文化及其哲學(xué)》的書中區(qū)別了文化和文明：文化是那個(gè)時(shí)代人們生活的樣子，文明是那個(gè)時(shí)代人們創(chuàng)造的東西。據(jù)此或許可以說(shuō)，文化是生活的形態(tài)表現(xiàn)，文明是生活的物質(zhì)表現(xiàn)。那么，數(shù)學(xué)文化就是數(shù)學(xué)的形態(tài)表現(xiàn)，可以包括：數(shù)學(xué)形式、數(shù)學(xué)歷史、數(shù)學(xué)思想。其中思想是本質(zhì)的，沒有思想就沒有文化。

其次，是為了培養(yǎng)創(chuàng)新性人才。在修改《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的過(guò)程中，把傳統(tǒng)的“雙基”擴(kuò)充為“四基”，即在基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的基礎(chǔ)上加上了基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?；净顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要性是不言而喻的，因?yàn)閿?shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來(lái)的，而不是“證”出來(lái)的，這就依賴于直觀判斷。正如希爾伯特在《幾何基礎(chǔ)》第一版的扉頁(yè)引用康德的話：人類的一切知識(shí)都是從直觀開始，從那里進(jìn)到概念，而以理念結(jié)束。幾乎所有的大數(shù)學(xué)家都強(qiáng)調(diào)直觀的重要性，數(shù)學(xué)直觀的養(yǎng)成不僅依賴數(shù)學(xué)知識(shí)，更依賴思考問題的方法，依賴思維經(jīng)驗(yàn)的積累。那么，數(shù)學(xué)思想是什么呢？

二、數(shù)學(xué)思想是什么

人們通常所說(shuō)的等量替換、圖形結(jié)合、遞歸法等，只是數(shù)學(xué)思想方法而不是數(shù)學(xué)思想?；緮?shù)學(xué)思想不應(yīng)當(dāng)是個(gè)案的，而必須是一般的。這大概需要滿足兩個(gè)條件：一是數(shù)學(xué)產(chǎn)生以及數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中所必須依賴的那些思想。二是學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)的人所具有的思維特征。這些特征表現(xiàn)在日常的生活之中。這就可以歸納為三種基本思想，即抽象、推理和模型。通過(guò)抽象，人們把外部世界與數(shù)學(xué)有關(guān)的東西抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部，形成數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，其思維特征是抽象能力強(qiáng)；通過(guò)推理，人們得到數(shù)學(xué)的命題和計(jì)算方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展，其思維特征是邏輯能力強(qiáng)；通過(guò)模型，人們創(chuàng)造出具有表現(xiàn)力的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，其思維特征是應(yīng)用能力強(qiáng)。

三、什么是抽象

對(duì)于數(shù)學(xué)，抽象主要包括兩方面的內(nèi)容：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象，圖形與圖形關(guān)系的抽象。其中關(guān)系是重要的，正如亞里士多德所說(shuō)：數(shù)學(xué)家用抽象的方法對(duì)事物進(jìn)行研究，去掉感性的東西剩下的只有數(shù)量和關(guān)系；對(duì)于數(shù)學(xué)研究而言，線、角或者其他的量，不是作為存在而是作為關(guān)系。

通過(guò)抽象得到數(shù)學(xué)的基本概念，這些基本概念包括：數(shù)學(xué)研究對(duì)象的定義、刻畫對(duì)象之間關(guān)系的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)以及刻畫對(duì)象之間關(guān)系的運(yùn)算方法。這種抽象是一種從感性具體上升到理性具體的思維過(guò)程，這樣的抽象還只是第一次抽象。在此基礎(chǔ)上，還能憑借想象和類比進(jìn)行第二次抽象，其特點(diǎn)是符號(hào)化，得到那些并非直接來(lái)源于現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算方法，比如實(shí)數(shù)和高維空間的概念，比如極限和四元數(shù)的運(yùn)算。第二次抽象是此理性具體擴(kuò)充到彼理性具體的思維過(guò)程，在這個(gè)意義上，數(shù)學(xué)并非僅僅研究那些直接來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活的東西。

數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象。數(shù)學(xué)把數(shù)量抽象為數(shù)，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的實(shí)踐，形成了自然數(shù)，并且用十個(gè)符號(hào)和位數(shù)表示。數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是多與少，把這種關(guān)系抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部就是數(shù)的大小，后來(lái)演變?yōu)橐话愕男蜿P(guān)系。由大小關(guān)系派生出自然數(shù)的加法，逆運(yùn)算產(chǎn)生了減法、簡(jiǎn)便運(yùn)算產(chǎn)生了乘法、乘法逆運(yùn)算產(chǎn)生了除法。數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)是四則運(yùn)算，都是基于加法的，這也是計(jì)算機(jī)的運(yùn)算原理。通過(guò)對(duì)運(yùn)算性質(zhì)的分析，抽象出運(yùn)算法則；通過(guò)對(duì)運(yùn)算結(jié)果的分析，抽象出數(shù)的集合。

數(shù)學(xué)還有一種運(yùn)算，就是極限運(yùn)算，這涉及數(shù)學(xué)的第二次抽象，起因于牛頓、萊布尼茨于 1684 年左右創(chuàng)立的微積分。微積分的運(yùn)算基礎(chǔ)是極限，為了合理解釋極限，特別是合理解釋一個(gè)變量趨于一個(gè)給定常量，1821年柯西給出了 ε–δ 語(yǔ)言的描述。這也開始了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特征：研究對(duì)象的符號(hào)化、證明過(guò)程的形式化、邏輯推理的公理化。數(shù)學(xué)的第二次抽象就為這些特征服務(wù)的。

為了很好地描述極限過(guò)程，需要解決實(shí)數(shù)的連續(xù)性問題；為了很好地定義實(shí)數(shù)，需要重新定義有理數(shù)。這樣，小數(shù)形式的有理數(shù)就出現(xiàn)了，這已經(jīng)完全背離分?jǐn)?shù)形式有理數(shù)的初衷：部分與整體的關(guān)系，線段的比例關(guān)系。1872 年，從小數(shù)形式的有理數(shù)出發(fā)，康托爾用基本序列的方法定義實(shí)數(shù)，解決了實(shí)數(shù)的運(yùn)算問題；戴德金用分割的方法定義實(shí)數(shù)，解決了實(shí)數(shù)的連續(xù)性問題。在此基礎(chǔ)上，1889 年佩亞諾給出算術(shù)公理體系，1908 年策梅洛給出集合論公理體系，建立了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

圖形與圖形關(guān)系的抽象。歐幾里得最初抽象出點(diǎn)、線、面這些幾何學(xué)的研究對(duì)象是有物理屬性的，比如，點(diǎn)是沒有部分的那種東西。凡是具體的就必然會(huì)出現(xiàn)悖論，比如，如何解釋兩條直線相交必然交于一點(diǎn)？?jī)蓷l直線怎么能交到?jīng)]有部分的那種東西上？隨著幾何學(xué)研究的深入，特別是非歐幾何學(xué)的出現(xiàn)，人們需要重新審視傳統(tǒng)的歐幾里得幾何學(xué)。

1898 年，希爾伯特重新定義了點(diǎn)、線、面：用大寫字母 A 表示點(diǎn)，用小寫字母 a 表示線，用希臘字母 α 表示面，這完全是符號(hào)化的定義，然后給出了五組公理，實(shí)現(xiàn)了幾何研究的公理體系。這些公理體系的建立，完成了數(shù)學(xué)的第二次抽象。至少在形式上，數(shù)學(xué)的研究已經(jīng)脫離了現(xiàn)實(shí)，正如希爾伯特所說(shuō)：無(wú)論稱它們?yōu)辄c(diǎn)、線、面，還是稱它們?yōu)樽雷?、椅子、啤酒瓶，最終得到的結(jié)論都是一樣的。

四、什么是推理

人們通常認(rèn)為思維形式有三種，即形象思維、邏輯思維和辯證思維，數(shù)學(xué)主要依賴的是邏輯思維。邏輯思維的集中表現(xiàn)是邏輯推理，人們通過(guò)推理，能夠深刻地理解數(shù)學(xué)研究對(duì)象之間的邏輯關(guān)系，并且可以用抽象了的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)清晰地描述這種關(guān)系。因此，人們通過(guò)推理形成各種命題、定理和運(yùn)算法則，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。隨著數(shù)學(xué)研究的不斷深入，根據(jù)研究問題的不同數(shù)學(xué)逐漸形成各個(gè)分支，甚至形成各種流派。既便如此，因?yàn)閿?shù)學(xué)研究問題的出發(fā)點(diǎn)是一致的，邏輯推理規(guī)則也是一致的，因此，至少到現(xiàn)在的研究結(jié)果表明，數(shù)學(xué)的整體一致性是不可動(dòng)搖的。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)的各個(gè)分支所研究的問題似乎是風(fēng)馬牛不相及的，但是，數(shù)學(xué)各個(gè)分支得到的結(jié)果之間卻是相互協(xié)調(diào)的。為此，人們不能不為數(shù)學(xué)的這種整體一致性感到驚嘆：數(shù)學(xué)似乎蘊(yùn)含著類似真理那樣的合理性。

所謂推理，是指從一個(gè)命題判斷到另一個(gè)命題判斷的思維過(guò)程，其中命題是指可供是否判斷的語(yǔ)句；所謂有邏輯的推理，是指所涉及的命題內(nèi)涵之間具有某種傳遞性。在本質(zhì)上，只存在兩種形式的邏輯推理，一種是歸納推理，一種是演繹推理。

歸納推理。歸納推理是命題內(nèi)涵由小到大的推理，是一種從特殊到一般的推理。因此，通過(guò)歸納推理得到的結(jié)論是或然的。歸納推理包括歸納法、類比法、簡(jiǎn)單枚舉法、數(shù)據(jù)分析等等。人們借助歸納推理，從經(jīng)驗(yàn)過(guò)的東西出發(fā)推斷未曾經(jīng)驗(yàn)過(guò)的東西，這便是上面所說(shuō)的“看”出數(shù)學(xué)結(jié)果，看出的數(shù)學(xué)結(jié)果不一定是正確的，但指引了數(shù)學(xué)研究的方向。

演繹推理。演繹推理是命題內(nèi)涵由大到小的推理，是一種從一般到特殊的推理。因此，通過(guò)演繹推理得到的結(jié)論是必然的。演繹推理包括三段論、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、算法邏輯等。人們借助演繹推理，按照假設(shè)前提和規(guī)定的法則驗(yàn)證那些通過(guò)推斷得到的結(jié)論，這便是數(shù)學(xué)的“證明”，通過(guò)證明得到的結(jié)論是正確的，但不能使命題的內(nèi)涵得到擴(kuò)張。

數(shù)學(xué)的結(jié)論之所以具有類似真理那樣的合理性，或者說(shuō)數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)性，正是因?yàn)閿?shù)學(xué)的整個(gè)推理過(guò)程嚴(yán)格地遵循了這兩種形式的推理。

我們不可能把抽象和推理截然分開：抽象的過(guò)程、特別是第二次抽象的過(guò)程要依賴推理；而兩種形式的推理、特別是歸納推理的過(guò)程要依賴抽象。

五、抽象的存在

關(guān)于抽象了的東西是如何存在的，這是從古至今爭(zhēng)論的話題，這個(gè)爭(zhēng)論是從古希臘學(xué)者柏拉圖和亞里士多德開始?；蛟S正是因?yàn)橛辛诉@個(gè)爭(zhēng)論才導(dǎo)致了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，因此，只有很好地理解這個(gè)問題，才能更好地把握數(shù)學(xué)的思想。

柏拉圖認(rèn)為人的經(jīng)驗(yàn)是不可靠的，經(jīng)驗(yàn)可能隨著時(shí)間的改變而改變，也可能隨著場(chǎng)合的改變而改變。因此，所有基于經(jīng)驗(yàn)的概念都是不可靠的，也是不可能的。數(shù)學(xué)的概念不應(yīng)當(dāng)是經(jīng)驗(yàn)意義上的存在，而應(yīng)當(dāng)是一種永恒的存在。柏拉圖把這種永恒的存在稱為理念，并且認(rèn)為只有理念才是真正的存在。因此，數(shù)學(xué)是一種“發(fā)現(xiàn)”，即發(fā)現(xiàn)了那些“實(shí)際”存在了的東西。這便是“唯實(shí)論”。

亞里士多德的想法正好相反。一般概念是對(duì)許多具體存在的事物的共性抽象得到的，所以一般概念不可能是真正的存在，一般概念表現(xiàn)于特殊事物，每個(gè)具體存在都是一般概念的特例。因此，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象、以及表述研究對(duì)象之間關(guān)系術(shù)語(yǔ)都是抽象出來(lái)的，在這個(gè)意義上，數(shù)學(xué)只能是一種“發(fā)明”。這便是“唯名論”。

事實(shí)上，抽象了的東西不是具體的存在，而是一種理念的存在，或者說(shuō)，是一種抽象的存在。這便是《周易·系辭》中“形而上者謂之道，形而下者謂之器”所說(shuō)的“形”。比如，看到足球、乒乓球，在頭腦中形成圓的概念，這個(gè)概念就是一種抽象的存在，這種存在已經(jīng)脫離了具體的足球和乒乓球。借助這種抽象的概念，可以在黑板上畫出圓，甚至還可以定義圓，可以研究圓的性質(zhì)。這種抽象的存在構(gòu)成了數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)研究的是普遍存在的東西，而不是某個(gè)具體存在的東西。正是由于這種普遍性，數(shù)學(xué)才可以得到廣泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)就是研究那些抽象了的存在的東西。

但是，通過(guò)上面的討論可以看到，即便數(shù)學(xué)的第二次抽象在形式上是美妙的，但其功能至多是很好地解釋了第一次抽象得到的那些結(jié)果，因此，在本質(zhì)上無(wú)重大發(fā)明可言。而數(shù)學(xué)的第一次抽象是來(lái)源于經(jīng)驗(yàn)的，抽象的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界，而只有直接從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來(lái)的那些問題，才是朝氣蓬勃的，才可能具有不斷發(fā)展的生命力。正如馮·諾伊曼所說(shuō)：數(shù)學(xué)思想來(lái)源于經(jīng)驗(yàn)，我想這一點(diǎn)是比較接近真理的…… 數(shù)學(xué)思想一旦被構(gòu)思出來(lái)，這門學(xué)科就開始經(jīng)歷它本身所特有的生命。事實(shí)上，認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門創(chuàng)造性的、受審美因素支配的學(xué)科，比認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門別的、特別是經(jīng)驗(yàn)的學(xué)科要更確切一些。換句話說(shuō)，在距離經(jīng)驗(yàn)本源很遠(yuǎn)的地方，或者在多次“抽象的”近親繁殖之后，一門數(shù)學(xué)學(xué)科就有退化的危險(xiǎn)。

那么，數(shù)學(xué)的那些概念、原理和思維方法應(yīng)當(dāng)如何與現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系呢？合理的思維過(guò)程具有理性加工的功能，而現(xiàn)實(shí)世界的那些東西一旦經(jīng)過(guò)理性加工，不僅具有了一般性并且具有了真實(shí)性。

六、什么是模型

數(shù)學(xué)模型與通常所說(shuō)的數(shù)學(xué)應(yīng)用是有所區(qū)別的。數(shù)學(xué)應(yīng)用涉及的范圍相當(dāng)寬泛，可以泛指應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的所有事情。雖然數(shù)學(xué)模型也屬于數(shù)學(xué)應(yīng)用的范疇，但更側(cè)重于用數(shù)學(xué)的概念、原理和思維方法描述現(xiàn)實(shí)世界中的那些規(guī)律性的東西。

數(shù)學(xué)模型是指用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述現(xiàn)實(shí)世界所依賴的思想。數(shù)學(xué)模型使數(shù)學(xué)走出數(shù)學(xué)的世界，是構(gòu)建數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁。通俗地說(shuō)，數(shù)學(xué)模型是借用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事。

數(shù)學(xué)模型的出發(fā)點(diǎn)不僅是數(shù)學(xué)，還包括現(xiàn)實(shí)世界中的那些將要講述的東西。就像建筑橋梁一樣，在建筑之前必須清楚要把橋梁建筑在哪里。并且，研究手法也不是單向的，需要從數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)這兩個(gè)出發(fā)點(diǎn)開始，規(guī)劃研究路徑、構(gòu)建描述用語(yǔ)、驗(yàn)證研究結(jié)果、解釋結(jié)果含義，從而得到與現(xiàn)實(shí)世界相容的、可以描述現(xiàn)實(shí)世界的結(jié)論。

在現(xiàn)實(shí)世界中，放之四海而皆準(zhǔn)的東西是不存在的，數(shù)學(xué)模型必然有其適用范圍，這個(gè)適用范圍通常表現(xiàn)于模型的假設(shè)前提、模型的初始值、模型參數(shù)的某些限制。在這個(gè)意義上，所有的數(shù)學(xué)表達(dá)，比如函數(shù)、方程、公式等，本身都不是數(shù)學(xué)模型，而是描述現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

因?yàn)閿?shù)學(xué)模型具有數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)這兩個(gè)出發(fā)點(diǎn)，數(shù)學(xué)模型就不完全屬于數(shù)學(xué)。大多數(shù)應(yīng)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)模型的命名，都依賴于所描述的學(xué)科背景。比如，在生物中：種群增長(zhǎng)模型，基因復(fù)制模型等；在醫(yī)藥學(xué)中：專家診斷模型，疾病靶向模型等；在氣象學(xué)中：大氣環(huán)流模型，中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)模型等；在地質(zhì)學(xué)中：板塊構(gòu)造模型，地下水模型等；在經(jīng)濟(jì)學(xué)中：股票衍生模型，組合投資模型等；在管理學(xué)中：投入產(chǎn)出模型，人力資源模型等；在社會(huì)學(xué)中：人口發(fā)展模型，信息傳播模型等。在物理學(xué)和化學(xué)中，各類數(shù)學(xué)模型更是百花齊放。

數(shù)學(xué)模型的價(jià)值取向往往不是數(shù)學(xué)本身，而是對(duì)描述學(xué)科所起的作用。比如，那些獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)模型，人們關(guān)注的并不是模型的數(shù)學(xué)價(jià)值，而是實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。但是，數(shù)學(xué)家們?cè)跇?gòu)建數(shù)學(xué)模型和實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程中，必然會(huì)從數(shù)學(xué)的角度汲取“創(chuàng)造數(shù)學(xué)”的靈感，促進(jìn)數(shù)學(xué)自身的發(fā)展，就像馮·諾伊曼所說(shuō)過(guò)的那樣。

數(shù)學(xué)的基本思想，即抽象、推理、模型，為數(shù)學(xué)由現(xiàn)實(shí)到數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展、由數(shù)學(xué)到現(xiàn)實(shí)提供了思維功能，理性地把握這些功能對(duì)數(shù)學(xué)的教學(xué)是有益處的。雖然現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特征是符號(hào)化、形式化和公理化，但其本質(zhì)是為了更好地描述數(shù)學(xué)的成果。正如阿蒂亞所說(shuō)：嚴(yán)格數(shù)學(xué)論證的作用在于使得本來(lái)是主觀的、極度依賴個(gè)人直覺的事物，變得具有客觀性并能夠加以傳遞。因此，為了更好地讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)，為了讓學(xué)生建立數(shù)學(xué)的直觀，在數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中還需要反其道而行之：針對(duì)對(duì)象的符號(hào)化要講物理背景，針對(duì)證明的形式化要講直觀，針對(duì)邏輯的公理化要講歸納。