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1．引子
在一個百無聊賴的傍晚,你不遠千米的來到水房和3號女生樓之間的必經之路，坐在路旁一把破舊的木椅上,先擺了一個遙望遠方假裝沉思的姿勢,然后借著夕陽的余輝在心里給來來往往的師姐師妹們打分。突然你發(fā)現(xiàn)一個苗條飄逸的身影在向你靠近，隨之而來的還有一道略帶幾分熟悉的注視。當你心里小鹿亂撞，感到受寵若驚的時候，這個身影已經來到了你的面前，你定了定神脫口而出道“二師兄，師父讓你化的緣都化完了嗎？”這不是悖論，這是你的眼鏡又該換了。
那么,什么是悖論? Good
Question，讓我再給你一個場景。
作為為數(shù)不多的平民代表，你站在你們系富二代同學家豪宅里正在進行的party現(xiàn)場，當然這個邀請只是富二代同學為即將到來的期末考試做的準備之一，party的主題是我有錢所以想怎么花就怎么花。在喧鬧的音樂聲中，你驚喜的發(fā)現(xiàn)一直暗戀的她一個人靜靜的坐在角落，然后你猛喝兩口杯子里不知名的洋酒，借著酒精的力量走到她面前，試圖用一句“hi，同學你好?！贝虼┠堑揽床灰姷膲?。或許是朦朧的燈光增添了你五官的精致；或許是獨坐的寂寞提升了她交流的渴望；再或許是酒精的作用賜給了你們彼此力量，這個never
work的開場白迅速開啟了一段略帶曖昧的對白。正當你沉醉于艷遇的快感，已經忘了自己的配角身份時，你的富二代同學從天而降，一手搭著你的肩，一邊對她說“他跟你說的關于我的一切都是假的。”雖然你們沒有說起一句關于他的話，但是很顯然她的目光已經被他自信而略帶挑逗的臉龐所吸引。
怎么回應才能從新奪回她的注意力呢？你此時心里最想的應該是一拳將你的富二代同學打到在地，然后一只腳踏在他身上說“你最好別碰我的妞?！钡悄悴荒苓@么做，因為你所受過的教育告訴你打人是不對的，你也有可能因為出手而失去“優(yōu)秀學生干部”的稱號，更重要的是你的富二代同學雖然頭腦簡單，但是四肢發(fā)達，身為?；@球隊主力小前鋒的他比你高出20公分，重了40斤，在身后的音樂聲中搖擺著的還有他幾個鐵桿隊友，出手的結果很可能是你自己躺著出去。
當然你也可以列舉最近被他甩了的一系列女友作為回擊，這不僅正中他的圈套，而且古語有云“飛蛾撲火，”在沒有被燒死之前，誰都想成為第一個馴服這團火的人，所以這很有可能是幫倒忙；就算她能懸崖勒馬，你也最多得到一句“你真是一個好人”的獎勵，然后就是形同陌路，仿佛從沒有見過。為了一個追不到的妞，毀了你和富二代的關系，有點得不償失。
好了，讓我公布最佳答案，你回應“他說的這句話是真的。”
再讓我們來分析一下得獎理由---這兩句話的邏輯關系。富二代說，“今天你說的關于他的一切都是假的”，你說“他說的這句話是真的?！奔僭O富二代說的是真話，那你的這句話也是假的，從而得出他說的是假話的結論；而假設富二代說的是假話，因為今天你只說了這一句關于他的話，所以這句話是真的，也就是說他說的這句是真話。不管你假設他的話邏輯上是真還是假總能通過邏輯推理得出矛盾的結論,這就是一個悖論。
在你得意洋洋的等待著她投來欣賞的目光時，最有可能的結局是她和富二代移步到樓上的臥室進一步交流，而你呆呆地站在原地望著他們離去的背影，并不停地在心里默念“不懂悖論的女孩不是好女孩”然后沖著他們的背影喊道“我真心祝你們幸福，”隨著這句謊言,這個悖論也和她一起消失在樓梯的拐角處。(why？還請讀者自行推理)
2.芝諾悖論
悖論的故事可以追溯到公元前的古希臘時代,埃利亞學派的數(shù)學家芝諾就曾經有一系列的關于運動的悖論，被稱為芝諾悖論（謝謝網友的提醒，此芝諾非畫廊學派的芝諾，此前被我搞混了）。芝諾悖論雖然并不是一個悖論，但是它們都以描述運動的方式來揭示有限長度與無窮可分之間的矛盾。比如說有一個長度為一的線段，你可以把它等分成兩個長度為二分之一的線段，然后再把每一段等分成長度為四分之一的線段，然后再等分，再等分，不論現(xiàn)有的每一段線段的長度是多么的小，你都可以一直繼續(xù)下去，直到無窮，而且我們知道每一段線段長度的極限是0。套用微積分的語言是，任給ε>0，存在一個對應的正整數(shù)N，使得當分割的次數(shù)大于N的時候，每一段線段的長度都小于ε。好像也沒什么矛盾，先讓我們把這個問題放下，來看看芝諾悖論之一的阿基里斯和烏龜?shù)你Ｕ??？紤]到阿基里斯的知名度，我這里給出的是變異版---劉翔和烏龜?shù)你Ｕ摚窍矚g博爾特，把烏龜換成博爾特也行。
假設烏龜不是普通烏龜而是忍著神龜，劉翔也不是正常的劉翔，而是受了傷的劉翔，他們兩個站在跑道上比賽
，因為劉翔帶傷，所以烏龜讓劉翔100米。說烏龜不會跨欄的同學請注意，第一這是忍著神龜，第二這次沒欄。假設烏龜?shù)乃俣仁莿⑾璧氖?，那么當烏龜跑到劉翔出發(fā)點的時候，劉翔已經跑出去10米，等烏龜跑完這10米到達劉翔第二個出發(fā)點的時候，劉翔又跑出去一米，當烏龜跑完這一米時，劉翔又已經跑出十分之一米，烏龜要想追上劉翔，必須要先經過他的某個出發(fā)點，可是當烏龜?shù)竭_這個出發(fā)點的時候，劉翔又已經離開了這個點，所以不管烏龜多么的快，永遠不可能追上帶傷的劉翔。
生活的經驗告訴我們，只要跑道夠長，速度快的選手總可以追上速度慢的選手，而且所需時間我們也可以簡單的用起始的距離除以速度差求得，但是想要指出上面悖論里的問題并不是一件容易的事。為此數(shù)學家們用了超過一千年的時間才徹底的完全的解決了它。在給出解釋之前，我想回到等分線段的問題，讓我們看看有什么矛盾可能出現(xiàn)。
首先，我要問大家一個問題：0+0等于幾？答案不是0的同學請自行面壁兩分鐘。再追問：一百個零相加呢？答案不是0的同學請自行面壁一百分鐘。一千個呢？一百萬個呢？答案不是零的同學請自行面壁相應時間。最后一個問題，無窮多個零相加呢？這次答錯的同學只能有緣來生再聚了：P。這次是開玩笑的，實際上答錯的同學有一點很可取，就是想到了無限和有限的區(qū)別。不過再多的零相加還是零。
第二，我們等分線段無窮多次，每一段的長度是多少呢？非常接近于0，要多近有多近，但是不是0呢?
讓我們把所有線段的長度加在一起，答案是多少？1，因為最初的線段長為1。如果每段線段長度是0，那么就有問題了，因為無窮多個0相加還是0，所以每段線段長度不是零，有一個專用的數(shù)學名詞稱呼它，無窮小。無窮小和零要多近就有多近，但是它們不一樣，有些時候，它們的區(qū)別太過細微，以至于我們不用去區(qū)別，但這不意味著它們是相同的。問題還沒有結束，無窮個無窮小相加是多少呢？（因為是線段長度，我們只考慮正無窮?。┗卮馂?的同學顯然記住了這個例子，但是如果滿分是1分，我只能給你1除以無窮大也就是無窮小分，因為答案有無窮多個。假設開始的時候我們等分長度為2的線段，無窮次等分之后是不是每一段的長度都是無窮小？再把它們相加得到的是原始長度2。如果最初線段長度是e呢？所以無窮個正無窮小相加可以是任何正實數(shù)。說的我好累，也不能讓你們閑著，來兩道作業(yè)題吧，請大家踴躍發(fā)言。
（1） 無窮個無窮小相加可以是0嗎？
（2） 無窮個無窮小相加可以是正無窮嗎？
【本段非數(shù)學專業(yè)可以忽略】說到這，我想到一個定理，與這個例子并不相同，但我感覺有著異曲同工之妙，就是任給一個實數(shù)r，任何一個條件收斂級數(shù)都有一個重排（Rearrangement）收斂到r。一個典型的例子就是交錯調和級數(shù)（Alternating
harmonic series）。
現(xiàn)在再回到劉翔-烏龜悖論。假設烏龜?shù)乃俣仁?0米/秒，劉翔的速度是1米/秒，開始的距離是100米，那么烏龜要用100/(10-1)=100/9秒的時間追上劉翔，在我們的悖論中，烏龜需要100/10=10秒到達劉翔的第一個起點，10/10=1秒到達劉翔第二個起點，1/10=0.1秒到達第三個起點，0.01秒到達第四個起點，10^（-n）秒到達第n+2個起點……，把這些時間相加
10+1+1/10+0.1/10+0.01/10+……=11.1111……=100/9
這是一個非常簡單的幾何級數(shù)（Geometric
series）,小學奧校詞匯是等比數(shù)列的和。因為比值是1/10，我們甚至都不用公式就可以得到無限循環(huán)的小數(shù)解，分數(shù)是一模一樣的答案100/9秒。既然兩種方法得出的答案一樣，那問題出在哪兒？如果你意識到左邊的級數(shù)是一個無窮級數(shù)的話，芝諾把一個有限的數(shù)100/9分成了無窮多個數(shù)的和，也就是把一個時間段100/9秒分成了無窮多個時間小段，第一段長10秒，第二段長1秒，第三段0.1秒……，這個無限的過程仿佛讓時間也擴展的無限，但是回到數(shù)學問題，就是一個收斂的幾何級數(shù)而已。
3.辛普森（Simpson’s paradox）悖論
1951年，這個悖論第一次正式出現(xiàn)于論文當中，并得名于第一個將它正式描述的人---英國統(tǒng)計學家E.H辛普森。這是一個簡單而有趣的悖論，我本人對統(tǒng)計知之甚少，但是這個悖論卻深深的留在了我的記憶里。
假設有兩個籃球運動員，為了不得罪任何球迷，一個是叫做科比·詹姆斯，簡記為KJ，另一個是勒布朗·布萊恩特，簡記為LB。假設在本賽季,他們都出手了1000次，KJ命中538球，而LB命中497球，那么你認為誰投的更準些呢？我知道這一道看起來非常弱智的問題，KJ命中率是53.8%，而LB是49.7%，這不顯而易見嗎？但是此事另有蹊蹺，還聽我慢慢道來。
我們知道在籃球比賽中除罰球外有兩種投籃得分，二分球和三分球，如果我告訴你，LB雖然總命中率低于KJ，但是二分和三分都比KJ投的準你相信嗎？不信？那就讓數(shù)據(jù)說話，請見下表。
可以看到LB不管是二分球還是三分球的命中率都高于KJ，但是總命中率卻低于KJ，究其原因是LB更多選擇投籃難度大的三分球，而KJ更多打到籃下，得分更容易些。如果不考慮投中加罰和殺入內線造成的殺傷，LB通過投籃得了1329分而KJ只得到1115分，僅就投籃而言誰好誰壞不言而喻。
辛普森悖論在現(xiàn)實生活中發(fā)生的幾率并不高,但是一旦發(fā)生猶如足球中的反判與真相完全是背道而馳。個人認為辛普森悖論的人文意義大于數(shù)學意義,一方面比較兩個人的時候不能只關注完成某些事情的數(shù)量和成功率,還要考慮完成的質量和難度,甚至是失敗的次數(shù)。人一生當中最難的動作就是超越自我，能夠勇于去挑戰(zhàn)的人也許會一次次失敗但依然值得尊敬。另一方面，每個人都要理解現(xiàn)存于社會的游戲規(guī)則在很多時候會用簡單地量的比較作為評判標準,這個規(guī)則不一定是最科學的,但卻是最有效的。如果你選擇去走一條超高難度的路，你就要做好不被認可的準備，好比兩個人大學畢業(yè)都從事數(shù)學研究，一個人的目標就是不用計算機證明四色原理，另一個就是盡一切可能的發(fā)文章，數(shù)十年過后，第一個人可能貌似一事無成，第二個人可能已經著作等身，頭頂光壞。我不覺得這兩種做法存在好壞之分，只是人生態(tài)度的不同，但是還有一句話叫做“態(tài)度決定一切”，你可以選擇你的態(tài)度，你也要為你的態(tài)度帶來的一切買單。
4.理發(fā)師悖論
理發(fā)師悖論被廣泛的應用于開發(fā)少年兒童的智力上,也是我所知道的最早的一個悖論。故事是這樣的，從前有個村，村里有座廟，廟里有個老和尚給別人刮胡子,刮的誰的胡子呢,村里所有不給自己刮胡子的人胡子，而且只給這些人刮。問題是這樣的，老和尚要不要給自己刮胡子？如果他給自己刮，那么他就是給自己刮胡子的人，他就不該給自己刮；如果他不給自己刮，那他就是不給自己刮胡子的人，他就應該給自己刮。這個悖論的產生和引子里的故事如出一轍，都是通過邏輯推理自相矛盾。
理發(fā)師悖論只是羅素用于比喻羅素悖論的一個通俗的說法，我們可以自己創(chuàng)造出很多這樣的例子。本章我不打算解釋羅素悖論，因為羅素會作為某章的主人公稍后出現(xiàn)，而在他之前，我們還需要另外一位數(shù)學家---康托爾去開創(chuàng)集合論。集合的概念基本上被用于數(shù)學各個分支，而羅素悖論就動搖了這個基石，從而引發(fā)了數(shù)學史上的第三次危機。對政治來說自相矛盾也許是人之常情，但是對于從公理出發(fā)，以嚴謹推導而著稱的數(shù)學來說，基石的毀滅將會引起整個數(shù)學大廈的傾覆。
最后讓我用一個一句話的悖論來作為本章的結束語---“我在說謊！”
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