“課題學習”類試題在近年各地中考試題中頻頻出現(xiàn),此類題型特點鮮明、內(nèi)容豐富、超越常規(guī),源于課本,又高于課本,不僅注重數(shù)學實踐應用、動手探究的培養(yǎng),還關注學生學習的過程和思想方法的滲透.這類試題較好地考查了學生的閱讀理解能力、知識遷移能力和分析問題、解決問題的能力,這無疑為課堂教學注入了新鮮的活力。它既是一項全新的課程內(nèi)容．又是一種具有現(xiàn)實性、問題性、實踐性、綜合性和探索性的新型的學習活動．經(jīng)常成為呈現(xiàn)中考數(shù)學知識和能力的載體。現(xiàn)結合2011年各地中考題進行說明，希望能給大家?guī)硪欢ǖ膯⑹九c幫助．

一、情景問題拓展類

例1：（2011江蘇鹽城）情境觀察

將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示.將△A′C′D的頂點A′與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉，使點D、A(A′)、B在同一條直線上，如圖2所示．觀察圖2可知：與BC相等的線段是      ，∠CAC′= 　   °．

問題探究

如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q. 試探究EP與FQ之間的數(shù)量關系，并證明你的結論.

拓展延伸

如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點H. 若AB= k AE，AC= k AF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關系，并說明理由.

思路點撥：沿矩形的對角線剪開所得的兩個三角形是全等的，由如圖2中位置及全等關系可得BC=AD，∠CAC′=90°；在圖3中，當?shù)妊?I>Rt△ABE和等腰Rt△ACF的直角頂點重合于直線GP上的點A時，構建了如圖2所示的兩個直角三角形全等的數(shù)學模型，即Rt△ABG≌Rt△EAP. Rt△ACG≌Rt△FAQ，進而得到AG=EP，AG=FQ，從而得到EP=FQ.在圖4中，當背景由等腰直角三角形變?yōu)榫匦螘r，但矩形的長與寬之比均為k,從而構建了如圖2所示的兩直角三角形相似（全等）的數(shù)學模型，借助相似比及 Rt△EPH≌Rt△FQH.容易得出HE=HF 。

解：情境觀察 AD（或A′D），90 

問題探究 結論：EP=FQ.  證明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.

∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.

∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.

同理AG=FQ.  ∴EP=FQ.

拓展延伸 結論： HE=HF.  理由：過點E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分別為P、Q. 

∵四邊形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，

∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，

∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，

∴ = . 同理△ACG∽△FAQ，∴ = .

∵AB= k AE，AC= k AF，∴ = = k，∴ = . ∴EP=FQ.

∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF

點評：本題以課題學習的方式呈現(xiàn)，解決此題的關鍵在于簡單情景入手，準確把握相關圖形的特征與模型，透過現(xiàn)象看到數(shù)學活動問題的本質（直角頂點重合于直線上某一點時，醞釀與構建了兩直角三角形全等或相似關系），不被“動”及“變化的圖形”所迷，關鍵是在于由特殊到一般、由簡單到復雜的思維方式，這類試題不僅結論可以類比，而且思維方法、證明過程及說理過程也可通過類比得出，這種模式應引起我們的重視與關注。

二、閱讀理解類

例5：（2011湖南永州）探究問題：

⑴方法感悟：

如圖①，在正方形ABCD中，點E，F分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．

感悟解題方法，并完成下列填空：

將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉可得：

AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,

∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，

因此，點G，B，F在同一條直線上．

∵∠EAF=45°  ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．

∵∠1=∠2，   ∴∠1+∠3=45°．

即∠GAF=∠_________．又AG=AE，AF=AF

∴△GAF≌_______．

∴_________=EF，故DE+BF=EF．

⑵方法遷移：

如圖②，將沿斜邊翻折得到△ADC，點E，F分別為DC，BC邊上的點，且∠EAF=∠DAB．試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關系，并證明你的猜想．

⑶問題拓展：

如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F分別為DC,BC上的點，滿足,試猜想當∠B與∠D滿足什么關系時，可使得DE+BF=EF．請直接寫出你的猜想（不必說明理由）．

思路點撥：在圖1中，由于45°、直角等特殊角度，通過旋轉△ADE，可形成∠1+∠3=45°，構造三角形全等，從而探究出DE+BF=EF.在圖2中，同樣存在，可通過旋轉△ADE，構建兩三角形全等。同理在圖3中，要使DE+BF=EF，一定要通過旋轉，而實現(xiàn)旋轉，必要求點E應旋轉到FB的延長線上，即∠B與∠D 互補。

解：⑴EAF、△EAF、GF．

⑵DE+BF=EF，理由如下：

如圖④中，假設∠BAD的度數(shù)為，將△ADE繞點A順時針旋轉得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉可得：AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,

∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，點G，B，F在同一條直線上．

∵∠EAF=  ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=，

∵∠1=∠2，   ∴∠1+∠3=．即∠GAF=∠EAF，又AG=AE，AF=AF，∴△GAF≌△EAF．∴GF=EF，又∵GF=BG+BF=DE+BF， ∴DE+BF=EF．

⑶當∠B與∠D互補時，可使得DE+BF=EF．

點評：此題以閱讀理解的形式進行課題學習探究，題目中首先提供某種思路、方法或中間步驟，探討某種情境或特殊情形下的解題思路與方法，然后將其進行拓展、推廣到一般情況，進一步探究相關結論，解答此類問題的基本步驟是閱讀——分析——理解——遷移——創(chuàng)新應用。

三、操作探究類

例3：（2011江蘇蘇州）如圖①，小慧同學吧一個正三角形紙片（即△OAB）放在直線l₁上，OA邊與直線l₁重合，然后將三角形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉120°，此時點O運動到了點O₁處，點B運動到了點B₁處；小慧又將三角形紙片AO₁B₁繞B₁點按順時針方向旋轉120°，點A運動到了點A₁處，點O₁運動到了點O₂處（即頂點O經(jīng)過上述兩次旋轉到達O₂處）.

小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉過程中，頂點O運動所形成的圖形是兩段圓弧，即弧OO₁和弧O₁O₂，頂點O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩端圓弧與直線l₁圍成的圖形面積等于扇形AOO₁的面積、△AO₁B₁的面積和扇形B₁O₁O₂的面積之和.

小慧進行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線l₂上，OA邊與直線l₂重合，然后將正方形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉90°，此時點O運動到了點O₁處（即點B處），點C運動到了點C₁處，點B運動到了點B₁處；小慧又將正方形紙片AO₁C₁B₁繞B₁點按順時針方向旋轉90°，……，按上述方法經(jīng)過若干次旋轉后，她提出了如下問題：

問題①：若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過3次旋轉，求頂點O經(jīng)過的路程，并求頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線l₂圍成圖形的面積；若正方形OABC按上述方法經(jīng)過5次旋轉，求頂點O經(jīng)過的路程；

問題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉，頂點O經(jīng)過的路程是π？

請你解答上述兩個問題.

解析：問題①：如圖，正方形紙片OABC經(jīng)過3次旋轉，頂點O運動所形成的圖形是三段弧，即弧OO₁、弧O₁O₂以及弧O₂O₃，∴頂點O運動過程中經(jīng)過的路程為

.

頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線l₂圍成圖形的面積為

=1+π.

正方形OABC經(jīng)過5次旋轉，頂點O經(jīng)過的路程為.

問題②：∵方形OABC經(jīng)過4次旋轉，頂點O經(jīng)過的路程為

，∴π=20×π+π.

∴正方形紙片OABC經(jīng)過了81次旋轉.

點評：本題是一道典型的滾動探究與適當作圖相結合的實踐能力操作題，在解題過程中學生經(jīng)歷了“問題探究——問題解決”的過程，此類動手操作類的課題學習試題的解決策略是：通過對給定的信息進行分析、整理、研究，借助一定的實物操作與理性思考，得出一些有價值的信息與猜想，然后運用平時積累的知識、思想與方法解決問題，得出正確的結論。

四、課題實驗探究類

例4：（2010江西）課題：兩個重疊的正多邊型，其中一個繞某一頂點旋轉所形成的有關問題．

實驗與論證

設旋轉角∠A₁A₀B₁=α（α< A₁A₀A₂）， θ₃，θ₄，θ₅，θ₆，所表示的角如圖所示．

（1） 用含α的式子表示角的度數(shù)：θ₃=___________θ₄=_____________θ₅=____________

（2）  

（2）圖1－圖4中，連接A₀H時，在不添加其他輔助線的情況下，是否存在與直線A₀H垂直且被它平分的線段？若存在，請選擇期中的一個圖給出證明；若不存在，請說明理由；

歸納與猜想

設正n邊形A₀A₁A₂…A_n－1與正n邊形A₀B₁B₂…B_n－1重合（其中，A₁與B₁重合），現(xiàn)將正n邊形A₀B₁B₂…B_n－1繞頂點A₀逆時針旋轉α（）．

（3）設θ_n與上述“θ₃，θ₄，…”的意義一樣，請直接寫出θ_n的度數(shù)；

（4）試猜想在正n邊形的情形下，是否存在與直線A₀H垂直且被它平分的線段？若存在，請將這條線段用相應的頂點字母表示出來（不要求證明）；若不存在，請說明理由．

思路點撥：（1）要求的度數(shù)，應從旋轉中有關角度的變與不變上突破；（２）結合圖形比較容易得到被垂直平分的線段，在證明時要充分利用背景中正多邊形及旋轉中的角度；（３）要探究的度數(shù)，要注意區(qū)分正偶數(shù)邊形及正奇數(shù)邊形兩種情形去思考與求解度數(shù)的表達式；（４）要探究正ｎ邊形中被垂直平分的線段，只要觀察圖形的對稱性就可以找到解題的途徑．也應注意區(qū)分正偶數(shù)邊形及正奇數(shù)邊形兩種情形去思考與突破；

解：（１）．

（２）答案不唯一，選圖１，圖１中有直線垂直平分．

證明：∵與是全等的等邊三角形，∴，∴，∴，∴點在線段的垂直平分線上，所以直線垂直平分．

（３）當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，．

（４）存在，當為奇數(shù)時，直線垂直平分．

當為偶數(shù)時，直線垂直平分．

點評：本題以課題學習為背景及方式呈現(xiàn)，通過 “兩個重疊的正多邊形，其中的一個繞某一頂點旋轉所形成的有關問題”的探討．是研究一個由特殊到一般結論的數(shù)學問題，先從簡單特殊的幾種正多邊形入手，再推廣到正n邊形情形下規(guī)律的探究，這種探究思路和類比遷移的數(shù)學思想，應引起高度重視與學習．

五 活動探討類

例5:（2011江西）某數(shù)學興趣小組開展了一次活動，過程如下：

設∠BAC=（0°＜＜90°）.現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線AB，AC上.

活動一：如圖甲所示，從點A₁開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點處互相垂直. （A₁A₂為第1根小棒）

數(shù)學思考：

（1）小棒能無限擺下去嗎？答：          .(填“能”或“不能”)

（2）設AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1.

①=_________度；

②若記小棒A_2n-1A_2n的長度為a_n（n為正整數(shù)，如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，…）， 求出此時a₂，a₃的值，并直接寫出a_n（用含n的式子表示）.

活動二：如圖乙所示，從點A₁開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中A₁A₂為第一根小棒，且A₁A₂=AA₁.

數(shù)學思考：

（3）若已經(jīng)擺放了3根小棒，則₁ =_________，₂=________， ₃=________；（用含 的式子表示）

（4）若只能擺放4根小棒，求的范圍.

思路點撥:在活動一中,由于擺放的小棒依次互相垂直,不斷構建內(nèi)錯角相等,故能不斷擺放；在等腰△A₂A₃A₁中,由勾股定理得A₃A₁=，借助平行,可知平行所截的三角形相似,運用比例線段可依次求得a₁，a₂，…a_n,在活動二中,在依次擺放等腰三角形的過程中,利用三角形的外角可依次求得₁，₂， ₃與 的關系, 若只能擺放4根小棒,說明以₃為等腰三角形的底角的度數(shù)不能超過90°,而以₄為三角形的外角必不小于90°,從而構建不等式組求解的取值范圍.

解: (1)能．

    (2)① 22.5°.

②∵A A₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃， ∴A₁A₃=，AA₃=.又∵A₂A₃⊥A₃A₄ ，∴A₁A₂∥A₃A₄.

同理：A₃A₄∥A₅A₆.∴∠A₂A₃A₄=∠A₄A₅A₆=90°，∠A₂A₄A₃=∠A₄ A₆A₅，∴△A₂A₃A₄∽△A₄A₅A₆，

∴，∴a₃=.    

(3), ,

(4)由題意得：  ∴. 

點評: 本題以一個普通角為背景，創(chuàng)設擺放小棒的數(shù)學活動：搭建直角三角形與等腰三角形，開展課題研究，讓學生感到熟悉而親切，同學們都能在一定程度上得分，通過一系列問題的設問，將初中階段的核心知識（等腰三角形、直角三角形、相似三角形、不等式組等）巧妙融入其中進行思考與探究，區(qū)分度與綜合度明顯增強。為此要求我們在日常教學中，應時刻關注身邊的數(shù)學素材，注重開展與之相關的數(shù)學活動與數(shù)學研究，以提高學生的分析與探究能力。

課題學習類試題通常以探索、研究、實驗操作等不同形式呈現(xiàn)于中考中，并借助恰當?shù)臄?shù)學素材，作為試題的內(nèi)容和明確的研究方向；或是以幾何圖形為題材，或是以數(shù)學問題為背景等；通過對相關問題的描述或逐步觀察、操作（包括數(shù)據(jù)分析、整理、運算或作圖、或證明）和歸納、探究等，進而發(fā)現(xiàn)問題，創(chuàng)新問題．試題在注重考查相關基礎知識、基本技能、方法的同時，更注重考查對相關知識的聯(lián)想、探索、發(fā)現(xiàn)、總結歸納及創(chuàng)新的能力．是近幾年中考改革中出現(xiàn)的新題型．一般包含：課題的提出、數(shù)學模型的建立、問題的解決、數(shù)學知識的應用、醞釀與形成研究問題的方法．