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陶行知指出：“教”的法子要根據(jù)“學(xué)”的法子。學(xué)生是有自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式與特征的，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重新認(rèn)識(shí)，不僅能促進(jìn)教學(xué)行為的改善，“學(xué)”與“教”品質(zhì)的提升，還能促進(jìn)教師教學(xué)觀念的重建。 我們所面對(duì)的學(xué)生，并非是“一無(wú)所有”地走進(jìn)課堂的，他們?cè)谏钪芯鸵呀?jīng)有許多數(shù)學(xué)知識(shí)的體驗(yàn)，而學(xué)校的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)則是他們生活中有關(guān)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)與升華。學(xué)生原有的知識(shí)儲(chǔ)備，以及在社會(huì)生活中所形成的關(guān)于數(shù)學(xué)的樸素認(rèn)識(shí)，都構(gòu)成了他們進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“特定視界”，影響并制約著他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是學(xué)生從“有”走向“更有”的過(guò)程。通俗地理解，學(xué)習(xí)是一種變化，這樣的變化，表現(xiàn)為從“有”到“更有”。當(dāng)然，什么發(fā)生變化，發(fā)生怎樣的變化，這都是有標(biāo)準(zhǔn)的。 以三年級(jí)學(xué)生“認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形和正方形”的教學(xué)為例。在一年級(jí)，學(xué)生就已經(jīng)直觀認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方形、正方形，還有不少學(xué)生在幼兒園就已經(jīng)整體辨識(shí)了長(zhǎng)方形和正方形。那么，通過(guò)三年級(jí)的學(xué)習(xí)，他們“更有”什么呢？學(xué)生的“認(rèn)識(shí)”與這節(jié)課之前的“認(rèn)識(shí)”有什么發(fā)展呢？ 在認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方形和正方形的特征之后，我出示了下面的問(wèn)題：下面的圖形中，哪些是長(zhǎng)方形？哪些是正方形？ 這樣的問(wèn)題，在一年級(jí)，學(xué)生就能完成了。三年級(jí)再做這樣練習(xí)的不同之處在于要學(xué)生說(shuō)清楚選擇的理由，而這恰恰要應(yīng)用此時(shí)所認(rèn)識(shí)的長(zhǎng)方形和正方形的特征作答。 在解釋的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)初步感受到：要說(shuō)它是長(zhǎng)方形或正方形，必須看它是否符合長(zhǎng)方形和正方形的所有特征，而判斷它不是長(zhǎng)方形或正方形，只要有一點(diǎn)特征不符合，就可以做出判斷。由此，學(xué)生可看出“有”和“更有”的不同，從而使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程與結(jié)果更有意義和價(jià)值。 臺(tái)灣作家林清玄曾在文章中寫(xiě)道：墾地播種，總是“花未發(fā)而草先萌，禾未綠而草先青”。為何？原來(lái)是草籽早在耕種前就已經(jīng)存在。在學(xué)生學(xué)習(xí)新知的過(guò)程中，我們關(guān)注過(guò)他們?cè)瓉?lái)頭腦中的“草籽”嗎？原有的“草籽”，能否生長(zhǎng)成為“禾苗”呢？ “草籽”，其實(shí)也相當(dāng)于學(xué)生學(xué)習(xí)新知前的“感覺(jué)”。學(xué)習(xí)，是需要感覺(jué)的。面對(duì)新知，如果學(xué)生對(duì)此一無(wú)所知，很容易在學(xué)習(xí)過(guò)程中產(chǎn)生“防御性的反應(yīng)”，而如果我們對(duì)所學(xué)內(nèi)容有所接觸、有所感覺(jué)、有所知曉，且在我們的“最近發(fā)展區(qū)”之內(nèi)，那接下來(lái)的學(xué)習(xí)將會(huì)充滿信心和動(dòng)力。 以“圖形的放大與縮小”的教學(xué)為例。 在日常生活中，學(xué)生就已經(jīng)積淀了有關(guān)“放大”和“縮小”的認(rèn)識(shí)?；诖耍處熞鹬貙W(xué)生的已知、已有，組織學(xué)生在敞亮“感覺(jué)”的過(guò)程中建構(gòu)圖形“放大”和“縮小”的正確理解。 我在出示圖1之后，分別演示圖1“放大”成圖2、圖3、圖4。 我指出：“如果按照我們平時(shí)的想法，與圖1比，圖2、圖3、圖4這3幅圖都放大了。不過(guò)，3幅圖中，只有1幅圖符合數(shù)學(xué)意義上的放大。你認(rèn)為是哪一幅呢？” 學(xué)生憑著自己的感覺(jué)，都認(rèn)為是圖4，并且能解釋自己的感覺(jué)——放大時(shí)，長(zhǎng)和寬放大的倍數(shù)應(yīng)相等。 我接著出示圖1的尺寸（長(zhǎng)3厘米，寬2厘米）和圖4的尺寸（長(zhǎng)6厘米，寬4厘米）。學(xué)生用學(xué)過(guò)的“倍”的說(shuō)法表達(dá)怎樣放大之后，我提出：“能用‘比’表 達(dá)嗎？也就是說(shuō)，圖1按照幾比幾放大成圖4？” 學(xué)生憑著自己的“感覺(jué)”，有的說(shuō)“按1：2放大”，有的說(shuō)“按 1：4 放大”。接下來(lái)，我就順其自然地引導(dǎo)學(xué)生閱讀、自學(xué)教科書(shū)了。 教學(xué)片段中同時(shí)對(duì)比呈現(xiàn)圖形的“拉伸”與“放大”，學(xué)生潛在的感覺(jué)（放大，長(zhǎng)和寬都要放大）被明晰、強(qiáng)化。進(jìn)而，我又以反例，以反襯正、以反激正，促進(jìn)學(xué)生完善認(rèn)識(shí)“放大時(shí)，長(zhǎng)和寬放大的倍數(shù)應(yīng)相等”。 在完成對(duì)“放大”的定性認(rèn)識(shí)之后，我緊接著組織學(xué)生探討關(guān)于放大的定量刻畫(huà)。當(dāng)談及“放大”和“縮小”時(shí)，我們一般認(rèn)為把原圖邊長(zhǎng)擴(kuò)大2倍，即按1：2放大，或許還會(huì)像學(xué)生所說(shuō)的面積擴(kuò)大到原來(lái)的4倍，做出“1：4”的回答。而數(shù)學(xué)上的規(guī)定，恰恰是2：1。我先讓學(xué)生把“感覺(jué)”敞亮出來(lái)，繼而引發(fā)他們看書(shū)自學(xué)的內(nèi)在需求，并在交流中去偽存真，實(shí)現(xiàn)概念替代。 學(xué)生的感覺(jué)，有的對(duì)，有的錯(cuò)。但無(wú)論對(duì)與錯(cuò)，都反映了學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)起點(diǎn)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，應(yīng)在學(xué)生原有基礎(chǔ)上展開(kāi)。 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有所“發(fā)現(xiàn)”的過(guò)程。這里的“發(fā)現(xiàn)”，是學(xué)生對(duì)前人已有定論的數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)得，是對(duì)自身未知領(lǐng)域的“發(fā)現(xiàn)”。正如弗賴登塔爾所說(shuō)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來(lái)。教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生。 以“銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形”的教學(xué)為例。在沒(méi)有學(xué)習(xí)銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形之前，學(xué)生根據(jù)上述命名即可大致了解這三種圖形的含義。教學(xué)時(shí)，我設(shè)計(jì)了對(duì)學(xué)生更具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題：如果將三角形按角進(jìn)行分類，可以怎樣分類？能用圖表示嗎？ 一位學(xué)生是這樣想的，如下： 在該學(xué)生展示交流之后，學(xué)生就等腰直角三角形展開(kāi)討論并形成認(rèn)識(shí)：等腰直角三角形是等腰三角形中一種特殊的情況，特殊在有一個(gè)角是直角；等腰直角三角形是直角三角形中一種特殊的情況，特殊在有兩條邊相等。 接著，我引導(dǎo)學(xué)生思考：等腰直角三角形和直角三角形是不是并列的關(guān)系？它們之間的關(guān)系和我們之前學(xué)習(xí)的什么知識(shí)類似？在學(xué)生回答“垂直與相交”后，我在黑板上畫(huà)出下圖（如圖5），并提出問(wèn)題：垂直與相交，如果用這里的兩個(gè)圈表示它們之間的關(guān)系，大圈表示什么？小圈呢？在學(xué)生回答后，我再組織學(xué)生思考：還是這兩個(gè)圈，如何表示等腰三角形與等腰直角三角形的關(guān)系？直角三角形與等腰直角三角形呢？由此來(lái)看，等腰直角三角形與銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形之間，是不是并列關(guān)系？ 大多數(shù)學(xué)生回答“不是”，其中一位學(xué)生脫口而出：“包含關(guān)系?！蔽矣謫?wèn)：“如果三角形按角分類，可以怎樣分類，它們之間的關(guān)系如何畫(huà)圖呢？”我展示一位學(xué)生畫(huà)的圖，如圖6（我了解了全班學(xué)生畫(huà)圖情況，發(fā)現(xiàn)沒(méi)有學(xué)生用集合圖的形式表示三角形的按角分類）。 我提出問(wèn)題：“如果畫(huà)圈，應(yīng)怎樣畫(huà)呢？”一位學(xué)生到黑板上畫(huà)出了圖7。 這時(shí)，有學(xué)生質(zhì)疑：“在大圈中，三個(gè)小圈的外面表示什么呢？”接著，一位學(xué)生到黑板上畫(huà)出了圖 8。 又有學(xué)生質(zhì)疑：“這樣的圖，讓人感覺(jué)直角三角形、鈍角三角形都是特殊的銳角三角形?！?/span> 最后，一位學(xué)生畫(huà)出了圖9。 至此，通過(guò)充分互動(dòng)、相互啟發(fā)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了如何用集合圖來(lái)表示三角形的按角分類。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生也進(jìn)一步認(rèn)識(shí)與理解了銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形以及它們之間的關(guān)系。 從上面的教學(xué)片段可以看出，學(xué)生的“發(fā)現(xiàn)”不是無(wú)厘頭，也不是空穴來(lái)風(fēng)，而是有所準(zhǔn)備的，既包括心理準(zhǔn)備，又包括認(rèn)知準(zhǔn)備。準(zhǔn)備的過(guò)程是學(xué)生積蓄想法、醞釀發(fā)現(xiàn)的過(guò)程。“過(guò)程”的價(jià)值，不但催生了學(xué)生的“發(fā)現(xiàn)”，而且學(xué)生觀察、比較、歸納、概括等能力都得到了發(fā)展。 發(fā)現(xiàn)不僅是一種方法，還是一種意識(shí)，主動(dòng)獲取自身尚未知曉的知識(shí)的意識(shí)，更是一種能力，求己所未知的能力。學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，就是在教師組織、引導(dǎo)下，學(xué)生積極發(fā)現(xiàn)，自主建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)再創(chuàng)造的過(guò)程。 基于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要，有必要將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，這不僅會(huì)使教學(xué)變得有“意思”，也讓教學(xué)變得有“意義”，學(xué)生們將不僅僅停留在“知道”層面，更能感受數(shù)學(xué)形成的過(guò)程，體會(huì)人類認(rèn)識(shí)世界、數(shù)學(xué)化地刻畫(huà)世界的過(guò)程，即在認(rèn)識(shí)歷史的過(guò)程中理解數(shù)學(xué)。 “年、月、日”的教學(xué)目標(biāo)一般為：通過(guò)觀察年歷表認(rèn)識(shí)時(shí)間單位年、月、日，知道大月、小月、平年、閏年等方面的知識(shí)，記住每個(gè)月以及平年、閏年的天數(shù)。由上述教學(xué)目標(biāo)可以看出“年、月、日”第一課時(shí)要學(xué)的內(nèi)容。無(wú)疑，這是“數(shù)學(xué)”。不過(guò)，這是靜態(tài)的、結(jié)論性的數(shù)學(xué)知識(shí)。 現(xiàn)代的數(shù)學(xué)觀已經(jīng)從靜態(tài)主義的觀點(diǎn)轉(zhuǎn)向動(dòng)態(tài)主義的觀點(diǎn)。數(shù)學(xué)不應(yīng)被簡(jiǎn)單地等同于數(shù)學(xué)知識(shí)的匯集，不應(yīng)被看作無(wú)可懷疑的真理的集合，而應(yīng)被看作人類的一種創(chuàng)造性勞動(dòng)。 以往我在教學(xué)“年、月、日”這一內(nèi)容時(shí)，大致按照這樣的思路展開(kāi)：觀察年歷表，理清每個(gè)月的天數(shù)；根據(jù)每個(gè)月的天數(shù)對(duì)月份進(jìn)行分類，認(rèn)識(shí)并記住大月和小月；關(guān)注二月份天數(shù)的不同，認(rèn)識(shí)平年和閏年；研究二月份天數(shù)的變化規(guī)律，探究平年和閏年的判定方法。這與教材的編寫(xiě)思路是一致的。 研讀教材之后，視線再轉(zhuǎn)向?qū)W生：學(xué)生需要從年歷表中歸納學(xué)習(xí)“年、月、日”的知識(shí)嗎？“年、月、日”與學(xué)生的生活聯(lián)系緊密，關(guān)于“年、月、日”，學(xué)生已經(jīng)知道了什么？ 通過(guò)調(diào)查，我發(fā)現(xiàn)三年級(jí)的學(xué)生大部分已經(jīng)知曉了“年、月、日”的一些知識(shí)，如果教師仍然按照原先的思路組織學(xué)生觀察年歷表，那學(xué)生也就只能表現(xiàn)為“知道卻裝作不知道”了。 進(jìn)一步思考：如果不這樣設(shè)計(jì)，那么這節(jié)課的數(shù)學(xué)味是什么呢？即如何體現(xiàn)這是一節(jié)數(shù)學(xué)課呢？換個(gè)說(shuō)法，數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)的“年、月、日”與科學(xué)課上的“年、月、日”有何不同呢？ 既然學(xué)生已經(jīng)知道了“年、月、日”的一些知識(shí)，我再“助推”一下，組織學(xué)生在課前進(jìn)一步研究學(xué)習(xí)“年、月、日”。我設(shè)計(jì)了下面三個(gè)問(wèn)題： （1）關(guān)于“年、月、日”，我知道了什么？ （2）對(duì)“年、月、日”，我有什么疑問(wèn)？ （3）我收集了哪些有關(guān)“年、月、日”的知識(shí)或數(shù)學(xué)故事？ 課堂從交流學(xué)生關(guān)于“年、月、日”的已知信息入手，學(xué)生先同桌間交流，然后全班交流，交流的內(nèi)容既有本課學(xué)習(xí)的，也有后續(xù)將要學(xué)習(xí)的，既有正確的，也有不正確的。 關(guān)于“年、月、日”，學(xué)生的疑問(wèn)大致有兩類：一類是如“為什么二月的天數(shù)最少？”“為什么七月、八月都是大月？”這樣知曉結(jié)果追問(wèn)緣由的問(wèn)題；一類是如“年、月、日是誰(shuí)發(fā)明的？”這樣對(duì)歷史由來(lái)的追問(wèn)。 如何解答這些問(wèn)題？顯然，得從歷史中尋找答案。從這些問(wèn)題中，我們要看到數(shù)學(xué)知識(shí)，更要看到隱于知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想、精神…… 對(duì)于“為什么二月的天數(shù)最少？”“為什么七月、八月都是大月？”這樣的問(wèn)題，讓學(xué)生“百度”一下，古羅馬凱撒與奧古斯都的故事都不難找到。那這樣的故事是否一“聽(tīng)”就可以了之了呢？我的教學(xué)處理是這樣的： 教師邀請(qǐng)學(xué)生講解凱撒、奧古斯都的故事。之后，教師和全班學(xué)生共同回顧故事內(nèi)容并提問(wèn)：“最初，大月、小 月是如何規(guī)定的？”師生完成列式解答。在計(jì)算的過(guò)程中，學(xué)生初步經(jīng)歷了歷法的變化與調(diào)整過(guò)程，對(duì)儒略歷的認(rèn)識(shí)，對(duì)大月、小月的規(guī)定不再停留于簡(jiǎn)單的接受。 對(duì)于“年、月、日是誰(shuí)發(fā)明的”這樣的問(wèn)題，坦率地說(shuō)，我最初也沒(méi)有想過(guò)。我所知曉的，就是年、月、日與太陽(yáng)、月亮、地球有關(guān)。究竟是誰(shuí)發(fā)明的年、月、日呢？查閱了一番資料之后，我豁然開(kāi)朗，是古人源于對(duì)自然現(xiàn)象的觀察。 如何與三年級(jí)的學(xué)生交流這些呢？我用課件先后呈現(xiàn)從黑夜到白天的圖片、月亮圓缺變化的圖片以及一棵樹(shù)的樹(shù)葉從無(wú)到有、從綠到黃、從有到無(wú)變化的圖片，并向?qū)W生講述：古時(shí)候生活在地球上的人通過(guò)長(zhǎng)期觀察，發(fā)現(xiàn)太陽(yáng)升起落下、日復(fù)一日的變化，月亮陰晴圓缺、月復(fù)一月的變化，氣候四季交替、年復(fù)一年的變化，于是逐漸建立起了年、月、日的概念。 上述教學(xué)，試圖讓學(xué)生體會(huì)時(shí)間是關(guān)于過(guò)程的度量。時(shí)間涉及過(guò)程，是事物發(fā)生與運(yùn)動(dòng)的產(chǎn)物，要建立與時(shí)間有關(guān)的概念，必須要有參照物。對(duì)人類來(lái)說(shuō)，最好的參照物就是太陽(yáng)、月亮和浩瀚的星空。為了準(zhǔn)確地表達(dá)時(shí)間的概念，就必須清晰地描述地球與參照物之間、參照物與參照物之間的變化關(guān)系，而且準(zhǔn)確、清晰表達(dá)的捷徑就是借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言。這便是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述現(xiàn)實(shí)中的故事，這是一個(gè)完整的構(gòu)建模型的過(guò)程。 為了讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)人類的文明成果，課尾，我留下問(wèn)題：如果沒(méi)有年、月、日，這世界將會(huì)變成什么樣？讓學(xué)生在想象中體會(huì)年、月、日這一來(lái)源于生活實(shí)踐又作用于生活實(shí)踐的發(fā)明的重要意義。 歷法的形成，是一個(gè)漫長(zhǎng)的、復(fù)雜的演變過(guò)程，其中的故事、軼事反倒使本來(lái)比較枯燥的“年、月、日”知識(shí)變得溫情脈脈，或者說(shuō)，變得好玩起來(lái)。將這些故事、軼事引人教學(xué)，從而“年、月、日”的教學(xué)多了份歷史的厚重感，學(xué)生對(duì)各月的天數(shù)也多了份“理解”。 聲明：本文綜合整理而成，歡迎朋友圈分享，微信公眾號(hào)或其他形式轉(zhuǎn)載，請(qǐng)注明出處。 |
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