三角形是北師大初一下學(xué)期重要的幾何內(nèi)容，也是平面幾何的重要知識(shí)點(diǎn)。全等三角形把線段相等性質(zhì)和角相等的性質(zhì)集于一身，所以，學(xué)習(xí)完全等，真正的幾何綜合題才開始。（2016年7月深圳市南山區(qū)期末統(tǒng)考七年級(jí)數(shù)學(xué)壓軸題）如圖①②，點(diǎn)E、F分別是線段AB、線段CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AB的垂線，過點(diǎn)F作CD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G，連接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC.（1）線段AD和線段BC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；
（2）如圖②當(dāng)DG⊥GC時(shí)，試判斷直線AD和直線BC的位置關(guān)系，并說明理由.全等三角形是研究三角形、四邊形等圖形性質(zhì)的重要工具，是解決有關(guān)線段、角等問題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn)，線段相等、線段和差倍分關(guān)系，角相等、兩直線位置關(guān)系的證明常轉(zhuǎn)化為證明三角形全等。利用全等三角形證明問題，關(guān)鍵在于從復(fù)雜的圖形中找到一對(duì)基礎(chǔ)的三角形，這對(duì)基礎(chǔ)的三角形從實(shí)質(zhì)上來說，是由全等三角形判定定理中的一對(duì)三角形變換而來的，也有可能有幾對(duì)全等的三角形組成，應(yīng)熟悉有公共邊，公共角的基本圖形：應(yīng)該還會(huì)有，歡迎大家補(bǔ)充。(1)要證明線段AD和線段BC考慮使用全等，而根據(jù)此題題目的性質(zhì)，是全等基本圖形中旋轉(zhuǎn)的一種，有公共頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)角有公共部分的關(guān)系，如圖只需證明△ ADG≌△ BCG，由題意可得，GE垂直平分AB,GF垂直平分CD，則AG=BG,DG=CG, ∠AGD＝∠BGC，∴△ ADG≌△ BCG，∴ AD=BC;（2）直線AD與BC垂直，要證明兩直線垂直，現(xiàn)在方法比較單一（七下，剛學(xué)完兩直線的位置關(guān)系及全等三角形，延長(zhǎng)AD與BC，相交于M，如圖則只需要證明∠M=90°，要求角的度數(shù)考慮使用三角形內(nèi)角和定理?！螹位于兩個(gè)三角形中，△ABM和△DCM中，∵ADG≌△ BCG，∴∠1=∠2,在△ABM中，∠MAB ∠MBA=∠1 ∠GBA ∠MAB=∠2 ∠GBA ∠MAB=∠GBA ∠GAB,又∵DG⊥GC,∴∠GBA ∠GAB=90°，∴∠MAB ∠MBA=90°，∴∠M=90°，AD⊥BC.題后記：證全等往往不是最終目的，最終目的是為了用全等，得到線段相等和角相等，這也是我們經(jīng)?？紤]使用全等的主要原因，要用全等，首先要去從復(fù)雜的幾何圖性質(zhì)發(fā)現(xiàn)全等，如果能夠熟悉一些基本圖形，則往往目的明確，事半功倍。此題在學(xué)習(xí)完旋轉(zhuǎn)之后，可以通過說明∠CGD=90°，直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行說明。當(dāng)面臨以下情況時(shí)，常需要構(gòu)造全等三角形：(1) 從條件出發(fā)，無法證明圖中三角形全等；(天津市競(jìng)賽題)如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°求證：CD=AB.由已知得∠ CAB=30°，∠ DAC=75°，∠ DCA=60°，∠ ACB ∠ DAC=180°，特殊度數(shù)可聯(lián)想到特殊三角形，共線點(diǎn)等.如圖，過A作AE垂直AB交BC延長(zhǎng)線于E,則AB=AE, ∠E=∠D=45°，在△ADC于△CEA中，∠E=∠D，∠ DAC=∠ ECA=75°，AC=AC, △ADC≌△CEA，CD=AE=AB.從沒有全等到構(gòu)造出全等，是全等三角形判定及性質(zhì)的高級(jí)應(yīng)用，只有積累到一定時(shí)候，才能很快作出判斷，學(xué)習(xí)中，我們要有意識(shí)發(fā)展這種思維方式。（2） 給出圖形中沒有全等三角形，而證明結(jié)論需要全等三角形；現(xiàn)階段利用中線（倍長(zhǎng)），角平分線（翻折）作垂線或平行線是構(gòu)造全等的基本方法。在△ ABC中，AC=5，中線AD=4，則AB邊取值范圍是_________.線段AC,AD,AB不是同一個(gè)三角形的三條邊，通過倍長(zhǎng)中線將分散的條件加以集中，通過全等進(jìn)行線段相等的代換。延長(zhǎng)AD至E使得AD=DE,連接BE，則易得△ ADC≌△ EDB，BE=AC=5，AE=8，則3<AB<13.學(xué)好全等三角形應(yīng)該注意以下幾個(gè)方面：2. 熟悉全等的基本圖形，并能在復(fù)雜圖形中發(fā)現(xiàn)分解出這些基本圖形；3.恰當(dāng)?shù)剡x擇全等三角形的判定方法；兩個(gè)全等圖形的基本圖形可以看成是一個(gè)三角形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等變換得到的。掌握基本圖形可為證明兩個(gè)三角形全等打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
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