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數(shù)學(xué)高考10招（2） 就地取材 無中生有 ●計名釋義 這一招是專門對付開放題的. 開放題有兩種類型：一是開放條件；二是開放結(jié)論. 條件開放的試題，結(jié)論明確、解題方向清楚，但條件不足，也就是條件不充分，屬于“必要不充分”的題型，我們的任務(wù)是補充能使結(jié)論成立的充分條件. 反之，結(jié)論開放的試題，條件充分，但結(jié)論不明確.我們的任務(wù)則是補充必要條件. ●典例示計 【例1】以下是武漢市某次高中調(diào)考中的一道數(shù)列題： 等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若（a1+a3）2=9，an＜0（n∈N），則S10等于（ ）  這道題從正面解，你會發(fā)現(xiàn)無論走哪條路，都“差條件”，陷入欲進不得，欲罷不忍的困境.可是，你是否想到，也可以把選項作條件來用呢？  本解使用的，正是“就地取材”的計策.如果你感到題干中的“條件不夠”，陷入“山窮水復(fù)疑無路”的困境，不妨在選項中就地發(fā)現(xiàn)“柳暗花明又一村”. 那么，什么又是“無中生有”呢？請看 【例2】如圖，OM∥AB，點P在由射線OM，線段OB幾AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），且OP=x0A+yOB，則實數(shù)對（x，y）可以是 （ ）   【例3】如圖，OM∥AB，點P在由射線OM，線段OB幾AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），且OP=x0A+yOB，則x的取值范圍是
 【評注】咋一看湖南這兩道題，的確有“樹高蔭深，叫樵夫難以下手”之感。因為僅憑現(xiàn)有圖形，是無論如何也難以找到正確答案的。唯一可行之路，就是“無中生有”了，于是筆者按要求隨意畫一條向量（即解圖中的OP）試試看，又想到關(guān)于向量的問題多能用平移解決，在作出平行線PA1后，已是豁然開朗，成竹在胸了.這難道不是“無中生有”的神奇麼？  【例4】如圖所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中， E、F、G、H分別是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中點，N是BC 中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M只要滿足條件 時，就有MN∥平面B1BDD1（請?zhí)钌夏阏J為正確的一 個條件即可，不必考慮全部可能情況）. 【思考】顯然HN∥BD，即得HN∥平面B1BDD1， 為使點M在平面EFGH內(nèi)運動時總有B1BDD1∥MN,只需過HN 作平面，使之平行于平面在平面B1BDD1,將線面平行的問題轉(zhuǎn)化  為面面平行的問題. 【解析】連FH，當(dāng)點M在HF上運動時，恒有 MN∥平面B1BDD1證明如下：連 NH ，HF，BD，B1D1， 且平面NHF交B1C1于P.則NH ∥BD，HF∥BB1，故 平面PNHF∥平面BB1D1D.MN ∴MN∥平面B1BDD1 【例5】 知F(x)是二次項系數(shù)為負數(shù)的二次函數(shù)， 且對于任何x∈R,f(2－x)=f(2+x)總成立，問f(1－2x2)與 f(1+2x－x2)滿足什么條件時，才能使－2<x<0成立. 【思考】 根據(jù)已知條件很容易得到f(x)是開口向下且對稱軸為x=2的二次函數(shù)，然后可通過函數(shù)單調(diào)區(qū)間進行分類討論. 【解答】 由題設(shè)知：函數(shù)f(x)的圖象是開口向下且對稱軸為直線x=2的拋物線.  當(dāng)f(1－2x2)<f(1+2x－x2)時，1－2x2<1+2x－x2,
即x2+2x>0,解得x<－2或x>0,不能使－2<x<0成立. 當(dāng)f(1－2x2)>f(1+2x－x2)時，1－2x2>1+2x－x2, 即x2+2x<0,解得－2<x<0,符合題意，當(dāng)f(1－2x2)=f(1+2x－x2)時， 可得x=－2或0,不能使－2<x<0成立. ∴當(dāng)f(1－2x2)>f(1+2x－x2)時，才能使－2<x<0成立. 【例1】 能否構(gòu)造一個等比數(shù)列{an}，使其同時滿足三個條件：①a1+a6=11;②a3a4=32/9;③至少存在一個自然數(shù)m,使 依次成等差數(shù)列.若能，請寫出這個數(shù)列的通項公式. 化簡得： 4(26－m)2－11·26－m－8=0,這里Δ=112+16×8=249不是完全平方數(shù).∴符合條件的m不存在. 綜上所述，能構(gòu)造出滿足條件①，②，③的等比數(shù)列，該自然數(shù)m=3,數(shù)列的通項公式為： 【例6】 將二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c對應(yīng)于一次函數(shù)g(x)=2ax+b. （1）求f(x)=x2+2x+1對應(yīng)的一次函數(shù)g(x). （2）觀察后請寫出這個對應(yīng)法則. （3）可以用g(x)的某些性質(zhì)來研究f(x)的性質(zhì)：當(dāng)g(x)>0時，對應(yīng)的f(x)的性質(zhì)有哪些？ （4）你還能研究另外的某些性質(zhì)嗎？ （5）設(shè)g(x)=x，寫出與g(x)對應(yīng)的f(x)的三個不同的解析式. 【思考】 本例是結(jié)論開放型試題，解題時要求根據(jù)已知條件將結(jié)論（必要條件）補充完整.f(x)與g(x)是什么關(guān)系？我們?nèi)菀子?/span>f′(x)=2ax+b,知f′(x)=g(x),可見，只有當(dāng)g(x)=f′(x)時，才有可能用g(x)的性質(zhì)來研究f(x)的某些性質(zhì). 【解答】 (1)∵a=1,b=2，∴g(x)=2x+2. （2）①g(x)的一次項系數(shù)是f(x)的二次項系數(shù)與其次數(shù)的積； ②g(x)的常數(shù)項等于f(x)的一次項系數(shù).
(3)g(x)>0，即2ax+b>0,當(dāng)a>0時，x>－b/2a,而x=－b/2a是f(x)的對稱軸，故這時f(x)是單調(diào)增函數(shù)；a<0時,x<－b/2a,f(x)仍為單調(diào) 【小結(jié)】 指導(dǎo)開放題解法的理論依據(jù)是充分必要條件，即若A
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