【主要內(nèi)容】

本單元是在學習了平方根和算術(shù)平方根的意義的基礎(chǔ)上，引入一個符號“”．主要內(nèi)容有：（1）二次根式的有關(guān)概念，如：二次根式定義、最簡二次根式、同類二次根式等；（2）二次根式的性質(zhì)；（3）二次根式的運算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加減法等．

【要點歸納】

  1. 二次根式的定義：形如的式子叫二次根式，其中叫被開方數(shù)，只有當是一個非負數(shù)時，才有意義．

  2. 二次根式的性質(zhì)：

①

②

③

④

  3. 二次根式的運算

二次根式的運算主要是研究二次根式的乘除和加減．

（1）二次根式的加減：

需要先把二次根式化簡，然后把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）的系數(shù)相加減，被開方數(shù)不變。

注意：對于二次根式的加減，關(guān)鍵是合并同類二次根式，通常是先化成最簡二次根式，再把同類二次根式合并．但在化簡二次根式時，二次根式的被開方數(shù)應不含分母，不含能開得盡的因數(shù)．

（2）二次根式的乘法：

（3）二次根式的除法：

注意：乘、除法的運算法則要靈活運用，在實際運算中經(jīng)常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時還要考慮字母的取值范圍，最后把運算結(jié)果化成最簡二次根式．

   （4）二次根式的混合運算：

   先乘方（或開方），再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的；能利用運算律或乘法公式進行運算的，可適當改變運算順序進行簡便運算．

注意：進行根式運算時，要正確運用運算法則和乘法公式，分析題目特點，掌握方法與技巧，以便使運算過程簡便．二次根式運算結(jié)果應盡可能化簡．另外，根式的分數(shù)必須寫成假分數(shù)或真分數(shù)，不能寫成帶分數(shù)．例如不能寫成．

（5）有理化因式：

一般常見的互為有理化因式有如下幾類：

①與；             ②與；

③與；      ④與．

   說明：利用有理化因式的特點可以將分母有理化．

【難點指導】

1、如果是二次根式，則一定有；當時，必有；

2、當時，表示的算術(shù)平方根，因此有；反過來，也可以將一個非負數(shù)寫成的形式；

3、表示的算術(shù)平方根，因此有，可以是任意實數(shù)；

4、區(qū)別和的不同：

中的可以取任意實數(shù)，中的只能是一個非負數(shù)，否則無意義．

5、簡化二次根式的被開方數(shù)，主要有兩個途徑：

（1）因式的內(nèi)移：因式內(nèi)移時，若，則將負號留在根號外．即：．

（2）因式外移時，若被開數(shù)中字母取值范圍未指明時，則要進行討論．即：

6、二次根式的比較：

（1）若，則有；（2）若，則有．

  說明：一般情況下，可將根號外的因式都移到根號里面去以后再比較大小．

二次根式強化訓練與復習鞏固自測試題

【時間60分鐘   滿分100分】

一、填空題：（每小題2分，共20分）

1．化簡：______；_________．

    2．當______時，．

    3．等式成立的條件是______．

    4．當，化簡_______．

5．比較與的大小：_______．

6．分母有理化：

（1）__________；（2）__________；（3）__________．

7．已知，，，那么________．

8．計算_________．

9．如果，那么的值為___________．

10．若有意義，則的取值范圍是___________．

二、選擇題：（每小題2分，共20分）

1．下式中不是二次根式的為（ ）

      A．；  B．； C．； D．

2．計算得（ ）

      A．；      B．      C．         D．17

3．若，則化簡等于（ ）

      A．      B．     C．       D．1

    4．化簡的結(jié)果是（ ）

      A．       B．        C．       D．

5．計算的結(jié)果是（ ）

      A．          B．          C．        D．

    6．化簡的結(jié)果是（ ）

      A．2        B．       C．        D．以上答案都不對

    7．把式子中根號外的移到根號內(nèi)，得（ ）

      A．    B．   C．   D．

    8．等式成立的條件是（ ）

      A．      B．      C．     D．

9．的值為（ ）

      A．      B．     C．        D．  

10．若代數(shù)式有意義，則的取值范圍是（ ）

     A．且   B．   C．且   D．且

三、計算與化簡：（每小題2分，共16分）

（1）  （2）      （3）  （4）

（5）      （6）  （7）         （8）

（9）   （10）

四、求值題：（每小題4分，共16分）

1．已知：，求的值．

2．已知，求的值。

3．已知：，求的值．

4．求的值．

5．已知、是實數(shù)，且，求的值．

五、解答題：（每小題4分，共16分）

1．解方程：

2．在△ABC中，三邊分別為，且滿足，，試探求△ABC的形狀．

3．有一種房梁的截面積是一個矩形，且矩形的長與寬之比為：1，現(xiàn)用直徑為3cm的一種圓木做原料加工這種房梁，那么加工后的房梁的最大截面積是多少？

答案與提示：

一、填空題：

1．    8；    2．；    3．，；  4．；   5．；6．（1）（2） （3）    7．；    8．；    9．4；    10．；

二、選擇題：

1．B；  2．B；3．C；  4．A；  5．A；  6．C；  7．C；  8．A；  9．B；  10．C；

三、計算與化簡：

（1）96  （2）（3）（4）  （5）   （6）   

（7） （8）（9）

（10）思路點撥：由于，因此對代數(shù)式的化簡，可先將分母有理化，再通過解含有字母系數(shù)的一元一次方程得到的值，代入化簡得結(jié)果即可．

解：原式

．

四、求值題：

1．由于，所以；

2．解：∵，∴

∴，∴，∴

∴原式．

3．提示：由，得：，即：，所以，；再化簡，即：．

4．提示：由于

            ，而，所以．

5．提示：由，可知的取值范圍：，則；則．

五、解答題：

1．原方程可化為：，

∴   ∴

2．∵，∴，

又∵，∴，∴，

∴；

∵，，，∴，，，

 ∴，∴△ABC是等邊三角形．

3．設(shè)：矩形房梁的寬為，則長為，依題意，

得：，，，

所以．

答：加工后的房梁的最大截面積是．