專題十六　橢圓、雙曲線、拋物線

1．已知雙曲線－＝1的右焦點與拋物線y²＝12x的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.  B．4   C．3  D．5

答案： A　[易求得拋物線y²＝12x的焦點為(3,0)，故雙曲線－＝1的右焦點為(3,0)，即c＝3，故3²＝4＋b²，∴b²＝5，

∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x，∴雙曲線的右焦點到其漸近線的距離為＝.]

2．等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y²＝16x的準線交于A，B兩點，|AB|＝4 ，則C的實軸長為(　　)．

A.  B．2   C．4  D．8

答案：C　[拋物線y²＝16x的準線方程是x＝－4，所以點A(－4，2 )在等軸雙曲線C；x²－y²＝a²(a＞0)上，將點A的坐標代入得a＝2，所以C的實軸長為4.]

3．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為.雙曲線x²－y²＝1的漸近線與橢圓C有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為(　　)．[來源:學|科|網(wǎng)Z|X|X|K]

A.＋＝1                B.＋＝1

C.＋＝1               D.＋＝1

答案：D　[因為橢圓的離心率為，所以e＝＝，c²＝a²，c²＝a²＝a²－b²，所以b²＝a²，即a²＝4b².雙曲線的漸近線方程為y＝±x，代入橢圓方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x²＝b²，x＝±b，y²＝b²，y＝±b，則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點坐標為，所以四邊形的面積為4×b×b＝b²＝16，所以b²＝5，所以橢圓方程為＋＝1.]

4．在直角坐標系xOy中，直線l過拋物線y²＝4x的焦點F，且與該拋物線相交于A，B兩點，其中點A在x軸上方，若直線l的傾斜角為60°，則△OAF的面積為________．

解析　直線l的方程為y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入拋物線方程得y²－y－4＝0，解得y_A＝＝2 (y_B＜0，舍去)，故△OAF的面積為×1×2 ＝.[來源:Zxxk.Com]

答案　

圓錐曲線與方程是高考考查的核心內(nèi)容之一，在高考中一般有1～2個選擇或者填空題，一個解答題．選擇或者填空題有針對性地考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程和簡單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，主要針對圓錐曲線本身，綜合性較小，試題的難度一般不大；解答題主要是以橢圓為基本依托，考查橢圓方程的求解、考查直線與曲線的位置關(guān)系．

復(fù)習中，一要熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的基礎(chǔ)知識、基本方法，在抓住通性通法的同時，要訓練利用代數(shù)方法解決幾何問題的運算技巧．

二要熟悉圓錐曲線的幾何性質(zhì)，重點掌握直線與圓錐曲線相關(guān)問題的基本求解方法與策略，提高運用函數(shù)與方程思想，向量與導(dǎo)數(shù)的方法來解決問題的能力.

必備知識

橢圓＋＝1(a＞b＞0)，點P(x，y)在橢圓上．

(1)離心率：e＝＝；

(2)過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑，其長度為：.

雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)，點P(x，y)在雙曲線上．

(1)離心率：e＝＝；

(2)過焦點且垂直于實軸的弦叫通徑，其長度為：.

拋物線y²＝2px(p＞0)，點C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)在拋物線上．

(1)焦半徑|CF|＝x₁＋；

(2)過焦點弦長|CD|＝x₁＋＋x₂＋＝x₁＋x₂＋p，|CD|＝(其中α為傾斜角)，＋＝；

(3)x₁x₂＝，y₁y₂＝－p²；

(4)以拋物線上的點為圓心，焦半徑為半徑的圓必與準線相切，以拋物線焦點弦為直徑的圓，必與準線相切．

必備方法

1．求圓錐曲線標準方程常用的方法

(1)定義法

(2)待定系數(shù)法

①頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線，可設(shè)為y²＝2ax或x²＝2ay(a≠0)，避開對焦點在哪個半軸上的分類討論，此時a不具有p的幾何意義．

②中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，橢圓方程可設(shè)為＋＝1(m＞0，n＞0)．

雙曲線方程可設(shè)為－＝1(mn＞0)．

這樣可以避免討論和繁瑣的計算．

2．求軌跡方程的常用方法

(1)直接法：將幾何關(guān)系直接轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程．

(2)定義法：滿足的條件恰適合某已知曲線的定義，用待定系數(shù)法求方程．

(3)代入法：把所求動點的坐標與已知動點的坐標建立聯(lián)系．

(4)交軌法：寫出兩條動直線的方程直接消參，求得兩條動直線交點的軌跡．

注意：①建系要符合最優(yōu)化原則；②求軌跡與“求軌跡方程”不同，軌跡通常指的是圖形，而軌跡方程則是代數(shù)表達式；③化簡是否同解變形，是否滿足題意，驗證特殊點是否成立等.

圓錐曲線的定義是圓錐曲線問題的根本，利用圓錐曲線的定義解題是高考考查圓錐曲線的一個重要命題點，在歷年的高考試題中曾多次出現(xiàn)．需熟練掌握．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例1】? 已知橢圓＋＝1與雙曲線－y²＝1的公共焦點F₁，F₂，點P是兩曲線的一個公共點，則cos∠F₁PF₂的值為(　　)．

A.  B.  C.  D.

[審題視點] 　

　

[聽課記錄]

[審題視點] 結(jié)合橢圓、雙曲線的定義及余弦定理可求．

B　[因點P在橢圓上又在雙曲線上，所以|PF₁|＋|PF₂|＝2 ，

|PF₁|－|PF₂|＝2 .

設(shè)|PF₁|＞|PF₂|，解得|PF₁|＝＋，|PF₂|＝－，

由余弦定理得cos∠F₁PF₂＝

＝＝.]

 涉及橢圓、雙曲線上的點到兩焦點的距離問題時，要自覺地運用橢圓、雙曲線的定義．涉及拋物線上的點到焦點的距離時，常利用定義轉(zhuǎn)化到拋物線的準線的距離．

【突破訓練1】 如圖過拋物線y²＝2px(p＞0)的焦點的直線l依次交拋物線及其準線與點A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程是________．

解析　

作BM⊥l，AQ⊥l，垂足分別為M、Q.則由拋物線定義得，|AQ|＝|AF|＝3，|BF|＝|BM|.又|BC|＝2|BF|，所以|BC|＝2|BM|.由BM∥AQ得，|AC|＝2|AQ|＝6，|CF|＝3.∴|NF|＝|CF|＝.

即p＝.拋物線方程為y²＝3x.

答案　y²＝3x

圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)是圓錐曲線的重點內(nèi)容，主要考查橢圓與雙曲線的離心率的求解、雙曲線的漸近線方程的求解，難度中檔．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例2】以O為中心，F₁，F₂為兩個焦點的橢圓上存在一點M，滿足||＝2||＝2||，則該橢圓的離心率為(　　)．

A.  B.  C.  D.

[審題視點] 　

　

[聽課記錄]

[審題視點] 作MN⊥x軸，結(jié)合勾股定理可求c，利用橢圓定義可求a.

C　[過M作x軸的垂線，交x軸于N點，則N點坐標為，并設(shè)||＝2||＝2||＝2t，根據(jù)勾股定理可知，||²－||²＝||²－||²，得到c＝t，而a＝，則e＝＝，故選C.]

 離心率的范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a，b，c的不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到關(guān)于a，c的不等式，由這個不等式確定e的范圍．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【突破訓練2】 設(shè)拋物線y²＝2px(p＞0)的焦點為F，點A(0,2)．若線段FA的中點B在拋物線上，則B到該拋物線準線的距離為________．

解析　拋物線的焦點F的坐標為，線段FA的中點B的坐標為代入拋物線方程得1＝2p×，解得p＝，故點B的坐標為，故點B到該拋物線準線的距離為＋＝.

答案　

軌跡問題的考查往往與函數(shù)、方程、向量、平面幾何等知識相融合，著重考查分析問題、解決問題的能力，對邏輯思維能力、運算能力也有一定的要求．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例3】在平面直角坐標系xOy中，點P(a，b)(a>b>0)為動點，F₁，F₂分別為橢圓＋＝1的左、右焦點．已知△F₁PF₂為等腰三角形．

(1)求橢圓的離心率e；

(2)設(shè)直線PF₂與橢圓相交于A，B兩點，M是直線PF₂上的點，滿足A·B＝－2，求點M的軌跡方程．

[審題視點] 　

　

[聽課記錄]

[審題視點] (1)根據(jù)|PF₂|＝|F₁F₂|建立關(guān)于a與c的方程式．

(2)可解出A、B兩點坐標(用c表示)，利用·＝－2可求解．

解　(1)設(shè)F₁(－c,0)，F₂(c,0)(c>0)．

由題意可得|PF₂|＝|F₁F₂|，即＝2c.

整理得2²＋－1＝0，

得＝或＝－1(舍)，所以e＝.

(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得橢圓方程為3x²＋4y²＝12c²，

直線PF₂方程為y＝(x－c)．

A，B兩點的坐標滿足方程組

消去y并整理，得5x²－8cx＝0，解得x₁＝0，x₂＝c，得方程組的解

不妨設(shè)A，B.

設(shè)點M的坐標為(x，y)，則A＝，

B＝(x，y＋c)．由y＝(x－c)，得c＝x－y.

于是A＝，

B＝(x，x)．由題意知A·B＝－2，即

·x＋·x＝－2，

化簡得18x²－16xy－15＝0.

將y＝代入c＝x－y，得c＝>0，

所以x>0.

因此，點M的軌跡方程是18x²－16xy－15＝0(x>0)．

 (1)求軌跡方程時，先看軌跡的形狀能否預(yù)知，若能預(yù)先知道軌跡為何種圓錐曲線，則可考慮用定義法求解或用待定系數(shù)法求解．

(2)討論軌跡方程的解與軌跡上的點是否對應(yīng)，要注意字母的取值范圍．

【突破訓練3】如圖，動點M與兩定點A(－1,0)、B(2,0)構(gòu)成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB.設(shè)動點M的軌跡為C.

(1)求軌跡C的方程；

(2)設(shè)直線y＝－2x＋m與y軸相交于點P，與軌跡C相交于點Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范圍．

解　(1)設(shè)M的坐標為(x，y)，顯然有x＞0，且y≠0.

當∠MBA＝90°時，點M的坐標為(2，±3)．

當∠MBA≠90°時，x≠2，且∠MBA＝2∠MAB，

有tan∠MBA＝，即－＝，

化簡可得3x²－y²－3＝0.

而點(2，±3)在曲線3x²－y²－3＝0上，

綜上可知，軌跡C的方程為3x²－y²－3＝0(x＞1)．

(2)由消去y，可得

x²－4mx＋m²＋3＝0.(*)

由題意，方程(*)有兩根且均在(1，＋∞)內(nèi)．

設(shè)f(x)＝x²－4mx＋m²＋3，

所以解得m＞1，且m≠2.

設(shè)Q、R的坐標分別為(x_Q，y_Q)，(x_R，y_R)，

由|PQ|＜|PR|有x_R＝2m＋，x_Q＝2m－.

所以＝＝＝

＝－1＋.

由m＞1，且m≠2，有1＜－1＋＜7＋4 ，且－1＋≠7.所以的取值范圍是(1,7)∪(7,7＋4 )．

在高考中，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是熱點，通常圍繞弦長、面積、定點(定值)，范圍問題來展開，其中設(shè)而不求的思想是處理相交問題的最基本方法，試題難度較大．

【例4】? 已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，過右焦點F的直線l與C相交于A，B兩點．當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為.

(1)求a，b的值；

(2)C上是否存在點P，使得當l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由．

[審題視點] 　

　

[聽課記錄]

[審題視點] (1)由直線l的斜率為1過焦點F，原點O到l的距離為可求解；(2)需分直線l的斜率存在或不存在兩種情況討論．設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由條件＝＋可得P點坐標，結(jié)合A、B、P在橢圓上列等式消元求解．

解　(1)設(shè)F(c,0)，當l的斜率為1時，其方程為x－y－c＝0，O到l的距離為＝，故＝，c＝1.

由e＝＝，得a＝，b＝＝ .

(2)C上存在點P，使得當l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有＝＋成立．由(1)知C的方程為2x²＋3y²＝6.設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

(i)當l不垂直于x軸時，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)．

C上的點P使＝＋成立的充要條件是P點的坐標為(x₁＋x₂，y₁＋y₂)，且2(x₁＋x₂)²＋3(y₁＋y₂)²＝6，

整理得2x＋3y＋2x＋3y＋4x₁x₂＋6y₁y₂＝6，

又A、B在橢圓C上，即2x＋3y＝6,2x＋3y＝6，

故2x₁x₂＋3y₁y₂＋3＝0.①

將y＝k(x－1)代入2x²＋3y²＝6，并化簡得

(2＋3k²)x²－6k²x＋3k²－6＝0，

于是x₁＋x₂＝，x₁·x₂＝，

y₁·y₂＝k²(x₁－1)(x₂－1)＝.

代入①解得k²＝2，此時x₁＋x₂＝.

于是y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂－2)＝－，即P.

因此，當k＝－ 時，P，l的方程為x＋y－ ＝0；

當k＝時，P，l的方程為x－y－＝0.

(ⅱ)當l垂直于x軸時，由＋＝(2,0)知，C上不存在點P使＝＋成立．綜上，C上存在點P使＝＋成立，此時l的方程為x±y－＝0.

 本小題主要考查直線、橢圓、分類討論等基礎(chǔ)知識，考查學生綜合運用數(shù)學知識進行推理的運算能力和解決問題的能力．此題的第(2)問以向量形式引進條件，利用向量的坐標運算，將“形”、“數(shù)”緊密聯(lián)系在一起，既發(fā)揮了向量的工具性作用，也讓學生明白根與系數(shù)的關(guān)系是解決直線與圓錐曲線問題的通性通法．

【突破訓練4】 設(shè)橢圓E：＋＝1(a，b＞0)過點M(2，)，N(，1)兩點，O為坐標原點．

(1)求橢圓E的方程；

(2)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且⊥？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由．

解　(1)將M，N的坐標代入橢圓E的方程得

解得a²＝8，b²＝4.

所以橢圓E的方程為＋＝1.

(2)假設(shè)滿足題意的圓存在，其方程為x²＋y²＝R²，其中0＜R＜2.

設(shè)該圓的任意一條切線AB和橢圓E交于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)兩點，當直線AB的斜率存在時，令直線AB的方程為y＝kx＋m，①

將其代入橢圓E的方程并整理得(2k²＋1)x²＋4kmx＋2m²－8＝0.

由方程根與系數(shù)的關(guān)系得

x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝.②

因為⊥，所以x₁x₂＋y₁y₂＝0.③

將①代入③并整理得(1＋k²)x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²＝0.

聯(lián)立②得m²＝(1＋k²)．④

因為直線AB和圓相切，因此R＝.

由④得R＝，所以存在圓x²＋y²＝滿足題意．

當切線AB的斜率不存在時，易得x＝x＝，

由橢圓E的方程得y＝y＝，顯然⊥.

綜上所述，存在圓x²＋y²＝滿足題意．

講講離心率的故事

橢圓、雙曲線的離心率是一個重要的基本量，在橢圓中或在雙曲線中都有著極其特殊的應(yīng)用，也是高考常考的問題，通常有兩類：一是求橢圓和雙曲線的離心率的值；二是求橢圓和雙曲線離心率的取值范圍．

一、以離心率為“中介”

【示例1】? (2012·湖北)如圖，雙曲線－＝1(a，b＞0)的兩頂點為A₁，A₂，虛軸兩端點為B₁，B₂，兩焦點為F₁，F₂.若以A₁A₂為直徑的圓內(nèi)切于菱形F₁B₁F₂B₂，切點分別為A，B，C，D.則

(1)雙曲線的離心率e＝________；

(2)菱形F₁B₁F₂B₂的面積S₁與矩形ABCD的面積S₂的比值＝________.

解析　(1)由題意可得a ＝bc，∴a⁴－3a²c²＋c⁴＝0，∴e⁴－3e²＋1＝0，∴e²＝，∴e＝.

(2)設(shè)sin θ＝，cos θ＝，＝＝＝＝e²－＝.

答案　(1)　(2)

老師叮嚀：離心率是“溝通”a，b，c的重要中介之一，本題在產(chǎn)生關(guān)于a，b，c的關(guān)系式后，再將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程，通過方程產(chǎn)生結(jié)論.

【試一試1】A，B是雙曲線C的兩個頂點，直線l與雙曲線C交于不同的兩點P，Q，且與實軸垂直，若·＝0，則雙曲線C的離心率e＝________.

解析　不妨設(shè)雙曲線C的方程－＝1(a＞0，b＞0)，則A(－a,0)，B(a,0)．設(shè)P(x，y)，Q(x，－y)，

所以＝(a－x，－y)，＝(x＋a，－y)，

由·＝0，得a²－x²＋y²＝0.

又－＝1，所以－＝1，

即y²＝0恒成立，所以－＝0.[來源:學科網(wǎng)]

即a²＝b²，所以2a²＝c².從而e＝.

答案　[來源:學科網(wǎng)]

二、離心率的“外交術(shù)”

【示例2】已知c是橢圓＋＝1(a ＞b＞0)的半焦距，則的取值范圍是(　　)．

A．(1，＋∞)             B．(，＋∞)[來源:學,科,網(wǎng)]

C．(1，)                D．(1， ]

解析　由＝＝＋e，又0＜e＜1，設(shè)f(x)＝＋x,0＜x＜1，則f′(x)＝1－＝.令y′＝0，得x＝，則f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴f(x)_max＝＋＝，f(0)＝1，f(1)＝1.∴1＜f(x)≤，故1＜≤.

答案　D

老師叮嚀：離心率“外交”在于它可以較好地與其他知識交匯，本題中，如何求\f(b＋c,a)的取值范圍？結(jié)合離心率及關(guān)系式a²＝b²＋c²，將待求式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的函數(shù)關(guān)系式，借助函數(shù)的定義域(即e的范圍)產(chǎn)生函數(shù)的值域，從而完成求解.

【試一試2】 (2012·江蘇)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線－＝1的離心率為，則m的值為________．

解析　由題意得m＞0，∴a＝，b＝.

∴c＝，由e＝＝，得＝5，解得m＝2.

答案　2