負(fù) 數(shù)

中國人同樣毫不費力就得到了負(fù)數(shù)的概念。前面已經(jīng)說過，大概早在西漢時期（公元前二世紀(jì)），他們就已用赤籌表示正系數(shù)，用黑籌表示負(fù)系數(shù)。加外一種方法是用三角形截面的算籌表示正數(shù)，矩形截面的算籌表示負(fù)數(shù)。宋代代數(shù)學(xué)家是熟悉這種正負(fù)號的法則的。例如1299年的《算學(xué)啟蒙》就敘述過。當(dāng)然，丟番都（275年）曾把具有負(fù)數(shù)解的方程說成是“荒唐的東西”，中國人同樣也不考慮負(fù)解。在歐洲，第一部圓滿論述負(fù)數(shù)的著作是1545年卡但（Jerome Cardan）的《大法》（Ars Magna）。宋代的代數(shù)學(xué)家用兩種方法表示負(fù)數(shù)：一種是把它們寫成或印成黑色，以別于赤色的正數(shù)；另一種是在負(fù)數(shù)的最右一位數(shù)字上打一斜杠，這種做法也許來源于劉徽注中所說的用斜放的籌碼表示負(fù)數(shù)的古法。中國人對于求負(fù)數(shù)的平方根的問題似乎未曾留意過，雖然印度人（如大雄和巴斯卡拉）已覺察到這個問題。不過，復(fù)數(shù)和虛數(shù)的意義，在文藝復(fù)興以膠，更確切地說即在十七世紀(jì)末以前，在歐洲也確實并末被人們所理解。

自從公元前4世紀(jì)，中國數(shù)學(xué)家就已經(jīng)了解負(fù)數(shù)和零的概念了。公元1世紀(jì)的《九章算術(shù)》說“正負(fù)術(shù)曰：同名相除，異名相益，正無入負(fù)之，負(fù)無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之?！保ㄟ@段話的大意是“減法：遇到同符號數(shù)字應(yīng)相減其數(shù)值，遇到異符號數(shù)字應(yīng)相加其數(shù)值，零減正數(shù)的差是負(fù)數(shù)，零減負(fù)數(shù)的差是正數(shù)?！保┮陨衔淖掷锏摹盁o入”通常被數(shù)學(xué)歷史家認(rèn)為是零的概念?！毒S基百科》

虛 數(shù)

物理學(xué)家戴森（1923-  ）所斷言的“物理學(xué)家用數(shù)學(xué)材料來建構(gòu)理論”如果說通過實驗與觀察來控制的想象力是物理學(xué)家不可缺少的工具，那么，大多數(shù)情形中這種想象力在其中發(fā)揮作用的框架就是數(shù)學(xué)。關(guān)于一個純數(shù)學(xué)概念變得對科學(xué)極為有用的例子，是數(shù)學(xué)系統(tǒng)擴(kuò)充為包括“虛”數(shù)  及它的倍數(shù)的情形，這種數(shù)最初是16世紀(jì)在解代數(shù)方程的過程中作為“不可能的”量出現(xiàn)的。（比如，方程χ²+1＝0的解是χ＝±1。在發(fā)明虛數(shù)以前，這個方程認(rèn)為無解。）佛蘭芒數(shù)學(xué)家吉拉德（1590-1633）最先明確地將這類方程的解看成是可以接受的解。我們今天稱之為“虛”數(shù)的名稱，是哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家笛卡爾（1590-1633）取的。然而，是通過“數(shù)學(xué)王子”高斯（1777-1855）的努力，才使得它們完全被人們重視。（即使是作為代數(shù)方程之解的負(fù)數(shù)的概念，也是到15世紀(jì)才出現(xiàn)的，而且一開始也難以為人們所接受。）由“實”數(shù)與“虛”之和構(gòu)成的數(shù)，如3+5i，現(xiàn)在被稱為“復(fù)數(shù)”；在“復(fù)數(shù)”3+5i中，3被稱作“實”部，5是“虛”部。

雖然虛數(shù)概念出現(xiàn)于代數(shù)學(xué)中，但它已經(jīng)成為其他數(shù)學(xué)分支的一個不可缺少的部分，而且在許多科學(xué)領(lǐng)域中也逐漸被認(rèn)為是一個很有用的概念。20世紀(jì)20年代量子力學(xué)的誕生，顯示了這一概論強(qiáng)大的生命力；復(fù)數(shù)系統(tǒng)是該理論的一個基本組成部分，沒有它們量子理論的表述將是難以想象的。

《探求萬物之理——混沌、夸克與拉普拉斯妖》羅杰·G·牛頓 著 李香蓮 譯

 上?？萍冀逃霭嫔?span lang="EN-US">  2008年8月第1版

進(jìn)位制/位置計數(shù)法

進(jìn)位制/位置計數(shù)法是一種記數(shù)方式，故亦稱進(jìn)位記數(shù)法/位值計數(shù)法，可以用有限的數(shù)字符號代表所有的數(shù)值。可使用數(shù)字符號的數(shù)目稱為基數(shù)或底數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進(jìn)位制，簡稱n進(jìn)制?，F(xiàn)在最常用的是十進(jìn)進(jìn)制，通常使用10個阿拉伯?dāng)?shù)字0-9進(jìn)行記數(shù)。

對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進(jìn)位制來表示。比如：十進(jìn)靈數(shù)57，可以用二進(jìn)制表示為111001，也可以用五進(jìn)制表示為212，也可以用八進(jìn)制表示為71、用十六進(jìn)制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。

在10進(jìn)位的位置計數(shù)法中有10個數(shù)字(0 - 9)，數(shù)字

. 

在16進(jìn)位的位置計數(shù)法中有16個數(shù)字(0–9 和 A–F)，數(shù)字

(這里用單一的字符B表示數(shù)字11)

全序關(guān)系

全序關(guān)系、即在數(shù)學(xué)中，集合 X 上的全序、線性序、簡單序，或(非嚴(yán)格)排序是在 X 上的反對稱的、傳遞的和完全的任何二元關(guān)系。這意味著如果我們把這種關(guān)系指示為 ≤ 則下列陳述對于 X 中的所有 a, b 和 c 成立:

如果 a ≤ b 且 b ≤ a 則 a = b (反對稱性)

如果 a ≤ b 且 b ≤ c 則 a ≤ c (傳遞性)

a ≤ b 或 b ≤ a (完全性)

配對了在其上相關(guān)的全序的集合叫做全序集合、線序集合、簡單序集合或鏈。鏈還常用來描述某個偏序的全序子集，比如在佐恩引理中。

關(guān)系的完全性性質(zhì)可以如下這樣描述: 在集合中的任何一對元素在這個關(guān)系下都是相互可比較的。

注意完全性條件蘊涵了自反性，就是說，a ≤ a。因此全序也是偏序，就是說，自反的、反對稱的和傳遞的二元關(guān)系。全序也可以定義為“全部”的偏序，就是滿足“完全性”條件的偏序。

[{a∨b,a∧b}={a,b}對于所有 a, b。

我們寫 a ≤ b 當(dāng)且僅當(dāng) ?？傻贸鋈蚣鲜欠峙涓瘛?span lang="EN-US">

全序集合形成了偏序集合的范疇的全子范疇，通過是關(guān)于這些次序的映射的態(tài)射，比如，映射 f 使得如果 a ≤ b 則 f(a) ≤ f(b)。

在兩個全序集合間的關(guān)于兩個次序的雙射映射是在這個范疇內(nèi)的同構(gòu)。

嚴(yán)格全序

對于每個(非嚴(yán)格)全序 ≤ 都一個一個相關(guān)聯(lián)的非對稱(因此反自反)的叫做嚴(yán)格全序的關(guān)系 <，它可以等價的以兩種方式定義:

a < b 當(dāng)且僅當(dāng) a ≤ b 且 a ≠ b

a < b 當(dāng)且僅當(dāng) ?(b ≤ a) (就是說 < 是 ≤ 的補關(guān)系的逆關(guān)系)

性質(zhì):

關(guān)系是傳遞的: a < b 且 b < c 蘊涵 a < c。

關(guān)系是三分的: a < b, b < a 和 a = b 中精確的一個是真的。

關(guān)系是嚴(yán)格弱序，這里關(guān)聯(lián)的等價是等同性。

我們可以其他方式工作，選擇 < 為三分二元關(guān)系；則全序 ≤ 可等價的以兩種方式來定義:

a ≤ b 當(dāng)且僅當(dāng) a < b 或 a = b

a ≤ b 當(dāng)且僅當(dāng) ?(b < a)

還有兩個關(guān)聯(lián)的次序是補關(guān)系 ≥ 和 >，它們一起構(gòu)成四元組 {<, >, ≤, ≥}。

我們可以通過這四個關(guān)系中任何一個定義或解釋集合全序的方式；符號蘊涵了我們談?wù)摰氖欠菄?yán)格的還是嚴(yán)格全序。

例子：

字母表的字母按標(biāo)準(zhǔn)字典次序排序，比如 A < B < C 等等。

全序集合的任何子集，帶有在整個集合上次序的限制。

所有的兩個元素都是可比較的任何偏序集合 X (就是說，如果 a,b 是 X 的成員，則 a≤b 或 b≤a 中的一個為真或二者都是真)。

基數(shù)或序數(shù)(更強(qiáng)的說良序)的任何集合。

如果 X 是任何集合而 f 是從 X 到一個全序集合的單射函數(shù)，則 f 引發(fā) X 上的全序，通過設(shè)立 x1 < x2 當(dāng)且僅當(dāng) f(x1) < f(x2)。

在用一個序數(shù)索引的那些全序集合的笛卡爾積的一個集合上的詞典序自身是全序。例如，按字母表排序的字的任何集合是全序的，可看做通過向字母表增加空格符號(并定義空格小于任何字母)形成的集合的可數(shù)個復(fù)件的笛卡爾積的子集。

自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集和實數(shù)集用平常的小于(<)或大于(>)關(guān)系排序都是全序的。它們都可以被證實是帶有特定性質(zhì)的全序集合的唯一的(在同構(gòu)內(nèi))最小實例(全序 A 是帶有特定性質(zhì)的最小的，如果只要 B 有這個性質(zhì)，就有從 A 到 B 的子集的一個序同構(gòu)):

自然數(shù)集是最小的沒有上界的全序集合。

整數(shù)集是最小的沒有上界也沒有下界的全序集合。

有理數(shù)集是最小的沒有上界或沒有下界的全序集合，它在 (a, b) 對于所有 a < b 是非空的意義上是密集的。

實數(shù)集是最小的無界連通的全序集合。

二進(jìn)制

二進(jìn)制是逢2進(jìn)位的進(jìn)位制。0、1是基本算符?，F(xiàn)代的電子計算機(jī)技術(shù)全部采用的是二進(jìn)制，因為它只使用0、1兩個數(shù)字符號，非常簡單方便，易于用電子方式實現(xiàn)。

運算規(guī)則

四則運算

加法：00＋00＝00，00＋01＝01，01＋00＝01，01＋01＝10

減法：0－0＝0，1－0＝1，1－1＝0，10－1＝1

乘法：0×0＝0，0×1＝0，1×0＝0，1×1＝1

除法：0÷1＝0，1÷1＝1

拈加法

不同進(jìn)位數(shù)轉(zhuǎn)換

十進(jìn)數(shù)轉(zhuǎn)成二進(jìn)數(shù)

整數(shù)部分，把十進(jìn)制轉(zhuǎn)成二進(jìn)制一直分解至商數(shù)為1。從最底左邊數(shù)字開始讀，之后讀右邊的數(shù)字，從下讀到上。 小數(shù)部分，則用其乘2，取其整數(shù)部分的結(jié)果，再用計算后的小數(shù)部分依此重復(fù)計算，算到小數(shù)部分全為0為止，之后讀所有計算后整數(shù)部分的數(shù)字，從下讀到上。

郭書春在《古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽》一書指出：“事實是，萊布尼茲先發(fā)明了二進(jìn)制，后來才看到傳教士帶回的宋代學(xué)者重新編排的《周易》八卦，并發(fā)現(xiàn)八卦可以用他的二進(jìn)制來解釋?！绷鹤诰拊凇稊?shù)學(xué)歷史典故》一書對這一歷史公案進(jìn)行了更加詳盡的考證。                                 

附：戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年－1716年），德國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家。

附：另一種說法,李約瑟在《中國科學(xué)技術(shù)史· 第二卷 科學(xué)思想史》第十章附論“《易經(jīng)》和萊布尼茨的二進(jìn)制算術(shù)”中對二進(jìn)制的起源進(jìn)行了考證。          

波粒二象性

波粒二象性（英語：Wave-particle duality）是微觀粒子的基本屬性之一。指微觀粒子有時顯示出波動性（這時粒子性不顯著），有時又顯示出粒子性（這時波動性不顯著），在不同條件下分別表現(xiàn)為波動和粒子的性質(zhì)。一切微觀粒子都具有波粒二象性。

 

在經(jīng)典力學(xué)中，研究對象總是被明確區(qū)分為“純”波動和“純”粒子。前者的典型例子是光，后者則組成了我們常說的“物質(zhì)”。公元1905年，愛因斯坦提出了光電效應(yīng)的光量子解釋，人們開始意識到光波同時具有波和粒子的雙重性質(zhì)。公元1924年，德布羅意提出“物質(zhì)波”假說，認(rèn)為“一切物質(zhì)”和光一樣都具有波粒二象性。根據(jù)這一假說，在“一切物質(zhì)”的范圍之內(nèi)的電子也會具有干涉和衍射（繞射）等波動現(xiàn)象，這被后來的戴維森-革末實驗所證實。

“波”和“粒子”的數(shù)學(xué)關(guān)系

物質(zhì)的粒子性由能量 E 和動量 p 刻畫，波的特征則由頻率 ν 和波長 λ 表達(dá)，這兩組物理量由普朗克常數(shù) h 所聯(lián)系。

歷 史

托馬斯·楊（Thomas Young）對光的干涉的實驗研究, 1803年.在十九世紀(jì)末，日臻成熟的原子論逐漸盛行，根據(jù)原子理論的看法，物質(zhì)都是由微小的粒子——原子構(gòu)成。比如原本被認(rèn)為是一種流體的電，由約瑟夫·湯姆孫的陰極射線實驗證明是由被稱為電子的粒子所組成。因此，人們認(rèn)為大多數(shù)的物質(zhì)是由粒子所組成。而與此同時，波被認(rèn)為是物質(zhì)的另一種存在方式。波動論已經(jīng)被相當(dāng)深入地研究，包括干涉和衍射等現(xiàn)象。由于光在托馬斯·楊的雙縫實驗中，以及夫瑯禾費衍射中所展現(xiàn)的特性，明顯地說明它是一種波動。

不過在二十世紀(jì)來臨之時，這個觀點面臨了一些挑戰(zhàn)。1905年，由阿爾伯特·愛因斯坦研究的光電效應(yīng)展示了光粒子性的一面。隨后，電子衍射被預(yù)言和證實了。這又展現(xiàn)了原來被認(rèn)為是粒子的電子波動性的一面。

這個波與粒子的困擾終于在二十世紀(jì)初由量子力學(xué)的建立所解決，即所謂波粒二象性。他提供了一個理論框架，使得任何物質(zhì)在一定的環(huán)境下都能夠表現(xiàn)出這兩種性質(zhì)。量子力學(xué)認(rèn)為自然界所有的粒子，如光子、電子或是原子，都能用一個微分方程，如薛定諤方程來描述。這個方程的解即為波函數(shù)，它描述了粒子的狀態(tài)。波函數(shù)具有疊加性，即，它們能夠像波一樣互相干涉和衍射。同時，波函數(shù)也被解釋為描述粒子出現(xiàn)在特定位置的機(jī)率幅。這樣，粒子性和波動性就統(tǒng)一在同一個解釋中。

之所以在日常生活中觀察不到物體的波動性，是因為他們皆質(zhì)量太大，導(dǎo)致德布羅意波長比可觀察的限度要小很多，因此可能發(fā)生波動性質(zhì)的尺度在日常生活經(jīng)驗范圍之外。這也是為什么經(jīng)典力學(xué)能夠令人滿意地解釋“自然現(xiàn)象”。反之，對于基本粒子來說，它們的質(zhì)量和尺度決定了它們的行為主要是由量子力學(xué)所描述的，因而與我們所習(xí)慣的圖景相差甚遠(yuǎn)。

惠更斯和牛頓，早期光理論

最早的綜合光理論是由克里斯蒂安·惠更斯所發(fā)展的，他提出了一個光的波動理論，解釋了光波如何形成波前，直線傳播。該理論也能很好地解釋折射現(xiàn)象。但是，該理論在另一些方面遇見了困難。因而它很快就被艾薩克·牛頓的粒子理論所超越。牛頓認(rèn)為光是由微小粒子所組成，這樣他能夠很自然地解釋反射現(xiàn)象。并且，他也能稍顯麻煩地解釋透鏡的折射現(xiàn)象，以及通過三棱鏡將陽光分解為彩虹。

由于牛頓無與倫比的學(xué)術(shù)地位，他的理論在一個多世紀(jì)內(nèi)無人敢于挑戰(zhàn)，而惠更斯的理論則漸漸為人淡忘。直到十九世紀(jì)初衍射現(xiàn)象被發(fā)現(xiàn)，光的波動理論才重新得到承認(rèn)。而光的波動性與粒子性的爭論從未平息。

費涅爾、麥克斯韋和楊

十九世紀(jì)早期由托馬斯·楊和奧古斯丁·簡·菲涅耳所演示的雙縫實驗為惠更斯的理論提供了實驗依據(jù)：這些實驗顯示，當(dāng)光穿過網(wǎng)格時，可以觀察到一個干涉樣式，與水波的干涉行為十分相似。并且，通過這些樣式可以計算出光的波長。詹姆斯·克拉克·麥克斯韋在世紀(jì)末葉給出了一組方程，揭示了電磁波的性質(zhì)。而方程得到的結(jié)果，電磁波的傳播速度就是光速，這使得光作為電磁波的解釋被人廣泛接受，而惠更斯的理論也得到了重新認(rèn)可。

愛因斯坦和光子

1905年，愛因斯坦對光電效應(yīng)提出了一個理論，解決了之前光的波動理論所無法解釋的這個實驗現(xiàn)象。他引入了光子，一個攜帶光能的量子的概念。

E=hv

在光電效應(yīng)中，人們觀察到將一束光線照射在某些金屬上會在電路中產(chǎn)生一定的電流。可以推斷是光將金屬中的電子打出，使得它們流動。然而，人們同時觀察到，對于某些材料，即使一束微弱的藍(lán)光也能產(chǎn)生電流，但是無論多么強(qiáng)的紅光都無法在其中引出電流。根據(jù)波動理論，光強(qiáng)對應(yīng)于它所攜帶的能量，因而強(qiáng)光一定能提供更強(qiáng)的能量將電子擊出。然而事實與預(yù)期的恰巧相反。

愛因斯坦將其解釋為量子化效應(yīng)：電子被光子擊出金屬，每一個光子都帶有一部分能量E，這份能量對應(yīng)于光的頻率ν：

這里h是普朗克常數(shù)（6.626 x 10-34 J s）。光束的顏色決定于光子的頻率，而光強(qiáng)則決定于光子的數(shù)量。由于量子化效應(yīng)，每個電子只能整份地接受光子的能量，因此，只有高頻率的光子（藍(lán)光，而非紅光）才有能力將電子擊出。

愛因斯坦因為他的光電效應(yīng)理論獲得了1921年諾貝爾物理學(xué)獎。

德布羅意及德布羅意波

1924年，路易·德布羅意構(gòu)造了德布羅意假說，聲稱所有的物質(zhì)都有類波的屬性。他將這個波長λ和動量p聯(lián)系為：

這是對愛因斯坦等式的一般化，因為光子的動量為p = E / c（c為真空中的光速），而λ = c / ν。

德布羅意的方程三年后通過兩個獨立的電子散射實驗被證實于電子（具有靜止質(zhì)量）身上。在阿伯丁大學(xué)，喬治·佩吉特·湯姆孫將一束電子穿過薄金屬片，并且觀察到了預(yù)期中的干涉樣式。在貝爾實驗室，克林頓·戴維森和雷斯特·革末將他們的實驗電子束穿過一個晶體。

德布羅意于1929年因為這個假設(shè)獲得了諾貝爾物理學(xué)獎。湯姆孫和戴維森因為他們的實驗工作共享了1937年諾貝爾物理學(xué)獎。

數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法（Mathematical Induction，通常簡稱為MI）是一種數(shù)學(xué)證明方法，通常被用于證明某個給定命題在整個（或者局部）自然數(shù)范圍內(nèi)成立。除了自然數(shù)以外，廣義上的數(shù)學(xué)歸納法也可以用于證明一般良基結(jié)構(gòu)，例如：集合論中的樹。這種廣義的數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用于數(shù)學(xué)邏輯和計算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域，稱作結(jié)構(gòu)歸納法。

雖然數(shù)學(xué)歸納法名字中有“歸納”，但是數(shù)學(xué)歸納法并不是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臍w納推理法，它是屬于完全嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理法。

附：[演繹定理]在數(shù)理邏輯中，演繹定理聲稱如果公式 F 演繹自 E，則蘊涵 E → F 是可證明的(就是或它可以自空集推導(dǎo)出來)。用符號表示，如果E ├ F ，則├ E → F。

演繹定理是元定理: 在給定的理論中使用它來演繹證明，但它不是這個理論自身的一個定理。

[演繹推理]在傳統(tǒng)的亞里士多德邏輯中，演繹推理(英語：deductive reasoning）是“結(jié)論，可從叫做前提的已知事實，“必然的”得出的推理”。如果前提為真，則結(jié)論必然為真。這區(qū)別于溯因推理和歸納推理，它們的前提可以預(yù)測出高概率的結(jié)論，但是不確保結(jié)論為真。

“演繹推理”還可以定義為結(jié)論在普遍性上不大于前提的推理，或“結(jié)論在確定性上，同前提一樣”的推理。

場線（磁力線）

場線是由矢量場和初始點設(shè)定的軌跡。在空間里，矢量場在每一個位置，都設(shè)定了一個方向。只要按照矢量場在每一個位置所指的方向來追蹤路徑，就可以素描出正確的場線。更精確地說，場線在每一個位置的切線必須平行于矢量場在那一個位置的方向。

在空間內(nèi)，由于，伴隨著每一個點的矢量，組合起來，構(gòu)成了矢量場，場線可以說是一個專為矢量場精心打造的顯像工具，能夠清楚地顯示出矢量場在每一個位置的方向。假若矢量場描述的是一個速度場，則場線跟隨的是流體的流線。在磁鐵的四周灑散鐵粉，可以清楚地顯示出磁場的磁場線。靜電荷的場線稱為電場線，從正電荷往外擴(kuò)散，朝著負(fù)電荷聚集。

對于一個矢量場，假若我們能夠完整地描述其所有的場線，那么，這矢量場在每一個位置的方向已完全地被設(shè)定了。為了同時表示出矢量場的大小值，我們必須控制場線的數(shù)量，促使場線在任意位置的密度等于矢量場在那位置的大小值。

場線的圖案能夠用來表達(dá)某些重要的矢量微積分概念。場線從某一個區(qū)域的往外擴(kuò)散或往內(nèi)聚斂可以表達(dá)散度。場線的螺旋圖案可以表達(dá)旋度。

雖然大多數(shù)時候，場線只是一個數(shù)學(xué)建構(gòu)，在某些狀況，場線具有實際的物理意義。例如，在等離子體物理學(xué)里，處于同一條場線的電子或離子會強(qiáng)烈地相互作用；而處于不同場線的粒子，通常不會相互作用。

     

封閉系統(tǒng)

在熱力學(xué)之中，封閉系統(tǒng)是指一個只與外界交換能量（作功或熱量）而不交換質(zhì)量的系統(tǒng)。假如一個只擁有一種粒子（原子或分子）的系統(tǒng)進(jìn)行化學(xué)反應(yīng)時，過程中所有種類的粒子都可以被生成或破壞。但是，封閉系統(tǒng)內(nèi)的元素原子數(shù)目將會守恒。

在量子力學(xué)中，封閉系統(tǒng)等同于孤立系統(tǒng)。而只與外界交換能量的系統(tǒng)會被視為開放系統(tǒng)。

孤立系統(tǒng)：系統(tǒng)完全不與外界交換能量或質(zhì)量。

開放系統(tǒng)：系統(tǒng)與外界交換能量與質(zhì)量。

鏡像世界

現(xiàn)實世界中發(fā)生的每件事情，在某個特定的鏡像世界中都有著與其對應(yīng)的東西，且以我們的經(jīng)驗并行的方式而存在。但這種鏡像是一種反射，即原來的東西的一種變換。在一塊鏡子中，這種變換是左右反演的形式，看著鏡子，會發(fā)現(xiàn)一個左右反演的三維像在鏡子遠(yuǎn)端“活靈活現(xiàn)”。而我們知道這并不是真的。在這種鏡子中的像不是實在的。與阿麗思（卡羅爾小說《阿麗思鏡中奇遇記》中主人公）不同，我們不能那么輕而易舉地滑進(jìn)玻璃屏障。而其他鏡子能提供更確實的反射。另一類反演是黑白照相底片，其中光照之處變暗，反之明亮。底片是個真正的鏡像，在物體和像之間是一一對應(yīng)的?？墒牵绻缕拓?fù)片疊合在一起，兩種像就會彼此抵消，所有的信息就會丟失。

有許多其他鏡子，真實的和隱喻的，都是通過對應(yīng)物的純粹對照來給出反射的深度。在我們這個紛亂的世界中，我們視野所及似乎常常是由一些相互間大相徑庭的事物所表征的——晝和夜、夏和冬即是這樣。這些懸殊的東西可以彼此看作鏡像。而與實時反射的鏡子不同的是，這些懸殊的東西可以出現(xiàn)在不同的時間的不同的地點。白天總是跟隨夜晚，一個不眠之夜的不適不久就會被遺忘。夏天總是跟隨冬天，而時間尺度卻不相同……像卡羅爾這種隨意杜撰的故事是引人入勝的，因為它們是現(xiàn)實世界的伴你。在現(xiàn)實世界的鏡像中，感覺和邏輯可以顛倒過來，事情會變得新奇陌生。對阿麗思的鏡子，鏡面反演把左變成右，把右變成左。左和右是由旋轉(zhuǎn)的思想緊密地聯(lián)系起來的——鏡子中一個向右旋轉(zhuǎn)（即順時針方向）反映真實的逆進(jìn)針方向的一個旋轉(zhuǎn)。實際上，鏡子中的像看碟起來是“錯的”，因為我們大腦把它解釋為一個180°的旋轉(zhuǎn)，如果我用右手拿一個物體，在鏡像中看起來卻是左手拿著該物體。而如果我們直到鏡子后面并面對來時的方向，這個物體仍牢牢地拿在右手中，從鏡子中看時，一只釧會很不相同，盡管它是逆時針方向走動的，卻持準(zhǔn)確的時間。通過左右鏡像反射，時間依然不變。

《反物質(zhì)-——世界的終極鏡像· 第二章》戈登·弗雷德著 江向東 黃艷華譯 上海科教出版社 2002年12月第一版