如果你看過(guò)吳宇森導(dǎo)演的電影《赤壁》，那么請(qǐng)回憶一下，哪個(gè)人物給你印象最深刻？是業(yè)余忙著寫(xiě)大字讀詩(shī)經(jīng)編草鞋的桃園三兄弟，是能寫(xiě)詩(shī)能舞劍能給萌萌馬兒接生的周公瑾，還是隨時(shí)都要冷靜冷靜的諸葛孔明？嗯，是不是有選擇困難？好吧，我們還是想想哪個(gè)場(chǎng)景最為震撼呢？赤壁水戰(zhàn)固然是之一，之二呢？如果你還記得水戰(zhàn)之前的那一場(chǎng)陸戰(zhàn)，卻也能感受到場(chǎng)面那是相當(dāng)?shù)貧鈩?shì)恢宏，不為別的，只因?yàn)檫@次，臥龍先生使出了看家絕招——九宮八卦陣！此陣威力有多大？號(hào)稱(chēng)囊括天覆陣、地載陣、風(fēng)揚(yáng)陣、云垂陣、龍飛陣、虎翼陣、鳥(niǎo)翔陣、蛇蟠陣等九大名陣，而且變化萬(wàn)端，十萬(wàn)精兵殺進(jìn)來(lái)也是一個(gè)死字(圖1)[1]。

此陣法與我們要聊的物理何干？

從物理學(xué)的角度來(lái)看，八卦陣的要訣在于兩點(diǎn)：對(duì)稱(chēng)和變化。八卦陣原理取自上古時(shí)代伏羲發(fā)明的八卦圖，世間萬(wàn)物都可以歸納到八卦之中(圖1)。八卦圖整體上是一個(gè)正八邊形，這其實(shí)蘊(yùn)含著自然界最基本的現(xiàn)象——對(duì)稱(chēng)?？茨腔▍驳暮?，撿起一片樹(shù)葉，捧起一片冰晶，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們從形狀上來(lái)看都是對(duì)稱(chēng)的(圖2)。對(duì)稱(chēng)給以美感，人體就是一個(gè)高度對(duì)稱(chēng)的例子，這是為啥歐美油畫(huà)里總是以人體為主角，話(huà)說(shuō)無(wú)論高矮胖瘦都是一種美嘛。人類(lèi)向大自然學(xué)習(xí)，生活中無(wú)處不存在對(duì)稱(chēng)的美感。如果你爬上景山俯瞰故宮全景，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)紫禁城的瑰麗奧秘，就是它的對(duì)稱(chēng)(圖3)。正是由于士兵們對(duì)稱(chēng)分布，在八卦陣中就可以隨時(shí)做到首尾相應(yīng)、奇正相生。而另一大神奇之處就是它的變化，改變部分的結(jié)構(gòu)，就可以形成新的對(duì)稱(chēng)方式，從而迫使里面的敵兵被牽著鼻子走迷宮，不被砍死也得被暈死。

我們?yōu)槭裁瓷钤谝粋€(gè)對(duì)稱(chēng)的世界？

要回答這個(gè)問(wèn)題，先要回答另一個(gè)問(wèn)題，世界是什么組成的？給你一把要多鋒利就有多鋒利的水果刀，把一個(gè)蘋(píng)果一分二、二分四、四分八……，就這么一直切下去，切到最后會(huì)不會(huì)遇到一個(gè)不可分割的單元呢？古希臘哲學(xué)家留基伯和他的學(xué)生德謨克利特就是這么認(rèn)為的，還給最后不可分割的單元取了個(gè)名字，叫做“原子”(希臘語(yǔ)里就是不可分的意思)，我們的世界就是“原子”和“虛空”組成的。中國(guó)古人發(fā)明了九宮八卦，也用類(lèi)似理論認(rèn)為世界基本單元不外乎：金、木、水、火、土。不過(guò)科學(xué)并不是那么簡(jiǎn)單，直到18世紀(jì)末，科學(xué)實(shí)驗(yàn)盛行的時(shí)代，人們才搞明白原子究竟是個(gè)什么鬼。1789年，法國(guó)化學(xué)家拉瓦錫指出，原子就是化學(xué)變化里的那個(gè)最小單元。1803年，英國(guó)化學(xué)家和物理學(xué)家道爾頓從他的氣體分壓實(shí)驗(yàn)結(jié)果里提煉出了科學(xué)意義上的原子論，所謂化學(xué)反應(yīng)就是原子間的組合排列[2]。不同的原子排列組合構(gòu)成了不同的物質(zhì)，組成了我們生活的世界。原子有多大？當(dāng)然肉眼是別想直接看到它的真容了。原子直徑在10－10m左右，即百億分之一米。如定義十億分之一米(10－9m)為1nm，原子也就只有0.1nm左右那么大。材料中原子之間間隔大概在0.1—10nm之間，一滴水或一粒米里面的原子數(shù)目大的驚人，即使是讓全地球60億人來(lái)數(shù)的話(huà)，也要數(shù)幾百萬(wàn)年才能數(shù)完！這個(gè)世界有多少個(gè)原子，你就別掐指頭算了……

現(xiàn)在，回到之前那個(gè)問(wèn)題，為什么原子組成的世界會(huì)有如此美麗的對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)？我們還得剝開(kāi)原子的堅(jiān)殼，看看里面是個(gè)什么模樣。從化學(xué)的意義上來(lái)說(shuō)，原子是個(gè)不可分的最小單元，但從物理角度來(lái)說(shuō)，沒(méi)什么是不可分的。原子內(nèi)部究竟有沒(méi)有結(jié)構(gòu)，湯姆遜認(rèn)為很簡(jiǎn)單，里面就是正電荷和負(fù)電荷均勻分布的球體，剝開(kāi)原子看到的無(wú)非是均勻的電荷單元。剝開(kāi)原子最簡(jiǎn)單直接的辦法就是找到一個(gè)合適的“子彈”把原子當(dāng)做靶來(lái)轟擊，看能打出什么花來(lái)。1899年，英國(guó)劍橋大學(xué)的盧瑟福在貝克勒爾發(fā)現(xiàn)放射性的天然鈾上找到了這枚特殊的子彈——他稱(chēng)之為阿爾法射線(后來(lái)知道是氦原子核)。這種射線雖然穿透力很差，一張紙就足以擋住它，正因?yàn)槿绱?，它有較大的質(zhì)量和較低的速度，使得更加容易被探測(cè)。盧瑟福用他的阿爾法“原子槍”轟擊了金箔，他發(fā)現(xiàn)大部分阿爾法粒子都“如入無(wú)人之境”穿透過(guò)去，只有一部分軌跡發(fā)生了偏轉(zhuǎn)，說(shuō)明它們受到了正電的排斥作用，其中還有萬(wàn)分之一的粒子是“如撞墻后原路彈回”的。正是這萬(wàn)分之一令他十分興奮，他后來(lái)回憶到：“這是我一生中碰到的最不可思議的事情，就好像你用一顆15英寸的大炮去轟擊一張紙而你竟被反彈回的炮彈擊中一樣。”盧瑟福的實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明，原子不可能是質(zhì)量和電荷都均勻分布為0.1nm的小球，原子的絕大部分質(zhì)量都集中在其核心處——盧瑟福稱(chēng)之為“原子核”。也就是，原子內(nèi)部長(zhǎng)的不像西瓜，而是更像櫻桃，是一個(gè)單核結(jié)構(gòu)，原子核帶正電，核外電子帶負(fù)電。為了進(jìn)一步理解電子在原子內(nèi)部是如何運(yùn)行的，物理學(xué)家先后提出了“葡萄干蛋糕模型”、“行星軌道模型”、“量子化原子模型”等一系列模型，最終促使了量子力學(xué)的建立(圖4)。包括盧瑟福及他的弟子門(mén)生們，有十多位科學(xué)家前后因?yàn)樵游锢淼难芯揩@得了諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)[3]。最終原子的結(jié)構(gòu)模型定格在量子力學(xué)框架下，電子在原子內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)并不存在特定的軌道，而是以概率的形式存在于原子的空間內(nèi)，某些地方出現(xiàn)的概率大，某些地方出現(xiàn)的概率小，整體概率分布形成一片“電子云”。實(shí)際上，原子核直徑比原子直徑要小得多，把原子比作一個(gè)足球場(chǎng)的話(huà)，原子核不過(guò)是場(chǎng)地中間的一只螞蟻。因此，從空間上來(lái)說(shuō)，原子的內(nèi)部質(zhì)量雖然主要來(lái)自原子核，但結(jié)構(gòu)上還是電子云為主導(dǎo)。

電子云，又是個(gè)什么鬼？

電子云本質(zhì)上就是電子在原子內(nèi)部的概率分布，這種分布服從量子力學(xué)定律，而且，重點(diǎn)來(lái)了，電子云的形狀并不是雜亂無(wú)章的，而是呈現(xiàn)某些特定的形狀。比如，最簡(jiǎn)單的原子——氫原子，內(nèi)部只有一個(gè)質(zhì)子和一個(gè)電子，電子云的分布就是均勻的球形，球的密度跟直徑有關(guān)。電子云的形狀還有“紡錘型”、“十字梅花型”、“啞鈴型”等等(圖5)，仔細(xì)觀察這些電子云，就會(huì)有個(gè)非常重要的領(lǐng)悟——它們都遵從一定的對(duì)稱(chēng)規(guī)律！

終于，答案揭曉。

把一堆原子放在一起，它們會(huì)怎么排列？原子核之間顯然隔著十萬(wàn)八千里，而且被一堆帶負(fù)電的電子云屏蔽了，就是想發(fā)生點(diǎn)關(guān)系，也是腿短莫及??！原子和原子之間，主要是離原子核比較遠(yuǎn)的那些電子(外層電子)和電子之間的相互作用，而這些電子的空間分布，是某些特定對(duì)稱(chēng)形狀的電子云。那么，一個(gè)無(wú)比自然且和諧的結(jié)果是，原子間的排列也會(huì)形成某些特定的對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)。有了電子云喊口令，原子們不是一盤(pán)散沙，而是整齊劃一的隊(duì)伍，這就是微觀世界的八卦陣！這種對(duì)稱(chēng)有多漂亮？用一把原子大小的尺子去量一下就知道。X射線作為電磁波的一種，其波長(zhǎng)就和原子直徑差不多，如果用一束X射線打進(jìn)規(guī)則的晶體中去，就會(huì)出現(xiàn)對(duì)稱(chēng)的衍射斑點(diǎn)。類(lèi)似地，用一束電子或一束中子也可以實(shí)現(xiàn)，衍射斑點(diǎn)的分布就像你看到蝴蝶的花紋一樣漂亮——這就是對(duì)稱(chēng)之美(圖6)。

可不要小瞧這微觀世界的八卦陣，它厲害著呢！不同的原子排列方式不僅決定了材料的外形，而且決定了材料的許多基本物理性質(zhì)。舉個(gè)最常見(jiàn)的例子，一顆璀璨的鉆石和一支寫(xiě)字的鉛筆芯有什么異同？它們都是碳原子組成的！誰(shuí)說(shuō)朽木不可雕？朽木可以變成木炭或鉛筆，也可以變成鉆石！區(qū)別在于，鉛筆芯里主要是石墨，由一層層的六角排列碳原子構(gòu)成，所以碳原子特容易剝落，可以輕易留下字跡；但是鉆石內(nèi)部是由碳原子密堆起來(lái)的，碳原子間存在非常穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，形成了自然界硬度最高的材料——金剛石。碳原子的不同排布就如同孫悟空的七十二變一樣，除了石墨和金剛石，還可以有單原子層的石墨烯，卷成管子的碳納米管，60個(gè)碳原子組成的足球烯等等(圖7)。這些材料性質(zhì)千差萬(wàn)別，又同宗同源，我們稱(chēng)之為“同素異形體”。也不要太恐慌，微觀世界的八卦陣型其實(shí)并不是想象中的那么多。數(shù)學(xué)家告訴我們，微觀八卦陣(空間群)最多也就是230種，這230種又可以劃分為7大類(lèi)和14小類(lèi)[5]。不要問(wèn)我為什么，反正，世界，就是如此簡(jiǎn)潔！

認(rèn)識(shí)了微觀世界的八卦陣，接下來(lái)我們看看八卦陣?yán)锏谋ā?/span>

對(duì)于固體材料里面的原子而言，離原子核最遠(yuǎn)的外層電子們因?yàn)?/span>“天高皇帝遠(yuǎn)”，體會(huì)不到中央的精神，整天都處于“游離”的狀態(tài)。一些本事大(能量高)的電子甚至可以完全掙脫單個(gè)原子的束縛，而在材料內(nèi)部自由穿行，我們稱(chēng)之為近自由電子，加個(gè)“近”字，是因?yàn)樗⒉皇前俜职僮杂傻?。別忘了，我們還有強(qiáng)大法力的原子八卦陣，電子要想穿過(guò)八卦陣，就必須找到兵法竅門(mén)，否則死在半路都不知道怎么掛的。還是以故宮為例，去過(guò)故宮的都知道，故宮以中軸線為中心，兩邊側(cè)殿對(duì)稱(chēng)分布，主要大殿都在中軸線上。結(jié)果是——旅游團(tuán)都只參觀中軸線上幾個(gè)大殿，側(cè)面的偏殿因?yàn)槟承┨貏e展覽要收費(fèi)也人煙寥寥，游客都不約而同地集中在中軸線上(圖3)。也就是說(shuō)，游客數(shù)目的分布其實(shí)和故宮整體的對(duì)稱(chēng)方式相關(guān)。這個(gè)在微觀世界也有類(lèi)似規(guī)律，電子在規(guī)則排列的原子八卦陣?yán)铮姆植际呛完嚪ㄓ嘘P(guān)的。一方面，由于原子排列在空間上是重復(fù)規(guī)律分布，導(dǎo)致電子的運(yùn)動(dòng)在空間上也存在一定的周期性；另一方面，如果把材料內(nèi)部電子按照能量從低到高堆在一起的話(huà)，它會(huì)在某些特定的方向有著特定的規(guī)律分布。

一句話(huà)，電子在八卦陣?yán)锊荒軄y來(lái)，要守規(guī)矩才有活路。

指出以上兩條“兵法”的，是兩位“布家”的物理學(xué)家——布洛赫和布里淵。莫激動(dòng)，他們不是兄弟倆，也不是鄰居。話(huà)說(shuō)回來(lái)，劃分14小類(lèi)的原子陣法，也叫做14種布拉伐格子，真是“布衣出英雄”??！言歸正傳，根據(jù)“布家兵法”，我們可以把材料內(nèi)部近自由電子們按照能量和動(dòng)量分布給排列起來(lái)。電子們只能在某些特定的能量和動(dòng)量區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)，形成一條條“電子帶”，又叫做“能帶”，這就是它們的破陣大法了。最高能量的電子，也就是跑的最快的那些家伙們，按照動(dòng)量的空間分布，構(gòu)成了一個(gè)包絡(luò)面，又叫做“費(fèi)米面”，這就是它們的先鋒隊(duì)了。不同材料的費(fèi)米面是千奇百怪的，如鉀的費(fèi)米面是一個(gè)閉合的球面，但銅和鈣的費(fèi)米面就會(huì)有或大或小的洞洞(圖8)[6]。由于空間上周期重復(fù)的陣法，某個(gè)特定區(qū)域內(nèi)的破陣小分隊(duì)就足以代表整個(gè)大部隊(duì)，超出此區(qū)域的別人家的孩子也等價(jià)于自己家的孩子，這個(gè)區(qū)域叫做第一布里淵區(qū)，簡(jiǎn)稱(chēng)布里淵區(qū)。一個(gè)三維的立方原子陣法，其布里淵區(qū)是一個(gè)削掉角的正八面體(圖8)[7]。嗯，此處有點(diǎn)燒腦。還好，本質(zhì)還是八卦陣的破陣秘訣，電子在材料內(nèi)部的動(dòng)量和能量分布也是有一定對(duì)稱(chēng)規(guī)律的！當(dāng)然，事實(shí)上，材料內(nèi)部的電子部隊(duì)結(jié)構(gòu)還是非常復(fù)雜的，這就是宏觀材料出現(xiàn)各種的電磁熱等物理性質(zhì)的原因(圖9)。要理解材料的宏觀物性，一是要破解原子八卦陣法，二是要掌握電子破陣兵法，二者缺一不可。

作為“敵軍”，電子也會(huì)受到陣?yán)锸胤绞勘?/span>(原子)的攻擊，或改變運(yùn)動(dòng)方向，或改變運(yùn)動(dòng)速率，也可能是受傷或者損兵折將，物理上稱(chēng)之為“散射”。舉個(gè)具體例子，材料的導(dǎo)電性質(zhì)就和內(nèi)部電子受到的散射情況密切相關(guān)，如果電子遇到的散射很強(qiáng)，能量和數(shù)量上損失很大，那么就是電子大軍受到強(qiáng)烈的阻礙——對(duì)，這就是電阻！我們知道，按照電阻率大小，可以分為絕緣體、半導(dǎo)體和導(dǎo)體。在微觀上，它們的導(dǎo)電機(jī)理是可以用“原子八卦陣法”來(lái)解釋的。我們先定義高能量電子帶叫做“導(dǎo)帶”(電子可以導(dǎo)電)，低能量電子帶叫做“價(jià)帶”(電子被束縛在原子核周?chē)?，不能參與導(dǎo)電)。導(dǎo)體內(nèi)部近自由電子數(shù)量眾多而且兵強(qiáng)馬壯(導(dǎo)帶電子數(shù)目多)，就能在極小阻礙的狀態(tài)下輕松破陣；半導(dǎo)體大部分都是老弱病殘電子兵(導(dǎo)帶電子數(shù)目少)，偶爾還需要問(wèn)老東家借援軍(比如向價(jià)帶借走一個(gè)電子形成一個(gè)帶正電的空穴)，受到阻力不小，最后勉強(qiáng)出陣；絕緣體里面幾乎無(wú)兵可用(沒(méi)有導(dǎo)帶電子)，而且援軍也過(guò)不來(lái)(價(jià)帶與導(dǎo)帶存在帶隙，很難跳過(guò)去)，基本全軍覆沒(méi)，導(dǎo)電效果極差(圖10)。在實(shí)驗(yàn)上，區(qū)分導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體的最好方法就是測(cè)量它們電阻隨溫度的變化，因?yàn)闇囟仍降?，原子的熱振?dòng)就越小，原子陣型也就越穩(wěn)定。對(duì)于導(dǎo)體而言，它更容易穿越原子大陣，所以電阻隨溫度降低而減小。對(duì)于半導(dǎo)體和絕緣體而言，本來(lái)兵就或弱或少，天寒地凍的結(jié)果導(dǎo)致不可挽回的損失，出陣反而顯得更加困難了，所以電阻隨溫度降低會(huì)升高，其中絕緣體的電阻上升更加劇烈，甚至呈現(xiàn)指數(shù)發(fā)散的趨勢(shì)(圖10)[8]。

怎么樣？微觀原子的八卦陣有夠神奇吧？！

參考文獻(xiàn)

[1] 獨(dú)孤及(唐).云巖官風(fēng)后八陣圖， 諸葛氏宗譜，“八陣功高妙用藏與名成八陣圖”

[2] 王峰. 道爾頓與近代化學(xué)原子論. 武漢： 湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003， 23： 148
[3] 夏代云. E·盧瑟福的科學(xué)精神，廣西大學(xué)2006年碩士論文
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[7] Kittel C. Introduction to Solid State Physics， 8th Edition， Hoboken： Wiley， 2005
[8] 黃昆著， 韓汝琦編. 固體物理學(xué)， 北京： 高等教育出版社， 1998

來(lái)源：《物理》2016年01期

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