2012年上海高考數(shù)學(xué)（理科）第13題評(píng)析

大罕

    題目：已知函數(shù)y=f(x)的圖像是折線段ABC，其中A(0,0)、B(1/2,5)、C(1,0)，函數(shù)y=xf(x)(0≤x≤1)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為            .

    評(píng)析：∵點(diǎn)A(0,0)、B(1/2,5)、C(1,0)是函數(shù)y=f(x)的圖像上的點(diǎn)，

     ∴f(0)=0, f(1/2)=5, f(1)=0,

    我們先考察線段AB，它的解析式為y=10x(0≤x≤1/2),

     ∴函數(shù)y=xf(x)= 10x²(0≤x≤1/2).

    我們?cè)倏疾炀€段BC，它的解析式為y=－10x+10(1/2<x≤1),

    ∴函數(shù)y=xf(x)= y=－10x²+10x=-10(x-1/2)²+5/2 (1/2<x≤1) ,

    因此函數(shù)y=xf(x)(0≤x≤1)的圖像是曲線段AnDmC(如圖).

    要計(jì)算曲線段AnDmC與x軸圍成的圖形的面積，注意到二次曲線y＝10x²(0≤x≤1/2)與二次曲線y=-10(x-1/2)²+5/2 (1/2<x≤1)的開口大小一樣，所以，將曲邊二邊形CDmC移到曲邊二邊形ADnA處，兩者正好重合.于是曲線段AnDmC與x軸圍成的圖形的面積等于三角形ADC的面積：(1/2)×|AC|×y_D=(1/2)×1×(5/2)=5/4.

    此題第一關(guān)就是理解題意，折線段ABC是函數(shù)y=f(x)的圖像，所以A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)式.但它不是函數(shù)y=xf(x)的圖像.雖如此，兩者之間有某種聯(lián)系.

    折線段經(jīng)過如題變換后還是折線段嗎？非也.有人誤以為還是折線段，并僅考察其頂點(diǎn)視其為三角形由此得到了答數(shù)正確的答案也能取得滿分，從得分角度講占了大便宜.

    此題第二關(guān)，倘若從嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)的角度看，還需像上面所述兩樣，由兩段組成的分段函數(shù)得出相應(yīng)的分段函數(shù)，其圖像可運(yùn)用割補(bǔ)法，轉(zhuǎn)化為三角形面積的計(jì)算.