 在函數(shù)的三要素中，定義域和值域起決定作用，而值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法則共同確定。研究函數(shù)的值域，不但要重視對(duì)應(yīng)法則的作用，而且還要特別重視定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。確定函數(shù)的值域是研究函數(shù)不可缺少的重要一環(huán)。對(duì)于如何求函數(shù)的值域，是學(xué)生感到頭痛的問(wèn)題，它所涉及到的知識(shí)面廣，方法靈活多樣，在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，占有一定的地位，若方法運(yùn)用適當(dāng)，就能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，避繁就簡(jiǎn)，事半功倍的作用。本文就函數(shù)值域求法歸納如下，供參考。 例12. 求函數(shù)  的值域。解：原函數(shù)可化簡(jiǎn)得：y=|x-2|+|x+8| 上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)P（x）到定點(diǎn)A（2），B(-8)間的距離之和。 由上圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10 當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10 故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?img doc360img-src='http://image55.360doc.com/DownloadImg/2012/09/2421/27141909_109.jpg' style="FONT-FAMILY: " border="0" src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif"> 例13. 求函數(shù) 的值域。解：原函數(shù)可變形為： 上式可看成x軸上的點(diǎn)P(x,0)到兩定點(diǎn)A(3,2),B(-2,-1)的距離之和， 由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x軸的交點(diǎn)時(shí)， ，故所求函數(shù)的值域?yàn)?img doc360img-src='http://image55.360doc.com/DownloadImg/2012/09/2421/27141909_113.jpg' style="FONT-FAMILY: " border="0" src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif"> 例14. 求函數(shù) 的值域。解：將函數(shù)變形為： 上式可看成定點(diǎn)A（3，2）到點(diǎn)P（x，0）的距離與定點(diǎn)B(-2,1)到點(diǎn)P(x,0)的距離之差。 即：y=|AP|-|BP| 由圖可知：（1）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn)P'，則構(gòu)成△ABP'，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有 即： （2）當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，有 綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋?img doc360img-src='http://image55.360doc.com/DownloadImg/2012/09/2421/27141909_120.jpg' style="FONT-FAMILY: " border="0" src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif"> 注：由例13，14可知，求兩距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使A、B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時(shí)，則要使A，B兩點(diǎn)在x軸的同側(cè)。 如：例13的A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為：（3，2），(-2,-1)，在x軸的同側(cè)；例14的A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，2），(2,-1)，在x軸的同側(cè)。 9. 不等式法 利用基本不等式 ，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)需要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。例15. 求函數(shù) 的值域。解：原函數(shù)變形為： 當(dāng)且僅當(dāng)tanx=cotx 即當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立故原函數(shù)的值域?yàn)椋?img doc360img-src='http://image55.360doc.com/DownloadImg/2012/09/2421/27141909_127.jpg' style="FONT-FAMILY: " border="0" src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif"> 例16. 求函數(shù)y=2sinxsin2x的值域。 解：y=4sinxsinxcosx 當(dāng)且僅當(dāng) ，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。由 可得：故原函數(shù)的值域?yàn)椋?img doc360img-src='http://image55.360doc.com/DownloadImg/2012/09/2421/27141909_134.jpg' style="FONT-FAMILY: " border="0" src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif"> 10. 映射法 原理：因?yàn)?img doc360img-src='http://image55.360doc.com/DownloadImg/2012/09/2421/27141909_135.jpg' style="FONT-FAMILY: " border="0" src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif">在定義域上x(chóng)與y是一一對(duì)應(yīng)的。故兩個(gè)變量中，若知道一個(gè)變量范圍，就可以求另一個(gè)變量范圍。 例17. 求函數(shù) 的值域。解：∵定義域?yàn)?img doc360img-src='http://image55.360doc.com/DownloadImg/2012/09/2421/27141909_137.jpg' style="FONT-FAMILY: " border="0" src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif"> 由 得故 或解得 故函數(shù)的值域?yàn)?img doc360img-src='http://image55.360doc.com/DownloadImg/2012/09/2421/27141909_143.jpg' style="FONT-FAMILY: " border="0" src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif"> 11．最值法 對(duì)于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域。[要學(xué)習(xí)網(wǎng),只做中學(xué)生最喜歡、最實(shí)用的學(xué)習(xí)論壇，地址 www. 手機(jī)版地址 wap.] 例18.已知 ,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。點(diǎn)撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。 解：∵ ，上述分式不等式與不等式同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得(-1≤x≤3/2),∴ 且x∈[-1,3/2],函數(shù)z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。當(dāng)x=-1時(shí)，z=－5；當(dāng)x=3/2時(shí)，z=15/4。 ∴函數(shù)z的值域?yàn)椋鹺∣－5≤z≤15/4｝。 點(diǎn)評(píng)：本題是將函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對(duì)開(kāi)區(qū)間，若存在最值，也可通過(guò)求出最值而獲得函數(shù)的值域。 12.構(gòu)造法 根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結(jié)合。 例19.求函數(shù) 的值域。點(diǎn)撥：將原函數(shù)變形，構(gòu)造平面圖形，由幾何知識(shí)，確定出函數(shù)的值域。 解：原函數(shù)變形為 作一個(gè)長(zhǎng)為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個(gè)單位正方形。設(shè)HK=x,則EK=2-x,KF=2+x, ,。由三角形三邊關(guān)系知，AK+KC≥AC=5。當(dāng)A、K、C三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)。 ∴原函數(shù)的知域?yàn)椋鹹|y≥5｝。 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于形如函數(shù) (a,b,c均為正數(shù))，均可通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，由幾何的性質(zhì)，直觀明了、方便簡(jiǎn)捷。這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。13．比例法 對(duì)于一類含條件的函數(shù)的值域的求法，可將條件轉(zhuǎn)化為比例式，代入目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而求出原函數(shù)的值域。 例20.已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函數(shù) 的值域。點(diǎn)撥：將條件方程3x-4y-5=0轉(zhuǎn)化為比例式，設(shè)置參數(shù)，代入原函數(shù)。 解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數(shù)) ∴x=3+4k,y=1+3k, ∴ 。當(dāng)k=－3/5時(shí)，x=3/5,y=－4/5時(shí)， 。函數(shù)的值域?yàn)椋鹺|z≥1｝. 點(diǎn)評(píng)：本題是多元函數(shù)關(guān)系，一般含有約束條件，將條件轉(zhuǎn)化為比例式，通過(guò)設(shè)參數(shù)，可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式，這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法，具有一定的創(chuàng)新意識(shí)。 14．利用多項(xiàng)式的除法 例21.求函數(shù)y=(3x+2)/(x+1)的值域。 點(diǎn)撥：將原分式函數(shù)，利用長(zhǎng)除法轉(zhuǎn)化為一個(gè)整式與一個(gè)分式之和。 解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。 ∵1/(x+1)≠0，故y≠3。 ∴函數(shù)y的值域?yàn)閥≠3的一切實(shí)數(shù)。 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數(shù)均可利用這種方法。 15. 多種方法綜合運(yùn)用 例22. 求函數(shù) 的值域。解：令 ，則（1）當(dāng)t>0時(shí)， ，當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即x=-1時(shí)取等號(hào)，所以（2）當(dāng)t=0時(shí)，y=0。 綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋?img doc360img-src='http://image55.360doc.com/DownloadImg/2012/09/2421/27141909_161.jpg' style="FONT-FAMILY: " border="0" src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif"> 注：先換元，后用不等式法 例23. 求函數(shù) 的值域。解： 令 ，則∴ ∴當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，此時(shí) 都存在，故函數(shù)的值域?yàn)?img doc360img-src='http://image55.360doc.com/DownloadImg/2012/09/2421/27141909_175.jpg' style="FONT-FAMILY: " border="0" src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif">注：此題先用換元法，后用配方法，然后再運(yùn)用 的有界性。總之，在具體求某個(gè)函數(shù)的值域時(shí)，首先要仔細(xì)、認(rèn)真觀察其題型特征，然后再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，一般?yōu)先考慮直接法，函數(shù)單調(diào)性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。
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的值域。
∴
的值域。
，當(dāng)x=-1時(shí)，
