隨著新課程改革的不斷推廣和深化，利用三視圖培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，從而形成對幾何體的整體認(rèn)識(shí)，在立體幾何的學(xué)習(xí)中起到了很大的作用。在教學(xué)中，我覺得對于三視圖的認(rèn)識(shí)，不少學(xué)生只能停留在定性研究的基礎(chǔ)上，對于定量的應(yīng)用三視圖來更準(zhǔn)確的計(jì)算幾何體的表面積體積等，還存在問題。于是我在本文中重點(diǎn)談?wù)勅绾卫萌晥D定量研究幾何體。

例1：（改編自《人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)②》P35。3）

已知幾何體的三視圖如下，畫出它們的直觀圖，并根據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)計(jì)算該幾何體的表面積與體積。

解：（1）這個(gè)幾何體是由圓柱和圓錐組合而成的組合體。

由正視圖可知：圓柱的高為4，底面直徑為1；圓錐的高為2，底面直徑為3.

于是：該幾何體的表面積為
S=_圓柱+S_圓錐=+
=。

該幾何體的體積為
V=V_圓柱+V_圓錐=（。

（2）這個(gè)幾何體為棱臺(tái)。棱臺(tái)的底面為正方形。下底邊長為2，上底邊長為4，高為2.

要注意正視圖中等腰梯形的腰正是棱臺(tái)左、右兩側(cè)面的高。側(cè)視圖中等腰梯形的腰正是棱臺(tái)前、后兩側(cè)面的高。

于是該幾何體的表面積S=4+16+4[]=20+12.

它的體積為。

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵在于了解三視圖與幾何體之間的關(guān)系。能夠利用三視圖判斷出幾何體的形狀與關(guān)鍵的尺寸，從而對幾何體進(jìn)行量化研究。

學(xué)生容易出錯(cuò)的地方是對棱臺(tái)正視圖的判斷，他們?nèi)菀渍J(rèn)為正視圖就是棱臺(tái)的前側(cè)面。這是空間想象能力還有所欠缺，未能準(zhǔn)確理解三視圖的表現(xiàn)。我們在教學(xué)中要把棱臺(tái)與長方體的三視圖加以比較，結(jié)合教具，通過比較分析，幫助學(xué)生形成正確的認(rèn)識(shí)。

跟上面相類似的問題還有《人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)②》第29頁B組第1題。在這個(gè)問題中也涉及到了棱臺(tái)的體積與表面積計(jì)算，讀者不妨重新加以練習(xí)。

返觀這幾年的高考中有關(guān)三視圖的考察，主要就是利用三視圖判斷幾何結(jié)構(gòu)，然后畫出直觀圖，計(jì)算幾何體的表面積或體積。這樣出題體現(xiàn)了知識(shí)的綜合性，但這個(gè)綜合程度還僅局限在一章知識(shí)的范圍內(nèi)，沒更大程度的綜合。題目的難度有所上升，由容易題變?yōu)橹械阮}。

(2011年山西高考題（8）)在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖與俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為

點(diǎn)評：這是一個(gè)由正視圖與俯視圖推想側(cè)視圖的問題。它要求學(xué)生在所學(xué)的常見幾何體中進(jìn)行檢索，從而找符合已知條件的幾何模型進(jìn)一步再找到俯視圖。

首先從俯視圖上大致可判斷這個(gè)幾何體是一個(gè)組合體，一部分為一個(gè)半旋轉(zhuǎn)體，另一部分為三棱錐或三棱柱。再由正視圖可判斷，這個(gè)幾何體應(yīng)為錐體。于是可知它是由一個(gè)半圓錐與三棱錐組而成的幾何體，從而判斷其側(cè)視圖為D。

但也要注意到這樣的推理只是一種合情推理，而非嚴(yán)格的邏輯推理，因?yàn)橛烧晥D和俯視圖是確定不了側(cè)視圖的。只是在中學(xué)生的認(rèn)知范圍內(nèi)，他們能夠猜想到的就是半圓錐和三棱錐的組合。而實(shí)際上側(cè)視圖為（A）的幾何體也是存在的，它的前面一半也是一個(gè)三棱錐，而后面一半可理解為半圓柱與一個(gè)橫放的三棱柱的交集體，當(dāng)然這樣的幾何體對高中生來說很難想到，也無法描述。這樣對此題的回答就造成了一定的思維困難，從而使此題的得分率偏低與此不無關(guān)系。

（2010年新課標(biāo)卷（14））正視圖為一個(gè)三角形的幾何體可以是_____________。
（寫出三種）

【答案】棱錐，三棱柱，圓錐

點(diǎn)評：此題的解答相當(dāng)簡單，答案也多種多樣。有的同學(xué)答三棱錐、四棱錐、五棱錐。有的同學(xué)答圓錐、三棱柱、三棱臺(tái)。顯然后者的思維更開闊，前者的思維就比較狹窄。但都是正確的。我想這樣的結(jié)果也并不是出題者想要達(dá)到的目的。我們在努力能體現(xiàn)學(xué)生個(gè)性化特征的試題與考試方式，但面對標(biāo)準(zhǔn)考試的方式，我們的努力卻總是失敗。

（2009年海南寧夏卷（11））一個(gè)棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：c）為

（A）48+12      （B）48+24    （C）36+12   （D）36+24

解：由三視圖畫出直觀圖得
該幾何體是一個(gè)三棱錐。底面ABC為等腰直角三角形，角B為直角。DE⊥平面ABC垂足為E，且E為AC中點(diǎn)。

另外由俯視圖知BC=AB=6，由正視圖知DE=4.側(cè)面DAB的高為。于是該棱錐的表面積為
S=2（）++
=48+12。

點(diǎn)評：此題就要求學(xué)生有一定的空間想象能力，能夠準(zhǔn)確地由三視圖判斷出空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而畫出直觀圖，進(jìn)行體積或表面積運(yùn)算。

（2008年海南寧夏卷（12））某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a + b的最大值為（    ）

A.                       B.                C. 4                      D.

解：根據(jù)題意得，所以得
因?yàn)?/span>，所以

點(diǎn)評：此題是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的問題，對一條線段三視圖的考察可放置在長方體中模型中，加以判斷。另外綜合的重要不等式，是一個(gè)難度適當(dāng)?shù)木C合性題目。

作者簡介：任所懷，山西省原平市第一中學(xué)一級教師。1996年畢業(yè)于山西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，在中學(xué)任教15年，一直從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作。