《九章算術(shù)》作者不詳，師承不明，無門無派，身世神秘，仿佛天外飛仙般突然降臨江湖，一出現(xiàn)便驚艷了眾生，引得歷代名家盡折腰，甘愿殫精竭慮，紛紛為之作注，九章之學(xué)，遂成大宗。

如此經(jīng)典，非圣賢不能為。魏晉數(shù)壇盟主劉徽歸戴周公，“周公制禮而有九數(shù)，九數(shù)之流則《九章》是矣”，又云西漢張蒼、耿壽昌曾“因舊文之遺殘，各稱刪補”。若斯言足征，則《九章算術(shù)》之淵源，實可遠溯千年，至遲于西漢初期已見成書，其后遞經(jīng)修訂，于東漢初期已傳定本。

劉徽（225～295），山東鄒平縣人，魏晉時偉大數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一，著有《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》。

正如“獨孤九劍”有九式一樣，《九章算術(shù)》當(dāng)然也有九章，每章研習(xí)一術(shù)，分別是方田術(shù)、粟米術(shù)、衰分術(shù)、少廣術(shù)、商功術(shù)、均輸術(shù)、盈不足術(shù)、方程術(shù)、勾股術(shù)，合稱“九術(shù)”，即九種算法，不過聽起來怎么都像是武功秘訣或兵戰(zhàn)奇略。

中國人重務(wù)實而輕務(wù)虛，《九章算術(shù)》亦不屑于純粹的數(shù)理推演，凡所研習(xí)，莫不與社會生活息息相關(guān)。對此，劉徽曾有精辟的論述：方田者，“以御田疇界域”；粟米者，“以御交質(zhì)變易”；衰分者，“以御貴賤稟稅”；少廣者，“以御積冪方圓”；商功者，“以御功程積實”；均輸者，“以御遠近勞費”；盈不足者，“以御隱雜互見”；方程者，“以御錯糅正負”；勾股者，“以御高深廣遠”。

劉徽《九章算術(shù)注》

可見，《九章算術(shù)》所要解決的是諸如田畝丈量、糧食折換、商品交易、物資分配、土木工程、水利建設(shè)、賦稅繳納、徭役攤派、盈虧平衡等方方面面的問題，是基于現(xiàn)實的需要，而非偶發(fā)的興趣，故而所要探究的也是如何計算面積、體積、容積，如何進行分數(shù)運算、比例運算、等差運算、正負數(shù)運算，如何開平方、開立方，如何求解多元線性方程組，如何運用勾股定理測高望遠等實用實效的數(shù)學(xué)方法。

劍有劍招，算有算題，“獨孤九劍”須得從一招一招練起，《九章算術(shù)》也得從一題一題做起。整部《九章算術(shù)》說到底就是一本算題集，共列舉了二百四十六道算題，每題皆有問有答有解。這又好比二人對劍，一人出招，一人接招，至于如何見招拆招，則全賴“九術(shù)”之妙用。

看來欲有所進境，是非動手不可了。不妨就從每章各抽一題，以期略盡管窺之責(zé)。

今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正從三十步，問為田幾何？（方田章）

這正是方田術(shù)最擅長的面積計算問題，由于常跟“田”打交道，故而“田”也就自然成為了各類圖形的代稱，諸如：“方田”指矩形，“圭田”指等腰三角形，“邪田”指直角梯形，“箕田”指等腰梯形，“圓田”指圓形，“宛田”指球冠形，“弧田”指弓形，“環(huán)田”指環(huán)形等等。不同的“田”有不同的面積計算公式，遂又衍生出種種專語，諸如：“廣”為長，“從”為寬，“正從”為高，“舌”為上底，“踵”為下底，“周”為周長，“徑”為直徑等等。通曉了這些行話般的代稱專語，修煉起方田術(shù)來，才能事半而功倍。

箕田術(shù)示意圖

本題所求為箕田面積，“箕田術(shù)曰：并踵舌而半之，以乘正從”，翻譯過來即：

等腰梯形面積＝1/2×（上底＋下底）×高

這個公式是不是很親切？遙想幼學(xué)當(dāng)年，稚氣猶未了，強記硬背，百遍后，倒也滾瓜爛熟。在此直接套用即可：

箕田面積＝1/2×（20＋5）×30＝375步

漢制二百四十步為一畝，故答曰：“一畝一百三十五步?！?/p>

今有粟一斗，欲為糲米，問得幾何？（粟米章）

國以農(nóng)為本，民以食為天，糧食在古代不但是賦稅的大宗，交易時更堪比金銀等硬通貨，因此糧食的兌換和折算問題，一直是朝廷和官府的頭等大事。〈粟米章〉開篇就明示“粟米之法”，列出了二十種谷物及米飯的換算比率，相當(dāng)于一份漢代的糧食換算表，即以本題而言，粟率五十，糲米率三十。

粟是中國北方主要的糧食作物，俗稱“谷子”，去殼后俗稱“小米”，糲米就是糙米。本題的意思是，根據(jù)“粟米之法”所列的比率，問一斗谷子能換多少糙米？

那么，具體該如何換算呢？這就要借助“今有術(shù)”。所謂“今有術(shù)”，其實就是四項比例算法，因每問開頭常冠以“今有”二字，故得此諢號。其修煉口訣曰：“以所有數(shù)乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一?！币怨奖硎炯词牵?/p>

所求數(shù)＝所有數(shù)×所求率／所有率

本題是以粟來兌換糲米，粟數(shù)為所有數(shù)，糲米數(shù)為所求數(shù)，粟率為所有率，糲米率為所求率。依今有術(shù)之法：

糲米數(shù)＝粟數(shù)×糲米率／粟率＝1斗×30／50＝0.6斗

漢制十升為一斗，故答曰：“為糲米六升?！?/p>

今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人，共獵得五鹿。欲以爵次分之，問各得幾何？（衰分章）

古代以爵級為賜，大夫、不更、簪裊、上造、公士都是戰(zhàn)國之初已有的官爵名稱，爵數(shù)各有等差，依次為大夫五，不更四，簪裊三，上造二，公士一。本題要求將獵得的五只鹿，按爵級予以賞賜，分配比例即為爵數(shù)，問五爵各得多少？

今有術(shù)解決的雖是按比例交換問題，但同樣可以適用于此處的按比例分配問題，由此便形成了衰分術(shù)。衰（cuī）即差別之意，衰分即按差別來分配。本題所給出的算法是：“列置爵數(shù)，各自為衰，副并為法。以五鹿乘未并者各自為實，實如法得一鹿?！?/p>

所謂“列置爵數(shù)，各自為衰，副并為法”，就是把分配比例依次列出，以各率相加之和作為除數(shù)：

5：4：3：2：1

5＋4＋3＋2＋1＝15

所謂“五鹿乘未并者各自為實，實如法得一鹿”，就是用五鹿之?dāng)?shù)乘以五爵各自在分配總率中所占的比例，即可求得各自應(yīng)得鹿數(shù)：

大夫應(yīng)得鹿數(shù)＝5鹿×5／15＝1又2／3鹿

不更應(yīng)得鹿數(shù)＝5鹿×4／15＝1又1／3鹿

簪裊應(yīng)得鹿數(shù)＝5鹿×3／15＝1鹿

上造應(yīng)得鹿數(shù)＝5鹿×2／15＝2／3鹿

公士應(yīng)得鹿數(shù)＝5鹿×1／15＝1／3鹿

故答曰：“大夫得一鹿三分鹿之二，不更得一鹿三分鹿之一，簪裊得一鹿，上造得三分鹿之二，公士得三分鹿之一?！?/p>

本題中還涉及到了分數(shù)運算法則，這在〈方田章〉中有更為詳盡的論述，包括約分（分數(shù)化簡法）、合分（分數(shù)加法）、減分（分數(shù)減法）、乘分（分數(shù)乘法）、經(jīng)分（分數(shù)除法）、課分（分數(shù)比較大小）、平分（分數(shù)求平均值）及大廣田（帶分數(shù)乘法）——千萬別被它們古奧的名字唬住，其實都不過是最基本的分數(shù)加減乘除四則運算罷了，當(dāng)代的初中生人人皆會。

今有積五萬五千二百二十五步，問為方幾何？（少廣章）

少廣術(shù)是已知面積或體積，而反求邊長，相當(dāng)于方田術(shù)和商功術(shù)的逆向運算，這就必然會涉及到開平方和開立方的問題。《九章算術(shù)》的開方術(shù)極為精彩，采用數(shù)形結(jié)合的方法，根據(jù)幾何上“出入相補”的原理，“析理以詞，解體用圖”，顯示了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的特色，開創(chuàng)了后來開更高次方和求高次方程數(shù)值解之先河。特別令人驚異之處，是指出了存在有開不盡的情形，“若開之不盡者，為不可工”，并給這種不盡根數(shù)起了一個專門的名字——“面”。

本題是一道簡單的開平方題，欲求55225的平方根。《九章算術(shù)》用的是古老的算籌，先擺出開方數(shù)式，再通過移動算籌而借位，比之普通的加減乘除四則運算要復(fù)雜得多。本題答曰：“二百三十五步?！?/p>

今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺。問積幾何？（商功章）

陽馬不是馬，而一種特殊的錐體，本題所要求的就是這種錐體的體積，這正是商功術(shù)的看家本領(lǐng)。在動手計算之前，先得介紹一下立體圖形家族的諸位成員。

最熟悉的當(dāng)然是長方體，在家族中排行最大，輩份最高，許多錐體和柱體都是由它演變而來的。

將長方體沿對角面斜分為二，得到兩個一模一樣的三角棱錐，稱為“塹堵”，其體積是長方體的一半。

塹堵

再沿塹堵某一頂點與相對的棱剖開，得四角棱錐和三角棱錐各一個。四角棱錐以矩形為底，另有一棱與底面垂直，稱為“陽馬”；余下的三角棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為“鱉臑”（biē nào）。

合兩鱉臑而成一陽馬，合三陽馬而成一立方。故本題解法是：“廣袤相乘，以高乘之，三而一?！币簿褪且躁栺R矩形底面的長乘以寬，再乘以陽馬的高，得出未剖分前長方體的體積，除以三即為陽馬的體積。答曰：“九十三尺少半尺?！?/p>

商功術(shù)天天應(yīng)對的都是建房、造屋、筑城、修堤、挖溝、開渠等土木水利工程問題，所遇到的怪咖自然不止以上幾位，還有“芻童”、“芻甍”、“曲池”、“盤池”、“冥谷”等等?！捌c童”指的是上下底皆為矩形的擬柱體，芻甍指的是上底為一棱、下底為一矩形的擬柱體，至于“曲池”、“盤池”、“冥谷”則都是長方臺體，計算方法大同小異。

今有均輸粟，甲縣一萬戶，行道八日；乙縣九千五百戶，行道十日；丙縣一萬二千三百五十戶，行道十三日；丁縣一萬二千二百戶，行道二十日，各到輸所。凡四縣賦，當(dāng)輸二十五萬斛，用車一萬乘。欲以道里遠近、戶數(shù)多少，衰出之，問粟、車各幾何？（均輸章）

所謂“均輸”，就是平均分配運輸負擔(dān)。本題中縣戶有多少之差，行道有遠近之異，欲其均等，故各令行道日數(shù)約戶為衰分，行道多者少其戶，行道少者多其戶。

甲縣衰分＝10000戶／8日＝125

乙縣衰分＝9500戶／10日＝95

丙縣衰分＝12350戶／13日＝95

丁縣衰分＝12200戶／20日＝61

已知衰分，就可以運用前已熟悉的衰分術(shù)，很容易地計算出各縣當(dāng)輸?shù)乃跀?shù)和當(dāng)用的車數(shù)了，答曰：“甲縣粟八萬三千一百斛，車三千三百二十四乘。乙縣粟六萬三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘。丙縣粟六萬三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘。丁縣粟四萬五百五十斛，車一千六百二十二乘。”

這只是均輸術(shù)最正經(jīng)的應(yīng)用，事實上，它還可以解決一些不大重要卻很有趣的小問題，例如數(shù)學(xué)史上著名的“鳧雁相逢”問題：

今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今鳧雁俱起，問何日相逢？（均輸章）

鳧即野鴨，雁即大雁，野鴨從南海飛到北海需要七天，大雁從北海飛到南海需要九天。野鴨和大雁同時分別從南海和北海出發(fā)，問多少天可以相遇？

鳧雁相逢

本題雖然簡單，卻包含了均輸術(shù)中的時日、路程、速度等幾乎所有的元素，是典型性非典型題，反映了中國古代在處理與比例分配相關(guān)的分數(shù)運算時的基本思維——“齊同”，化異分母為同分母叫“同其母”，要保持分數(shù)值不變，還必須“齊其子”，母同子齊以后才可以進行加減運算。所以，“鳧雁相逢”的解法是：“并日數(shù)為法，日數(shù)相乘為實，實如法得一日。”也就是說，以各自需要的天數(shù)之和為除數(shù)，以各自需要的天數(shù)之積為被除數(shù)，這樣就得到日數(shù)。答曰：“三日十六分日之十五?！?/p>

今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數(shù)、物價各幾何？（盈不足章）

題目意思是幾人合買一物，每人出錢八塊，則多三塊，是為盈余；每人出錢七塊，則少四塊，是為不足。問人數(shù)和物價各是多少？

這是典型的盈不足問題，自然必須用盈不足術(shù)。盈不足術(shù)跟衰分術(shù)一樣，也是由今有術(shù)衍生而來。由于往往要面對盈和虧兩種情形，需要通過兩次假設(shè)來求得結(jié)果，所以在歐洲又被稱為“雙假位法”，亦譯作“迭借互征”。盈不足術(shù)能處理各種隱而不見、雜亂無章的數(shù)量關(guān)系問題，因此又被譽為“萬能算法”，稱霸數(shù)壇。

《九章算術(shù)》所給出的盈不足術(shù)公式相當(dāng)繁復(fù)啰嗦，反而劉徽的注更為簡捷，在此無暇贅述，還是直奔主題為上。

首先計算人數(shù)。每人兩次出錢，相差為8－7＝1，這是所謂“一人之差”。而“盈不足為眾人之差”，也就是說由于每人兩次出錢都差一點，導(dǎo)致了最后有3個“眾人之差”，大家相差的就是盈余的3塊錢和不足的4塊錢之和，“眾人之差”是7塊錢?！耙砸蝗酥罴s眾人之差，故得人數(shù)也”，以7除以1，即得知人數(shù)是7人。

再來計算物價。每人出錢8塊，買1物，多錢3塊；若買4物，則需出錢8×4＝32塊，多3×4＝12塊。每人出錢7塊，買1物，少錢4塊；若買3物，則需出錢7×3＝21塊，少4×3＝12塊。兩次盈虧等同，可以互相抵消。兩次出錢之和＝8×4＋7×3＝53塊，共計買得4＋3＝7物。前已算得人數(shù)是7人，可知物價是53塊錢。故答曰：“七人，物價五十三?！?/p>

今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆。如各得所不足一綆，皆逮。問井深、綆長各幾何？（方程章）

成語“綆短汲深”，可謂是本題的絕佳寫照。綆即提桶汲水的繩子，這里是說五戶人家共用一口井，各家都有提水的繩子，但都不夠長。甲家的兩條與乙家的一條合起來夠用，乙家的三條和丙家的一條合起來夠用，丙家的四條與丁家的一條合起來夠用，丁家的五條與戊家的一條合起來夠用，戊家的六條與甲家的一條合起來夠用。問井深和各家的繩長？

五家的繩長都是未知，井深亦是未知，如此便有六個未知數(shù)，一般算法當(dāng)真應(yīng)付不來，必得方程術(shù)來大顯身手。題中歷數(shù)了兩戶合用的五種情形，自可相應(yīng)列出五個方程式。假設(shè)五家繩長依次為a、b、c、d、e，井深為h，則有：

2a+b=h?、?/p>

3b+c=h?、?/p>

4c+d=h?、?/p>

5d+e=h?、?/p>

6e+a=h?、?/p>

這是一個多元一次不定方程組，可以有多解，《九章算術(shù)》給出了一組，答曰：“井深七丈二尺一寸，甲綆長二丈六尺五寸，乙綆長一丈九尺一寸，丙綆長一丈四尺八寸，丁綆長一丈二尺九寸，戊綆長七尺六寸?！睗h制七丈二尺相當(dāng)于現(xiàn)今的17米有余，的確是一口超乎尋常的深井，難怪五家的繩子都不夠長。

在方程的運算中，常常會遇到加減正負的問題，這就是所謂的“正負術(shù)”。正負術(shù)曰：“同名相益，異名相除，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之?！边@句口訣里包含了兩個概念——“正數(shù)”和“負數(shù)”?！巴本褪峭?，“異名”就是異號，“相益”表示相加，“相除”表示相減。

今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊。問水深、葭長各幾何？（勾股章）

這是一道很有趣的題，說的是有一個邊長為一丈的方形水池，正中央長著一根蘆葦，露出水面一尺。若將蘆葦稍頭垂直拉到岸邊，頂端恰好與岸齊平。問水有多深？蘆葦有多長？

勾股定理

要解這道題，先需認識勾股定理，而欲認識勾股定理，還得從規(guī)矩說起。規(guī)矩是從古至今常用不衰的畫圖工具，規(guī)以畫圓，矩以畫方。矩就是直角尺，若將三邊連接，就是一個標(biāo)準(zhǔn)的直角三角形。無論是測量面積、體積、容積、高度、廣度、深度，都離不開直角三角形，因此直角三角形三邊長度的關(guān)系式是測量術(shù)的基石。這個關(guān)系式就是大名鼎鼎的勾股定理，西方稱為畢達哥拉斯定理，而在《九章算術(shù)》中則稱為“勾股術(shù)”，其訣曰：“勾股各自乘，并而開方除之，即弦。”直角三角形的兩條直角邊，短者叫勾，長者叫股，另外一條斜邊叫弦。換言之，即是說直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。設(shè)勾為a，股為b，弦為c，則a2+b2＝c2。據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，西周初年的數(shù)學(xué)家商高曾向周公講過“勾三股四弦五”，即32+42＝52，這是勾股定理最著名的特例。

勾股定理是數(shù)學(xué)史上驚心動魄的大發(fā)現(xiàn)，甚至有“故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也”的神話。而在古希臘更引起了一樁謀殺案，當(dāng)時的大數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個定理，并將之?dāng)U大到哲學(xué)領(lǐng)域，提出了“萬物皆數(shù)”（指有理數(shù)）的觀點。他的弟子希伯索斯卻發(fā)現(xiàn)正方形的對角線與邊長不可公度，若正方形邊長為1，則對角線是個無理數(shù)，這當(dāng)然與畢氏學(xué)說相違背。畢達哥拉斯為保住畢氏學(xué)派的統(tǒng)治地位，便殘忍地將希伯索斯扔進了大海。其實，希伯索斯只是顛覆了“萬物皆數(shù)”的觀點，并沒有推翻勾股定理。時至今日，勾股定理仍然是最基本的幾何定理之一。

掌握了勾股定理，要解本題就易如反掌了。《九章算術(shù)》給出的解法是：“半池方自乘，以出水一尺自乘，減之。余，倍出水除之，即得水深。加出水?dāng)?shù)，得葭長?！?/p>

引葭赴岸

設(shè)池邊長一半為a，池深為b，葭長為c

按題意，已知a＝5尺，c-b＝1尺

用勾股定理 a2+b2＝c2，可以得出

水深b＝[a2－(c－b)2]／2(c-b)＝(52－12)／2＝12尺

葭長c＝b＋1＝13尺

故答曰：“水深一丈二尺。葭長一丈三尺?！?/p>

“引葭赴岸”的故事宋代時還流傳到了印度，被印度數(shù)學(xué)家拜斯迦羅本土化為“風(fēng)吹荷花”問題：

湖靜浪平六月天，荷花半尺出水面。

忽來南風(fēng)吹倒蓮，荷花恰在水中淹。

湖面之上不復(fù)見，入秋漁夫始發(fā)現(xiàn)。

落花去根三尺整，試問水深尺若干？

此題顯然與“引葭赴岸”如出一轍，詩中有畫，畫中有題，妙趣橫生。即使不做題，單純欣賞這詩畫中的意境，亦足暢懷。

至此，“九術(shù)”總算一一亮過了身手，但若要修煉得爐火純青，只這般走馬觀花一番，顯然是遠遠不夠的，先得把二百四十六道題全做一遍才是正途。

“獨孤九劍”之所以厲害，在于能克敵致勝，倘若只圖花哨賣弄，遇敵時一觸即潰，又怎配得上“劍魔”的威名？《九章算術(shù)》亦同此理，能真真切切解決現(xiàn)實問題的數(shù)學(xué)，才是活潑潑有生命力的數(shù)學(xué)?！毒耪滤阈g(shù)》所歸納的種種算法，如今看來雖已不再高深，卻依然被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域，非但有功于當(dāng)時，亦且有裨于后世，“圣經(jīng)”之譽，誠不負哉！