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芝諾,古希臘數(shù)學(xué)、哲學(xué)家。他是埃利亞學(xué)派的著名哲學(xué)家巴門尼德的學(xué)生和朋友。芝諾從“ 多”和運(yùn)動的假設(shè)出發(fā)，一共推出了40個各不相同的悖論?，F(xiàn)存的芝諾悖論至少有8個，其中關(guān)于運(yùn)動的4個悖論最為著名。 直到19 世紀(jì)中葉，人們普遍認(rèn)為芝諾悖論不過是一些詭辯。英國數(shù)學(xué)家羅素感慨的說：“在這個變化無常的世界上，死后得不到應(yīng)有的評價的最典型例子莫過于埃利亞的芝諾了。他雖然發(fā)明了四個無限微妙無限深邃的悖論，后世的大批哲學(xué)家們卻宣稱他只不過是個聰明的騙子，而他的悖論只不過是一些詭辯?！?/p> 芝諾在哲學(xué)上被亞里士多德譽(yù)為辯證法的發(fā)明人。黑格爾在他的《哲學(xué)史講演錄》中指出：“芝諾主要是客觀地辯證地考察了運(yùn)動”，并稱芝諾是“辯證法的創(chuàng)始人”。 以劉翔為例，烏龜在他前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上烏龜。在競賽中，追者首先必須到達(dá)被追者的出發(fā)點，當(dāng)劉翔追到100米時，烏龜已經(jīng)又向前爬了10米，于是，一個新的起點產(chǎn)生了；劉翔必須繼續(xù)追，而當(dāng)他追到烏龜爬的這10米時，烏龜又已經(jīng)向前爬了1米……只要烏龜還在爬，劉翔永遠(yuǎn)也追不上烏龜！ “烏龜” 動得最慢的物體不會被動得最快的物體追上。由于追趕者首先應(yīng)該達(dá)到被追者出發(fā)之點，此時被追者已經(jīng)往前走了一段距離。因此被追者總是在追趕者前面?！蔽覀儺?dāng)然知道劉翔能夠捉住海龜，跑步者肯定也能跑到終點。 類似劉翔追上烏龜之類的追趕問題，我們可以用無窮數(shù)列的求和，或者簡單建立起一個方程組就能算出所需要的時間，那么既然我們都算出了追趕所花的時間，我們還有什么理由說劉翔永遠(yuǎn)也追不上烏龜呢？ 問題出在這里：我們在這里有一個假定，那就是假定劉翔最終是追上了烏龜，才求出的那個時間。但是芝諾的悖論的實質(zhì)在于要求我們證明為何能追上。而無窮個步驟是難以完成。 悖論本身的邏輯并沒有錯，它之所以與實際相差甚遠(yuǎn)，在于這個芝諾與我們采取了不同的時間系統(tǒng)。人們習(xí)慣于將運(yùn)動看做時間的連續(xù)函數(shù)，而芝諾的解釋則采取了離散的時間系統(tǒng)。即無論將時間間隔取得再小，整個時間軸仍是由無限的時間點組成的。 《莊子·天下篇》中也提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！?/font> 飛矢不動：一根箭是不可能移動的，因為箭在其飛行過程中的任何瞬間都有固定位置，則可知一枝動的箭是所有不動的集合，所以可導(dǎo)出一根箭是不可能移動的。中國古代的名家惠施也提出過，“飛鳥之景，未嘗動也”的類似說法。 “飛矢不動”中的“矢”指的是弓箭中的箭。正常的射箭，只要箭離了弦，就能飛出去。但是，芝諾說，射出去的箭是不動的，因此是不能夠到達(dá)另一個位置的。截取“飛矢”的每一個瞬間，它在空中都是“靜止”的。既然每一個瞬間都是靜止的，所有的瞬間加起來也應(yīng)該是靜止的，所以，“飛矢”是“不動”的。 “飛矢不動”這個悖論最關(guān)鍵的地方，是所謂“瞬間”。理論上的物理學(xué)“瞬間”意思是時間長短為零。而在實際中，時間長短永遠(yuǎn)不可能為零。 簡單來說，“芝諾悖論”的錯誤就在于，他將無窮小徹底等同于零。無窮小等于零之后，再怎么相加、累積，最終的結(jié)果當(dāng)然都是零，所以得出推論“飛矢”是“不動”的。但是，真正的概念是無窮小只是趨近于零，無窮個“趨近于零”的無窮小相加、累積之后，就會有一個確切的值。 以現(xiàn)實的態(tài)度理解“瞬間”這個概念就行。假設(shè)芝諾所說的“瞬間”可以用照相機(jī)拍下來，只要曝光及快門速度正確，每一張照片里，飛行的箭似乎“確實”是“不動”的。但是，這正是造成我們錯覺的所在。不管照相機(jī)多么先進(jìn)，不管高速攝影快門速度多塊，現(xiàn)實之中，它永遠(yuǎn)不可能是零。 關(guān)鍵詞： 芝諾悖論 劉翔 烏龜 “芝諾悖論”之所以被稱之為“悖論”，他自己也被后世稱為“詭辯論者”，是因為他的悖論完全違反常理，但是，人們又不知道如何才能反駁他。 關(guān)鍵詞： 芝諾悖論 劉翔 烏龜 在微積分中有一個重要的概念叫做“無窮小”，數(shù)學(xué)符號寫作“dx”。把無窮小的概念與零混淆，是初學(xué)者最容易犯的錯誤之一，雖然無窮小與零無限接近，但若把兩者等同起來，得到的結(jié)果將是天差地別，比如出現(xiàn)飛矢“動”與“不動”的矛盾。 關(guān)鍵詞： 芝諾悖論 劉翔 烏龜 我們可以說，“芝諾悖論”在古希臘出現(xiàn)之后，經(jīng)歷了2000年左右，才由牛頓、萊布尼茨等人的微積分學(xué)找到了真正錯誤所在。 關(guān)鍵詞： 芝諾悖論 劉翔 烏龜 以現(xiàn)代物理學(xué)的角度來看，芝諾的“無窮小”也是不成立的，如莊子所言：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！?，在數(shù)學(xué)上雖然講得過去。但嚴(yán)格來說，空間與時間是不能無限細(xì)分的，當(dāng)細(xì)分到普朗克尺度時就已經(jīng)沒有現(xiàn)實意義了。 芝諾“以非數(shù)學(xué)的語言，記錄下了最早同連續(xù)性和無限性格斗的人們所遭遇到的困難?！敝ブZ的功績在于把動和靜的關(guān)系、無限和有限的關(guān)系、連續(xù)和離散的關(guān)系惹人注意地擺了出來，并進(jìn)行了辨證的考察。 關(guān)鍵詞： 芝諾悖論 劉翔 烏龜 芝諾因其悖論而著名，并因此在數(shù)學(xué)和哲學(xué)兩方面享有不朽的聲譽(yù)。數(shù)學(xué)史家F．卡約里(Cajori)說，“芝諾悖論的歷史，大體上也就是連續(xù)性、無限大和無限小這些概念的歷史?！?/div> 關(guān)鍵詞： 芝諾悖論 劉翔 烏龜 |
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