梯形、梯形中位線、三角形中位線、平行線等分線段定理及其2個推論

二. 重點、難點：

  1. 重點：

    等腰梯形的性質(zhì)及判定，平行線等分線段定理的2個推論的應用，三角形、梯形中位線定理的應用。

  2. 難點：

    等腰梯形性質(zhì)的綜合應用，平行線等分線段定理的2個推論的應用，三角形、梯形中位線定理的綜合應用。

三. 知識結(jié)構(gòu)

【典型例題】

  例1. 已知一個等腰梯形的高是2m，它的中位線長是5m，一個底角是45°，求這個梯形的面積和上、下底邊的長。

    解：如圖，AD、BC分別為上下底，AB＝CD，∠B＝45°

    過A、D分別作AE、DF垂直于BC，垂足分別為E、F，則AE、DF均為梯形的高

    ∴AE＝DF＝2m

    在Rt△ABE中，∵∠B＝45°

    ∴∠BAE＝90°－∠B＝45°

    ∴BE＝AE＝2m

    同理：CF＝2m

    設AD＝x，則EF＝x

    又中位線長是5m，∴

    ∴上底AD＝3m，下底

    梯形的面積

    答：梯形的面積為，上底為3m，下底為7m。

  例2. 如圖，在△ABC中，D為AB中點，E在AC上，且AE＝2CE，BE、CD交于點F，又知BE＝8，求EF的長。

    解：過點D作DM∥AC

    ∵D是AB中點

    ∴M為BE中點

    又AE＝2CE，即

    ∴DM＝CE

    ∴△DMF≌△CEF（AAS）

    ∴MF＝EF

    答：EF的長為2。

  例3. （2004北京海淀中考）

    如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝120°，，求梯形的面積。

    解：∵∠A＝120°，AD∥BC

    ∴∠ABC＝60°

    又BD平分∠ABC

    ∴∠ABD＝∠CBD＝30°

    又AD∥BC

    ∴∠ADB＝∠DBC＝30°

    在△ABD中，∠ABD＝30°，∠ADB＝30°

    ∴AB＝AD

    過點A作AE⊥BD于E

    則E為BD中點

    在Rt△ABE中，設，則

    由勾股定理，得：

    ，即AE＝2

    在△BCD中，過點D作DF⊥BC于F

    ∵∠DBF＝30°

    答：梯形ABCD的面積為。

  例4. （上海2004中考）

    如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC＝45°，翻折梯形ABCD，使點B重合于點D，折痕分別交邊AB、BC于點F、E，若AD＝2，BC＝8，求BE的長。

    解：∵EF為折痕，B、D重合

    ∴EF⊥BD，BO＝DO，BE＝DE

    在Rt△BOE中，∠OBE＝45°

    ∴∠OEB＝45°

    ∵△BOE≌△DOE

    ∴∠OED＝45°

    ∴∠DEB＝∠DEO＋∠OEB＝45°＋45°＝90°

    ∴DE⊥BC

    過點A作AG⊥BC于G

    可證△ABG≌△DCE（HL）

    答：BE的長為5。

【模擬試題】（答題時間：20分鐘）

  1. 梯形ABCD中，AD∥BC，∠A：∠B＝3：1，則∠A＝_________，∠B＝_________。

  2. 三角形的周長為112cm，三角形三條中位線的比為3：5：6，求三條中位線的長。

  3. 等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝10，∠DAB＝60°，求梯形的面積。

  4. （黑龍江2004中考）

    若等腰梯形的三邊長分別為3、4、11，則這個等腰梯形的周長為___________。

  5. （昆明2004中考）

    已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，點E是BC邊的中點。

    求證：AE＝DE

【試題答案】

  1. 135°，45°

  2. 12cm，20cm，24cm

  3.

  4. 29

  5. 證明略