這里的目標是取拓撲空間然后把它們進一步分成范疇或分類。該課題的舊稱之一是組合拓撲，蘊含著將重點放在如何從更簡單的空間構(gòu)造空間X的意思。現(xiàn)在應(yīng)用于代數(shù)拓撲的基本方法是通過代數(shù)不變量，把空間映射到不變量上，例如，通過一種保持空間的同胚關(guān)系的方式映射到群上。

　　通過使用有限生成可交換群可以立刻得出幾個有用的結(jié)論。單純復形的n-階同調(diào)群的自由階等于n-階貝蒂數(shù)(Betti number),所以可以直接使用單純復形的同調(diào)群來計算它的歐拉特征數(shù)。作為另外一個例子，閉流形的最高維的積分上同調(diào)群可以探測可定向性：該群同構(gòu)于整數(shù)或者0，分別在流形可定向和不可定向時。這樣，很多拓撲信息可以在給定拓撲空間的同調(diào)中找到。

　　一般來講，所有代數(shù)幾何的構(gòu)造都是函子式的：概念范疇, 函子和自然變換起源于此。基本群，同調(diào)和上同調(diào)群不僅是兩個拓撲空間同胚時的不變量；而且空間的連續(xù)映射可以導出所相關(guān)的群的一個群同態(tài)，而這些同態(tài)可以用于證明映射的不存在性（或者，更深入的，存在性）。

　　代數(shù)拓撲的經(jīng)典應(yīng)用包括：

　　代數(shù)拓撲中最著名的幾何問題是龐加萊猜想。它已經(jīng)由Hamilton，Grigori Perelman等數(shù)學家們解決（龐加萊定理）。同倫理論領(lǐng)域包含了很多懸疑，最著名的有表述球面的同倫群的正確方式。

龐加萊猜想

令人頭疼的世紀難題　　

    前言：如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當?shù)姆较虮簧炜s在一個輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應(yīng)問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數(shù)學家們就在為此奮斗。

　　一位數(shù)學史家曾經(jīng)如此形容1854年出生的亨利?龐加萊（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下來就是為了證明天才的存在似的，每次看到亨利，我就會聽見這個惱人的聲音在我耳邊響起?！饼嫾尤R作為數(shù)學家的偉大，并不完全在于他解決了多少問題，而在于他曾經(jīng)提出過許多具有開創(chuàng)意義、奠基性的大問題。龐加萊猜想，就是其中的一個。

　　1904年，龐加萊在一篇論文中提出了一個看似很簡單的拓撲學的猜想：在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那么這個空間一定是一個三維的圓球。但1905年發(fā)現(xiàn)提法中有錯誤，并對之進行了修改，被推廣為：“任何與n維球面同倫的n維封閉流形必定同胚于n維球面?！焙髞恚@個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。

　　如果你認為這個說法太抽象的話，我們不妨做這樣一個想象：

　　我們想象這樣一個房子，這個空間是一個球?；蛘?，想象一只巨大的足球，里面充滿了氣，我們鉆到里面看，這就是一個球形的房子。

　　我們不妨假設(shè)這個球形的房子墻壁是用鋼做的，非常結(jié)實，沒有窗戶沒有門，我們現(xiàn)在在這樣的球形房子里。拿一個氣球來，帶到這個球形的房子里。隨便什么氣球都可以（其實對這個氣球是有要求的）。這個氣球并不是癟的，而是已經(jīng)吹成某一個形狀，什么形狀都可以（對形狀也有一定要求）。但是這個氣球，我們還可以繼續(xù)吹大它，而且假設(shè)氣球的皮特別結(jié)實，肯定不會被吹破。還要假設(shè)，這個氣球的皮是無限薄的。

　　好，現(xiàn)在我們繼續(xù)吹大這個汽球，一直吹。吹到最后會怎么樣呢？龐加萊先生猜想，吹到最后，一定是汽球表面和整個球形房子的墻壁表面緊緊地貼住，中間沒有縫隙。

　　我們還可以換一種方法想想：如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點；

　　另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當?shù)姆较虮簧炜s在一個輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。

　　為什么？因為，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。

　　看起來這是不是很容易想清楚？但數(shù)學可不是“隨便想想”就能證明一個猜想的，這需要嚴密的數(shù)學推理和邏輯推理。一個多世紀以來，無數(shù)的科學家為了證明它，絞盡腦汁甚至傾其一生還是無果而終。

艱難的證明之路

　　
　　2000年5月24日，美國克萊數(shù)學研究所的科學顧問委員會把龐加萊猜想列為七個“千禧難題”（又稱世界七大數(shù)學難題）之一，這七道問題被研究所認為是“重要的經(jīng)典問題，經(jīng)許多年仍未解決。”克雷數(shù)學研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個“千年大獎問題”的解決都可獲得百萬美元的獎勵。另外六個“千年大獎問題”分別是： NP完全問題，霍奇猜想（Hodge），黎曼假設(shè)（Riemann），楊－米爾斯理論（Yang-Mills），納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes，簡稱NS方程），BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer）。

　　提出這個猜想后，龐加萊一度認為自己已經(jīng)證明了它。但沒過多久，證明中的錯誤就被暴露了出來。于是，拓撲學家們開始了證明它的努力。

　　20世紀30年代以前，龐加萊猜想的研究只有零星幾項。但突然，英國數(shù)學家懷特海（Whitehead）對這個問題產(chǎn)生了濃厚興趣。他一度聲稱自己完成了證明，但不久就撤回了論文，失之桑榆、收之東隅。但是在這個過程中，他發(fā)現(xiàn)了三維流形的一些有趣的特例，而這些特例，現(xiàn)在被統(tǒng)稱為懷特海流形。
　　30年代到60年代之間，又有一些著名的數(shù)學家宣稱自己解決了龐加萊猜想，著名的賓（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊澤（Moise）和帕帕奇拉克普羅斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。
　　帕帕奇拉克普羅斯是1964年的維布倫獎得主，一名希臘數(shù)學家。因為他的名字超長超難念，大家都稱呼他“帕帕”（Papa）。在1948年以前，帕帕一直與數(shù)學圈保持一定的距離，直到被普林斯頓大學邀請做客。帕帕以證明了著名的“迪恩引理”（Dehn's Lemma）而聞名于世，喜好舞文弄墨的數(shù)學家約翰?米爾諾（John Milnor）曾經(jīng)為此寫下一段打油詩：“無情無義的迪恩引理/每一個拓撲學家的天敵/直到帕帕奇拉克普羅斯/居然證明得毫不費力?！?br> 　　然而，這位聰明的希臘拓撲學家，卻最終倒在了龐加萊猜想的證明上。在普林斯頓大學流傳著一個故事。直到1976年去世前，帕帕仍在試圖證明龐加萊猜想，臨終之時，他把一疊厚厚的手稿交給了一位數(shù)學家朋友，然而，只是翻了幾頁，那位數(shù)學家就發(fā)現(xiàn)了錯誤，但為了讓帕帕安靜地離去，最后選擇了隱忍不言。

　　這一時期拓撲學家對龐加萊猜想的研究，雖然沒能產(chǎn)生他們所期待的結(jié)果，但是，卻因此發(fā)展出了低維拓撲學這門學科。
　　一次又一次嘗試的失敗，使得龐加萊猜想成為出了名難證的數(shù)學問題之一。然而，因為它是幾何拓撲研究的基礎(chǔ)，數(shù)學家們又不能將其撂在一旁。這時，事情出現(xiàn)了轉(zhuǎn)機。
　　1966年菲爾茨獎得主斯梅爾（Smale），在60年代初想到了一個天才的主意：如果三維的龐加萊猜想難以解決，高維的會不會容易些呢？1960年到1961年，在里約熱內(nèi)盧的海濱，經(jīng)?？梢钥吹揭粋€人，手持草稿紙和鉛筆，對著大海思考。他，就是斯梅爾。1961年的夏天，在基輔的非線性振動會議上，斯梅爾公布了自己對龐加萊猜想的五維空間和五維以上的證明，立時引起轟動。

　　10多年之后的1983年，美國數(shù)學家福里德曼（Freedman）將證明又向前推動了一步。在唐納森工作的基礎(chǔ)上，他證出了四維空間中的龐加萊猜想，并因此獲得菲爾茨獎。但是，再向前推進的工作，又停滯了。

　　拓撲學的方法研究三維龐加萊猜想沒有進展，有人開始想到了其他的工具。瑟斯頓（Thruston）就是其中之一。他引入了幾何結(jié)構(gòu)的方法對三維流形進行切割，并因此獲得了1983年的菲爾茨獎。

　　“就像費馬大定理，當谷山志村猜想被證明后，盡管人們還看不到具體的前景，但所有的人心中都有數(shù)了。因為，一個可以解決問題的工具出現(xiàn)了?！鼻迦A大學數(shù)學系主任文志英說。

　　然而，龐加萊猜想，依然沒有得到證明。人們在期待一個新的工具的出現(xiàn)?？墒牵鉀Q龐加萊猜想的工具在哪里？
    工具有了。
　　理查德?漢密爾頓，生于1943年，比丘成桐大6歲。雖然在開玩笑的時候，丘成桐會戲謔地稱這位有30多年交情、喜歡沖浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”，但提起他的數(shù)學成就，卻只有稱贊和惺惺相惜。
　　1972年，丘成桐和李偉光合作，發(fā)展出了一套用非線性微分方程的方法研究幾何結(jié)構(gòu)的理論。丘成桐用這種方法證明了卡拉比猜想，并因此獲得菲爾茨獎。1979年，在康奈爾大學的一個討論班上，當時是斯坦福大學數(shù)學系教授的丘成桐見到了漢密爾頓?！澳菚r候，漢密爾頓剛剛在做Ricci流，別人都不曉得，跟我說起。我覺得這個東西不太容易做。沒想到，1980年，他就做出了第一個重要的結(jié)果?！鼻鸪赏┱f，“于是我跟他講，可以用這個結(jié)果來證明龐加萊猜想，以及三維空間的大問題?！?br> 　　Ricci流是以意大利數(shù)學家里奇（Gregorio Ricci）命名的一個方程。用它可以完成一系列的拓撲手術(shù)，構(gòu)造幾何結(jié)構(gòu)，把不規(guī)則的流形變成規(guī)則的流形，從而解決三維的龐加萊猜想?？吹竭@個方程的重要性后，丘成桐立即讓跟隨自己的幾個學生跟著漢密爾頓研究Ricci流。其中就包括他的第一個來自中國大陸的學生曹懷東。
　　第一次見到曹懷東，是在超弦大會丘成桐關(guān)于龐加萊猜想的報告上。雖然那一段時間里，幾乎所有的媒體都在找曹懷東，但穿著件顏色鮮艷的大T恤的他，在會場里走了好幾圈，居然沒有人認出。這也難怪。絕大多數(shù)的數(shù)學家，依然是遠離公眾視線的象牙塔中人，即使是名動天下如威滕（Witten），坐在后排，儼然也是大隱隱于市的模樣。
　　1982年，曹懷東考取丘成桐的博士。1984年，當丘成桐轉(zhuǎn)到加州大學圣迭戈分校任教時，曹懷東也跟了過來。但是，他的絕大多數(shù)時間，是與此時亦從康奈爾大學轉(zhuǎn)至圣迭戈分校的漢密爾頓“泡在一起”。這時，丘成桐的4名博士生，全部在跟隨漢密爾頓的研究方向。其中做得最優(yōu)秀的，是施皖雄。他寫出了很多非常漂亮的論文，提出很多好的觀點，可是，因為個性和環(huán)境的原因，在沒有拿到大學的終身教職后，施皖雄竟然放棄了做數(shù)學。提起施皖雄，時至今日，丘成桐依然其辭若有憾焉。一種雖然于事無補但惹人深思的假設(shè)是，如果，當時的施皖雄堅持下去，關(guān)于龐加萊猜想的故事，是否會被改寫？
　　在使用Ricci流進行空間變換時，到后來，總會出現(xiàn)無法控制走向的點。這些點，叫做奇點。如何掌握它們的動向，是證明三維龐加萊猜想的關(guān)鍵。在借鑒了丘成桐和李偉光在非線性微分方程上的工作后，1993年，漢密爾頓發(fā)表了一篇關(guān)于理解奇點的重要論文。便在此時，丘成桐隱隱感覺到，解決龐加萊猜想的那一刻，就要到來了。
　　與其同時，地球的另一端，一個叫格里戈里?佩雷爾曼的數(shù)學家在花了8年時間研究這個足有一個世紀的古老數(shù)學難題后，將3份關(guān)鍵論文的手稿在2002年11月和2003年7月之間，粘貼到一家專門刊登數(shù)學和物理論文的網(wǎng)站上，并用電郵通知了幾位數(shù)學家。聲稱證明了幾何化猜想。到2005年10月，數(shù)位專家宣布驗證了該證明，一致的贊成意見幾乎已經(jīng)達成。
　　“如果有人對我解決這個問題的方法感興趣，都在那兒呢—讓他們?nèi)タ窗伞！迸謇谞柭┦空f，“我已經(jīng)發(fā)表了我所有的算法，我能提供給公眾的就是這些了?！?br> 　　佩雷爾曼的做法讓克雷數(shù)學研究所大傷腦筋。因為按照這個研究所的規(guī)矩，宣稱破解了猜想的人需在正規(guī)雜志上發(fā)表并得到專家的認可后，才能獲得100萬美元的獎金。顯然，佩雷爾曼并不想把這100萬美金補充到他那微薄的收入中去。
　　對于佩雷爾曼，人們知之甚少。這位偉大的數(shù)學天才，出生于1966年6月13日，他的天分使他很早就開始專攻高等數(shù)學和物理。16歲時，他以優(yōu)異的成績在1982年舉行的國際數(shù)學奧林匹克競賽中摘得金牌。此外，他還是一名天才的小提琴家，桌球打得也不錯。
　　從圣彼得堡大學獲得博士學位后，佩雷爾曼一直在俄羅斯科學院圣彼得堡斯捷克洛夫數(shù)學研究所工作。上個世紀80年代末期，他曾到美國多所大學做博士后研究。大約10年前，他回到斯捷克洛夫數(shù)學研究所，繼續(xù)他的宇宙形狀證明工作。
　　證明龐加萊猜想關(guān)鍵作用讓佩雷爾曼很快曝光于公眾視野，但他似乎并不喜歡與媒體打交道。據(jù)說，有記者想給他拍照，被他大聲制止；而對像《自然》《科學》這樣聲名顯赫雜志的采訪，他也不屑一顧。
　　“我認為我所說的任何事情都不可能引起公眾的一絲一毫的興趣?！迸謇谞柭f，“我不愿意說是因為我很看重自己的隱私，或者說我就是想隱瞞我做的任何事情。這里沒有頂級機密，我只不過認為公眾對我沒有興趣?！彼麍猿肿约翰恢档萌绱说年P(guān)注，并表示對飛來的橫財沒有絲毫的興趣。

　　2003年，在發(fā)表了他的研究成果后不久，這位頗有隱者風范的大胡子學者就從人們的視野中消失了。據(jù)說他和母親、妹妹一起住在圣彼得堡市郊的一所小房子里，而且這個猶太人家庭很少對外開放。

　　就這樣，在前人的不斷努力下，龐加萊猜想的證明也變得水到渠成。
　　2006年6月3日，中山大學的朱熹平教授和曹懷東以一篇長達300多頁的論文，以?？姆绞娇d在美國出版的《亞洲數(shù)學期刊》六月號，補全了佩雷爾曼證明中的漏洞，給出了龐加萊猜想的完全證明。破解了國際數(shù)學界關(guān)注上百年的重大難題——龐加萊猜想。運用漢密爾頓、佩雷爾曼等的理論基礎(chǔ)，朱熹平和曹懷東第一次成功處理了猜想中“奇異點”的難題，從而完全破解了困擾世界數(shù)學家多年的龐加萊猜想。今后，“龐加萊猜想”就要被稱作“龐加萊定理”啦！
　　但是，因為還有其他人宣稱證明了該猜想，包括佩雷爾曼、漢密爾頓都對此問題有著巨大貢獻，佩雷爾曼還一度聲稱自己證明了該猜想，而朱熹平和曹懷東卻完成了最后的封頂，因此誰是首個證明者，還有爭議。

龐加萊猜想的意義　　

    龐加萊猜想的證明意義重大，該猜想的證明，凝結(jié)了中國五六個科學家的貢獻，是人類在三維空間研究角度解決的第一個難題，也是一個屬于代數(shù)拓撲學中帶有基本意義的命題，將有助于人類更好地研究三維空間，其帶來的結(jié)果將會加深人們對流形性質(zhì)的認識，對物理學和工程學都將產(chǎn)生深遠的影響，甚至會對人們用數(shù)學語言描述宇宙空間產(chǎn)生影響。

其他難題的解決情況

　　我們再來看看和龐加萊猜想同樣被列為“世界七大數(shù)學難題”的其他問題都解決得怎么樣了：

　　黎曼假設(shè)：很多人攻關(guān)，沒看到希望

　　霍奇猜想：進展不大

　　楊-米爾理論：太難，幾乎沒人做

　　P與NP問題：沒什么進展

　　波奇和斯溫納頓—戴雅猜想：有希望破解

　　納威厄—斯托克斯方程：離解決相差很遠