第一章 數(shù)和數(shù)的運算

  整數(shù)： 自然數(shù)和0都是整數(shù)。

 自然數(shù)  ：我們在數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的1，2，3……叫做自然數(shù)。  一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數(shù)。 

計數(shù)單位  ：一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計數(shù)單位。 

每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都是10。這樣的計數(shù)法叫做十進制計數(shù)法。 

數(shù)位  ：計數(shù)單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫做數(shù)位。 

數(shù)的整除 ：整數(shù)a除以整數(shù)b(b ≠ 0），除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a 。 

如果數(shù)a能被數(shù)b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)（或a的因數(shù)）。倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的。因為35能被7整除，所以35是7的倍數(shù)，7是35的約數(shù)。 

一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1，最大的 約數(shù)是它本身。例如：10的約數(shù)有1、2、5、10，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是10。

一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。3的倍數(shù)有：3、6、9、12……其中最小的倍數(shù)是3 ，沒有最大的倍數(shù)。

個位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。 

個位上是0或5的數(shù)，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。 

一個數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。

一個數(shù)各位數(shù)上的和能被9整除，這個數(shù)就能被9整除。

能被3整除的數(shù)不一定能被9整除，但是能被9整除的數(shù)一定能被3整除。

能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。    不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。 

0也是偶數(shù)。自然數(shù)按能否被2 整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。

一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素數(shù)），100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 

一個數(shù)，如果除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，例如 4、6、8、9、12都是合數(shù)。

1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了1外，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。自然數(shù)按其約數(shù)的個數(shù)的不同分：質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。 

每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個質(zhì)數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)，叫做這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如15=3×5，3和5 叫做15的質(zhì)因數(shù)。 

把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。

例如把28分解質(zhì)因數(shù) ：28=2*2*7

幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)。其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)，例如12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公約數(shù)，6是它們的最大公約數(shù)。

公約數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。  成為互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)：1和任何自然數(shù)互質(zhì) ； 相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)； 兩個不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。 當合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)； 兩個合數(shù)的公約數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互質(zhì)。  如果幾個數(shù)中任意兩個都互質(zhì)，就說這幾個數(shù)兩兩互質(zhì)。 如果較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。  如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是1。          幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)，如2的倍數(shù)有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……

3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、18……是2、3的公倍數(shù)，6是它們的最小公倍數(shù)。。 

如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。   如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。  幾個數(shù)的公約數(shù)的個數(shù)是有限的，而幾個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。

（二）小數(shù) 1． 小數(shù)的意義  ：把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾…… 可以用小數(shù)表示。              一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……  在小數(shù)里，每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都是10。小數(shù)部分的最高分數(shù)單位“十分之一”和整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進率也是10。 

2小數(shù)的分類   純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如： 0.25 、 0.368 都是純小數(shù)。 

帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。 例如： 3.25 、 5.26 都是帶小數(shù)。

有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小數(shù)。

無限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。 例如： 4.33 …… 3.1415926 ……

無限不循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無限，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。 例如：∏         循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，有一個數(shù)字或者幾個數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這個數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。 例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 …… 

一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。 例如： 3.99 ……的循環(huán)節(jié)是“ 9 ” ， 0.5454 ……的循環(huán)節(jié)是“ 54 ” 。 

純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的，叫做純循環(huán)小數(shù)。 例如： 3.111 …… 0.5656 …… 

混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的，叫做混循環(huán)小數(shù)。 3.1222 …… 0.03333 ……

寫循環(huán)小數(shù)的時候，為了簡便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個循環(huán)節(jié)，并在這個循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字上各點一個圓點。如果循環(huán) 節(jié)只有 一個數(shù)字，就只在它的上面點一個點。

（三）分數(shù) 1 分數(shù)：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分數(shù)。分母：表示把單位“1”平均分成多少份；分子：表示有這樣的多少份。把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)，叫做分數(shù)單位。  2 分類   真分數(shù)：分子比分母小的分數(shù)叫做真分數(shù)。真分數(shù)小于1。  假分數(shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分數(shù)，叫做假分數(shù)。假分數(shù)大于或等于1。  帶分數(shù)：假分數(shù)可以寫成整數(shù)與真分數(shù)合成的數(shù)，通常叫做帶分數(shù)。 

3 約分和通分   把一個分數(shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分數(shù) ，叫做約分。  分子分母是互質(zhì)數(shù)的分數(shù)，叫做最簡分數(shù)。  把異分母分數(shù)分別化成和原來分數(shù)相等的同分母分數(shù)，叫做通分。 

 百分數(shù) 表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù) 叫做百分數(shù),也叫做百分率 或百分比。百分數(shù)通常用"%"來表示。百分號是表示百分數(shù)的符號。 

（二）數(shù)的改寫  1. 準確數(shù)：在實際生活中，為了計數(shù)的簡便，可以把一個較大的數(shù)改寫成以萬或億為單位的數(shù)。改寫后的數(shù)是原數(shù)的準確數(shù)。 例如把 1254300000 改寫成以萬做單位的數(shù)是 125430 萬；改寫成 以億做單位 的數(shù) 12.543 億。  2. 近似數(shù)：根據(jù)實際需要，我們還可以把一個較大的數(shù)，省略某一位后面的尾數(shù)，用一個近似數(shù)來表示。 例如： 1302490015 省略億后面的尾數(shù)是 13 億。 

3. 四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4 或者比4小，就把尾數(shù)去掉；如果尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5或者比5大，就把尾數(shù)舍去，并向它的前一位進1。例如：省略 345900 萬后面的尾數(shù)約是 35 萬。省略 4725097420 億后面的尾數(shù)約是 47 億。 

（三）數(shù)的互化   

1. 小數(shù)化成分數(shù)：原來有幾位小數(shù)，就在1的后面寫幾個零作分母，把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點作分子，能約分的要約分。  
       2. 分數(shù)化成小數(shù)：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數(shù)，有的不能除盡，不能化成有限小數(shù)的，一般保留三位小數(shù)。  
       3.一個最簡分數(shù)，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質(zhì)因數(shù)，這個分數(shù)就能化成有限小數(shù)；如果分母中含有2和5 以外的質(zhì)因數(shù)，這個分數(shù)就不能化成有限小數(shù)。  

4. 小數(shù)化成百分數(shù)：只要把小數(shù)點向右移動兩位，同時在后面添上百分號。

5. 百分數(shù)化成小數(shù)：把百分數(shù)化成小數(shù)，只要把百分號去掉，同時把小數(shù)點向左移動兩位。  

6. 分數(shù)化成百分數(shù)：通常先把分數(shù)化成小數(shù)（除不盡時，通常保留三位小數(shù))，再把小數(shù)化成百分數(shù)。

7. 百分數(shù)化成小數(shù)： 先把百分數(shù)改寫成分數(shù)，能約分的要約成最簡分數(shù)。 

（四）數(shù)的整除 

1. 把一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，通常用短除法。

2. 求幾個數(shù)的最大公約數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商只有公約數(shù)1為止，然后把所有的除數(shù)連乘求積，這個積就是這幾個數(shù)的的最大公約數(shù) 。 

3. 求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)（或其中的部分數(shù)）的公約數(shù)去除，一直除到互質(zhì)（或兩兩互質(zhì)）為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘求積，這個積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。  （五） 約分和通分  約分的方法：用分子和分母的公約數(shù)（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最簡分數(shù)為止。      通分的方法：先求出原來的幾個分數(shù)分母的最小公倍數(shù)，然后把各分數(shù)化成用這個最小公倍數(shù)作分母的分數(shù)。

 三、 性質(zhì)和規(guī)律

（一）商不變的規(guī)律 ：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或者同時縮小相同的倍，商不變。 

（二）小數(shù)的性質(zhì)：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。 

（三）小數(shù)點位置的移動引起小數(shù)大小的變化

1.小數(shù)點向右移動一位，原來的數(shù)就擴大10倍；小數(shù)點向右移動兩位，原來的數(shù)就擴大100倍；小數(shù)點向右移動三位，原來的數(shù)就擴大1000倍……  
       2. 小數(shù)點向左移動一位，原來的數(shù)就縮小10倍；小數(shù)點向左移動兩位，原來的數(shù)就縮小100倍；小數(shù)點向左移動三位，原來的數(shù)就縮小1000倍……  
       3. 小數(shù)點向左移或者向右移位數(shù)不夠時，要用“0"補足位。  

（四）   分數(shù)的基本性質(zhì)：分數(shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（零除外），分數(shù)的大小不變。

 （五）分數(shù)與除法的關(guān)系 
       1. 被除數(shù)÷除數(shù)=   被除數(shù)/除數(shù)  
       2. 因為零不能作除數(shù)，所以分數(shù)的分母不能為零。  
       3. 被除數(shù) 相當于分子，除數(shù)相當于分母。  

 四   運算的意義 

（一）整數(shù)四則運算 
       1.整數(shù)加法：把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算叫做加法。  
        - 在加法里，相加的數(shù)叫做加數(shù)，加得的數(shù)叫做和。加數(shù)是部分數(shù)，和是總數(shù)。  
        - 加數(shù)+加數(shù)=和    一個加數(shù)=和－另一個加數(shù)  
       2.整數(shù)減法：已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算叫做減法。  
        - 在減法里，已知的和叫做被減數(shù)，已知的加數(shù)叫做減數(shù)，未知的加數(shù)叫做差。被減數(shù)是總數(shù)，減數(shù)和差分別是部分數(shù)。  
        - 加法和減法互為逆運算。  
       3.整數(shù)乘法：求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算叫做乘法。  
        - 在乘法里，相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個數(shù)都叫做因數(shù)。相同加數(shù)的和叫做積。  
        - 在乘法里，0和任何數(shù)相乘都得0.    1和任何數(shù)相乘都的任何數(shù)。  
        - 一個因數(shù)× 一個因數(shù) =積       一個因數(shù)=積÷另一個因數(shù)  
       4.整數(shù)除法：已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算叫做除法。  
        - 在除法里，已知的積叫做被除數(shù)，已知的一個因數(shù)叫做除數(shù)，所求的因數(shù)叫做商。  
        - 乘法和除法互為逆運算。  
        - 在除法里，0不能做除數(shù)。因為0和任何數(shù)相乘都得0，所以任何一個數(shù)除以0，均得不到一個確定的商。  
        - 被除數(shù)÷除數(shù)=商   除數(shù)=被除數(shù)÷商   被除數(shù)=商×除數(shù)  
    （二）小數(shù)四則運算 
       1. 小數(shù)加法：小數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。  
       2. 小數(shù)減法：小數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算.  
      3. 小數(shù)乘法：小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個相同加數(shù)和的簡便運算；一個數(shù)乘純小數(shù)的意義是求這個數(shù)的十分之幾、百分之幾、千分之幾……是多少。 
      4. 小數(shù)除法：小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同，就是已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。  
      5. 乘方 求幾個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方。例如 3 × 3 =32  
   （三）分數(shù)四則運算  
      1. 分數(shù)加法：分數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。 是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。  
      2. 分數(shù)減法：分數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算。  
      3. 分數(shù)乘法：分數(shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個相同加數(shù)和的簡便運算。  
      4. 乘積是1的兩個數(shù)叫做互為倒數(shù)。  
      5. 分數(shù)除法：分數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同。就是已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。  
   （四）運算定律  
      1. 加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變，即a+b=b+a 。  
      2. 加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相加，再和第一個數(shù)相加它們的和不變，即（a+b)+c=a+(b+c) 。  
      3. 乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置它們的積不變，即a×b=b×a。  
      4. 乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，再乘以第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相乘，再和第一個數(shù)相乘，它們的積不變，即(a×b)×c=a×(b×c) 
      5. 乘法分配律：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別與這個數(shù)相乘再把兩個積相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。  
      6. 減法的性質(zhì)：從一個數(shù)里連續(xù)減去幾個數(shù)，可以從這個數(shù)里減去所有減數(shù)的和，差不變，即a-b-c=a-(b+c) 。  
              
  （五）運算法則  
      1. 整數(shù)加法計算法則：相同數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)相加滿十，就向前一位進一。  
      2. 整數(shù)減法計算法則：相同數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)不夠減，就從它的前一位退一作十，和本位上的數(shù)合并在一起，再減。  
      3. 整數(shù)乘法計算法則：先用一個因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個因數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)，用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末尾就對齊哪一位，然后把各次乘得的數(shù)加起來。 
      4. 整數(shù)除法計算法則：先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的前幾位； 如果不夠除，就多看一位，除到被除數(shù)的哪一位，商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1，要補“0”占位。每次除得的余數(shù)要小于除數(shù)。  
      5. 小數(shù)乘法法則：先按照整數(shù)乘法的計算法則算出積，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點上小數(shù)點；如果位數(shù)不夠，就用“0”補足。 
      6. 除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計算法則：先按照整數(shù)除法的法則去除，商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊；如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添“0”，再繼續(xù)除。 
     7. 除數(shù)是小數(shù)的除法計算法則：先移動除數(shù)的小數(shù)點，使它變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點也向右移動幾位（位數(shù)不夠的補“0”），然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進行計算。 
     8. 同分母分數(shù)加減法計算方法:同分母分數(shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。  
     9. 異分母分數(shù)加減法計算方法:先通分，然后按照同分母分數(shù)加減法的的法則進行計算。  
    10. 帶分數(shù)加減法的計算方法:整數(shù)部分和分數(shù)部分分別相加減，再把所得的數(shù)合并起來。  
    11. 分數(shù)乘法的計算法則:分數(shù)乘整數(shù)，用分數(shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變；分數(shù)乘分數(shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。  
    12. 分數(shù)除法的計算法則:甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。  
  (六） 運算順序  
    1. 小數(shù)四則運算的運算順序和整數(shù)四則運算順序相同。  
    2. 分數(shù)四則運算的運算順序和整數(shù)四則運算順序相同。  
    3. 沒有括號的混合運算:同級運算從左往右依次運算；兩級運算 先算乘、除法，后算加減法。  
    4. 有括號的混合運算:先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的。  
    5. 第一級運算：加法和減法叫做第一級運算。  
    6. 第二級運算：乘法和除法叫做第二級運算。

五  應(yīng)用  總價= 單價×數(shù)量   路程= 速度×?xí)r間    工作總量=工作時間×工效    總產(chǎn)量=單產(chǎn)量×數(shù)量  

（1）平均數(shù)問題： 總數(shù)量除以總份數(shù)。 

（2） 歸一問題：        一次歸一問題，用一步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一?！?nbsp; 兩次歸一問題，用兩步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一?！?nbsp; 正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用乘法計算結(jié)果的歸一問題。  反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計算結(jié)果的歸一問題。  解題關(guān)鍵：從已知的一組對應(yīng)量中用等分除法求出一份的數(shù)量（單一量），然后以它為標準，根據(jù)題目的要求算出結(jié)果。

數(shù)量關(guān)系式：單一量×份數(shù)=總數(shù)量（正歸一）    總數(shù)量÷單一量=份數(shù)（反歸一） 

例 一個織布工人，在七月份織布 4774 米 ， 照這樣計算，織布 6930 米 ，需要多少天？ 

分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。693 0 ÷（ 477 4 ÷ 31 ） =45 （天）

（3）歸總問題： 例 修一條水渠，原計劃每天修 800 米 ， 6 天修完。實際 4 天修完，每天修了多少米？   分析：因為要求出每天修的長度，就必須先求出水渠的長度。所以也把這類應(yīng)用題叫做“歸總問題”不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。 80 0 × 6 ÷ 4=1200 （米） 

（4） 和差問題：已知大小兩個數(shù)的和，以及他們的差，求這兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題叫做和差問題。  
             - 解題關(guān)鍵：是把大小兩個數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個大數(shù)的和（或兩個小數(shù)的和），然后再求另一個數(shù)。  
             - 解題規(guī)律：（和＋差）÷2 = 大數(shù)    大數(shù)－差=小數(shù)  
             （和－差）÷2=小數(shù)        和－小數(shù)= 大數(shù)  
             例 某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要臨時從乙班調(diào) 46 人到甲班工作，這時乙班比甲班人數(shù)少 12
             人，求原來甲班和乙班各有多少人？  
             分析：從乙班調(diào) 46 人到甲班，對于總數(shù)沒有變化，現(xiàn)在把乙數(shù)轉(zhuǎn)化成 2 個乙班，即 9 4 － 12 ，由此得到現(xiàn)在的乙班是（ 9 4
             － 12 ）÷ 2=41 （人），乙班在調(diào)出 46 人之前應(yīng)該為 41+46=87 （人），甲班為 9 4 － 87=7 （人）  

           5）和倍問題：已知兩個數(shù)的和及它們之間的倍數(shù) 關(guān)系，求兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問題。  
             -
             解題關(guān)鍵：找準標準數(shù)（即1倍數(shù)）一般說來，題中說是“誰”的幾倍，把誰就確定為標準數(shù)。求出倍數(shù)和之后，再求出標準的數(shù)量是多少。根據(jù)另一個數(shù)（也可能是幾個數(shù)）與標準數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，再去求另一個數(shù)（或幾個數(shù)）的數(shù)量。
             
             - 解題規(guī)律：和÷倍數(shù)和=標準數(shù)    標準數(shù)×倍數(shù)=另一個數(shù)  
             例:汽車運輸場有大小貨車 115 輛，大貨車比小貨車的 5 倍多 7 輛，運輸場有大貨車和小汽車各有多少輛？  
             分析：大貨車比小貨車的 5 倍還多 7 輛，這 7 輛也在總數(shù) 115 輛內(nèi)，為了使總數(shù)與（ 5+1 ）倍對應(yīng)，總車輛數(shù)應(yīng)（ 115-7
             ）輛 。  
             列式為（ 115-7 ）÷（ 5+1 ） =18 （輛）， 18 × 5+7=97 （輛）  

        （6）差倍問題：已知兩個數(shù)的差，及兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題。  
             - 解題規(guī)律：兩個數(shù)的差÷（倍數(shù)－1 ）= 標準數(shù)   標準數(shù)×倍數(shù)=另一個數(shù)。  
             例 甲乙兩根繩子，甲繩長 63 米 ，乙繩長 29 米 ，兩根繩剪去同樣的長度，結(jié)果甲所剩的長度是乙繩 長的 3
             倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米？ 各減去多少米？  
             分析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長度是乙繩的 3 倍，實比乙繩多（ 3-1 ）倍，以乙繩的長度為標準數(shù)。列式（
             63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米）…乙繩剩下的長度， 17 × 3=51 （米）…甲繩剩下的長度， 29-17=12
             （米）…剪去的長度。
　　?。?）行程問題： 解題關(guān)鍵及規(guī)律：  同時同地相背而行：路程=速度和×?xí)r間。 

同時相向而行：相遇路程=速度和×?xí)r間        同時同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及時間=路程速度差。        同時同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×?xí)r間。

例 甲在乙的后面 28 千米 ，兩人同時同向而行，甲每小時行 16 千米 ，乙每小時行 9 千米 ，甲幾小時追上乙？  分析：甲每小時比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小時可以追近乙（ 16-9 ）千米，這是速度差。       已知甲在乙的后面 28 千米 （追擊路程）， 28 千米 里包含著幾個（ 16-9 ）千米，也就是追擊所需要的時間。列式 2 8 ÷ （ 16-9 ） =4 （小時）

（10）植樹問題： 解題關(guān)鍵：解答植樹問題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然后按基本公式進行計算。  解題規(guī)律：沿線段植樹 

棵樹=段數(shù)+1    棵樹=總路程÷株距+1 株距=總路程÷（棵樹-1）      總路程=株距×（棵樹-1） 

沿周長植樹  棵樹=總路程÷株距  株距=總路程÷棵樹  總路程=株距×棵樹 

 （二）   分數(shù)乘法應(yīng)用題：  是指已知一個數(shù)，求它的幾分之幾是多少的應(yīng)用題。 

特征：已知單位“1”的量和分率，求與分率所對應(yīng)的實際數(shù)量。 

3 分數(shù)除法應(yīng)用題：   甲是乙的幾分之幾（百分之幾）:甲是比較量，乙是標準量，用甲除以乙。 

甲比乙多（或少）幾分之幾（百分之幾）：甲減乙比乙多（或少幾分之幾）或（百分之幾）。關(guān)系式（甲數(shù)減乙數(shù)）/乙數(shù)或（甲數(shù)減乙數(shù)）/甲數(shù) 。

已知一個數(shù)的幾分之幾（或百分之幾 ) ,求這個數(shù)。特征：已知一個實際數(shù)量和它相對應(yīng)的分率，求單位“1”的量。 

4  出勤率  發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)/試驗種子數(shù)×100%     小麥的出粉率= 面粉的重量/小麥的重量×100%

產(chǎn)品的合格率=合格的產(chǎn)品數(shù)/產(chǎn)品總數(shù)×100%     職工的出勤率=實際出勤人數(shù)/應(yīng)出勤人數(shù)×100%

5  工程問題：  解題關(guān)鍵：把工作總量看作單位“1”，工作效率就是工作時間的倒數(shù)，然后根據(jù)題目的具體情況，靈活運用公式。     數(shù)量關(guān)系式：  工作總量=工作效率×工作時間  工作效率=工作總量÷工作時間 

工作時間=工作總量÷工作效率     工作總量÷工作效率和=合作時間 

繳納的稅款叫應(yīng)納稅款。  應(yīng)納稅額與各種收入的（銷售額、營業(yè)額、應(yīng)納稅所得額 …）的比率叫做稅率。 

   存入銀行的錢叫做本金。  取款時銀行多支付的錢叫做利息。  利息與本金的比值叫做利率。 

 利息=本金×利率×?xí)r間 

-第二章 度量衡   長度   1毫米 ＝1000微米  * 1厘米 ＝10 毫米  * 1分米 ＝10 厘米  *

1米 ＝1000 毫米  * 1千米 ＝1000 米 

面積，就是物體所占平面的大小。對立體物體的表面的多少的測量一般稱表面積。 

  1平方厘米 ＝100 平方毫米   1平方分米=100平方厘米    1平方米 ＝100 平方分米 

1公傾 ＝10000 平方米    1平方公里 ＝100 公頃 

體積，就是物體所占空間的大小。 

容積，箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。 

  1 體積單位  * 1立方米=1000立方分米   * 1立方分米=1000立方厘米 

2 容積單位  * 1升=1000毫升   * 1升=1立方米  * 1毫升=1立方厘米 

質(zhì)量，就是表示表示物體有多重。  一噸=1000千克   * 1千克=1000克

 1年=365天   平年  * 一年=366天  閏年  * 一、三、五、七、八、十、十二是大月  大月有31 天   * 四、六、九、十一是小月小月   小月有30天    * 平年2月有28天  閏年2月有29天 

* 1天= 24小時  * 1小時=60分  * 一分=60秒            1元=10角  * 1角=10分 

第三章 代數(shù)初步知識

（2）運算定律和性質(zhì)    加法交換律：a+b=b+a      加法結(jié)合律：（a+b)+c=a+(b+c)

乘法交換律：ab=ba     乘法結(jié)合律：（ab)c=a(bc)   乘法分配律：（a+b)c=ac+bc

減法的性質(zhì)：a-(b+c) =a-b-c

二、簡易方程 1方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。   注意方程是等式，又含有未知數(shù)，兩者缺一不可。 

  2 方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。 

三、解方程  ：求方程的解的過程叫做解方程。 

五  比和比例    （1） 比：  兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。  “：”是比號，讀作“比”。比號前面的數(shù)叫做比的前項，比號后面的數(shù)叫做比的后項。比的前項除以后項所得的商，叫做比值。  同除法比較，比的前項相當于被除數(shù)，后項相當于除數(shù)，比值相當于商。   比的后項不能是零。 

根據(jù)分數(shù)與除法的關(guān)系，可知比的前項相當于分子，后項相當于分母，比值相當于分數(shù)值。 

（2）比的性質(zhì)  比的前項和后項同時乘上或者除以相同的數(shù)（0除外），比值不變，這叫做比的基本性質(zhì)。 

根據(jù)比的基本性質(zhì)可以把比化成最簡單的整數(shù)比。它的結(jié)果必須是一個最簡比，即前、后項是互質(zhì)的數(shù)。 

圖上距離：實際距離=比例尺  要求會求比例尺；已知圖上距離和比例尺求實際距離；已知實際距離和比例尺求圖上距離。  線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的線段，用來表示和地面上相對應(yīng)的實際距離。 

（5）把一個數(shù)量按照一定的比來進行分配。這種分配的方法通常叫做按比例分配。  方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然后求出總數(shù)的幾分之幾是多少。 

（1） 比例 ： 表示兩個比相等的式子叫做比例。  組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項。  兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內(nèi)項。  （2）比例的性質(zhì)  在比例里，兩個外項的積等于兩個兩個內(nèi)向的積。這叫做比例的基本性質(zhì)。  （3）解比例  ：根據(jù)比例的基本性質(zhì)，如果已知比例中的任何三項，就可以求出這個數(shù)比例中的另外一個未知項。求比例中的未知項，叫做解比例。 

3 正比例和反比例   ：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。   用字母表示y/x=k(一定） 

（2）成反比例的量  兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。  用字母表示x×y=k(一定)

第四章 幾何的初步知識  直線  直線沒有端點；長度無限；過一點可以畫無數(shù)條，過兩點只能畫一條直線。 

  射線  射線只有一個端點；長度無限。   線段  線段有兩個端點，它是直線的一部分；長度有限；兩點的連線中，線段為最短。  平行線  在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。  兩條平行線之間的垂線長度都相等。  垂線   兩條直線相交成直角時，這兩條直線叫做互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線,相交的點叫做垂足。  從直線外一點到這條直線所畫的垂線的長叫做這點到直線的距離。 

  （1）從一點引出兩條射線，所組成的圖形叫做角。這個點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。 

（2）角的分類  銳角：小于90°的角叫做銳角。  直角：等于90°的角叫做直角。  鈍角：大于90°而小于180°的角叫做鈍角。  平角：角的兩邊成一條直線，這時所組成的角叫做平角。平角180°。 

  周角：角的一邊旋轉(zhuǎn)一周，與另一邊重合。周角是360°。 

二 平面圖形  1長方形 特征  對邊相等，4個角都是直角的四邊形。有兩條對稱軸。   c=2(a+b)   s=ab

2正方形特征：  四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形。有4條對稱軸。  c=4a  s=a2

3三角形特征  由三條線段圍成的圖形。內(nèi)角和是180度。三角形具有穩(wěn)定性。三角形有三條高。  s=ah/2

4分類     按角分  銳角三角形 ：三個角都是銳角。  直角三角形 ：有一個角是直角。等腰三角形的兩個銳角各為45度，它有一條對稱軸。  鈍角三角形：有一個角是鈍角。 

按邊分  不等邊三角形：三條邊長度不相等。  等腰三角形：有兩條邊長度相等；兩個底角相等；有一條對稱軸。  等邊三角形：三條邊長度都相等；三個內(nèi)角都是60度；有三條對稱軸。 

平行四邊形 ：  兩組對邊分別平行的四邊形。  相對的邊平行且相等。對角相等，相鄰的兩個角的度數(shù)之和為180度。平行四邊形容易變形。   計算公式  s=ah

5 梯形 ：  只有一組對邊平行的四邊形。  s=(a+b)h/2

6 圓  平面上的一種曲線圖形。  圓中心的一點叫做圓心。一般用字母o表示。 

半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用r表示。  在同一個圓里，有無數(shù)條半徑，每條半徑的長度都相等。  通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表示。  同一個圓里有無數(shù)條直徑，所有的直徑都相等。  同一個圓里，直徑等于兩個半徑的長度，即d=2r。  圓的大小由半徑?jīng)Q定。 圓有無數(shù)條對稱軸。   圍成圓的曲線的長叫做圓的周長。  把圓的周長和直徑的比值叫做圓周率。用字母∏表示。     圓所占平面的大小叫做圓的面積。         環(huán)形   s=∏(R2-r2） 

三 立體圖形 （一）長方體 特征  六個面都是長方形（有時有兩個相對的面是正方形）。  相對的面面積相等，12條棱相對的4條棱長度相等。  有8個頂點。  相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長、寬、高。 兩個面相交的邊叫做棱。  三條棱相交的點叫做頂點。  把長方體放在桌面上，最多只能看到三個面。 

長方體或者正方體6個面的總面積，叫做它的表面積。    s=2(ab+ah+bh)  V=sh  V=abh 

（二）正方體特征  六個面都是正方形  六個面的面積相等  12條棱，棱長都相等  有8個頂點 

正方體可以看作特殊的長方體  S表=6a2   v=a3

（三）圓柱  圓柱的上下兩個面叫做底面。  圓柱有一個曲面叫做側(cè)面。側(cè)面展開是長方形或正方形。  圓柱兩個底面之間的距離叫做高 。     s側(cè)=ch   s表=s側(cè)+s底×2   v=sh/3

（四）圓錐  圓錐的底面是個圓，圓錐的側(cè)面是個曲面。  從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高。 

  把圓錐的側(cè)面展開得到一個扇形。  v= sh/3

-第五章  1 條形統(tǒng)計圖 優(yōu)點：很容易看出各種數(shù)量的多少。  注意：畫條形統(tǒng)計圖時，直條的寬窄必須相同。  2 折線統(tǒng)計圖   優(yōu)點：不但可以表示數(shù)量的多少，而且能夠清楚地表示出數(shù)量增減變化的情況。