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基礎系例說明：啟動｜基礎天文｜基礎物理｜系例科普

第一期：【基礎物理No.1】經(jīng)典力學之牛頓力學運動定律

第二期：美到極致｜極光之美

第三期：【基礎物理No.3】什么是光？

第四期：【基礎物理 No.4】萬有引力定律及力學運用

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【基礎天文】【基礎物理】兩個基礎系例希望讓大家的認知能更深刻方能更進一步！

好高騖遠可是大忌哦

阿爾伯特·愛因斯坦

E=mc2數(shù)學推導：

圖：云睿

（數(shù)學推導可能部分童鞋反應不過來…沒事文章后面還有推導說明及）

首先為什么E=mc2 ？

（請看下文）

根據(jù)狹義相對論，質(zhì)量和能量是等價的，并且是同一個物體的兩種不同表現(xiàn)。

物質(zhì)都具有質(zhì)量：大到星系、恒星和行星，小到分子、原子和基本粒子。不管它們有多小，所有我們已知的物質(zhì)都有基本的性質(zhì)：質(zhì)量。也就是說即使它不再運動，或者讓它慢慢減速直至完全的靜止，它仍然會影響著宇宙中其它的物體。每個單獨的質(zhì)量對宇宙中其它的物體都具有引力作用，不管距離多遠。它試圖吸引所有其它的物體，但也經(jīng)歷著被所有其它的物體所吸引。此外，它的存在也具有一定的能量。

想知道物質(zhì)為什么有質(zhì)量嗎？因為有質(zhì)量E=mc2這個偉大的方程才得以成立，你我也才得以存在

于世！關于物質(zhì)或基本粒子為什么會有質(zhì)量這個問題，本期文章不做探討，敬請關注微信公眾號：天文物理、和微信公眾號：博科園、未來某期會針對該問題做進一步探討

描述了大質(zhì)量物體（比如太陽和地球）是如何影響時空的構造。

但是，這并不意味著只有具有質(zhì)量的物體才能具備能量。在宇宙中也有完全沒有質(zhì)量的粒子，比如光子。光子也攜帶一定量的能量，它們可以與其它的物體作用，并被吸收，以及傳遞能量給其它的物體。足夠能量的光可以加熱物體，并傳遞額外的動能（和速度）給它們。光子會把原子中的電子踢到更高的能量等級，或者完全電離它們，這都取決于光子的能量。

此外，無質(zhì)量粒子（比如光子）的能量只由它們的頻率和波長決定，兩者的乘積等于無質(zhì)量粒子的速度，即光速。波長越長，頻率越小，能量也越低。反之短波長意味著擁有更高的頻率和能量。

波長越長的光子能量越小。但是所有的光子，不論其波長和能量為何，它們的速度都一樣，即光速。

在物理上，我們把能量當做完成某項任務的能力，我們稱之為做功的能力。那么有質(zhì)量粒子和無質(zhì)量粒子之間的能量有什么關聯(lián)？

我們可以想象，將一個電子（物質(zhì)）和一個正電子（反物質(zhì)）相互碰撞，它們會湮滅并產(chǎn)生無質(zhì)量粒子（比如兩個光子）。但是為什么兩個光子的能量等于電子（和正電子）的質(zhì)量乘以光速的平方？為什么是E=mc2，而不是E=2mc2，或者是其它常數(shù)（? 或 π 等）？

愛因斯坦在講堂上推導狹義相對論 @1934年。

有趣的是，如果狹義相對論是正確的，那么方程式必須是E=mc2。為什么是會這樣？要回答這個問題，我們先開始想象在你空間中有一個完全靜止的盒子，在盒子的兩邊分別有兩面鏡子，有一個光子在盒子里朝著一端的鏡子傳播。如下圖：

思想實驗的裝置：一個具備動量和能量的光子在一個帶有質(zhì)量M的靜止的（動量=0，動能=0）盒子里運動。（? E.Siegel）

最初，這個盒子完全的靜止，但是由于光子攜帶能量（和動量），當光子撞上盒子一端的鏡子時就會反彈，盒子則開始向光子最初的傳播方向移動。光子朝另一端的鏡子再次反彈折回，使盒子的動量再次改變?yōu)榱?。光子將不斷的來回反彈，因此盒子一半的時間向前移動，一半的時間保持靜止。

換句話，平均上這個盒子是在移動的，由于盒子擁有質(zhì)量，它就具有一定的動能，這一切都是因為光子的能量。但更重要的是動量（是描述一個物體運動的量）這個概念。光子具有動量，其關系很簡單明了：波長越短、能量越高，因此動量也越大。

光子的能量取決于波長：波長越大能量越小，波長越短能量越大。

為了更好的理解，我們來做一個思想實驗。我需要你想象，最初當光子自身在運動時會發(fā)生什么。它具有一定的能量以及一定的動量，這兩者都必須是守恒的?，F(xiàn)在光子的能量由它的波長決定，盒子的能量由靜止質(zhì)量決定。此外光子具有整個系統(tǒng)的動量，也就是盒子的動量為零。

現(xiàn)在光子撞上盒子，并暫時被吸收。動量和能量兩者都必須守恒，它們是宇宙中最基本的守恒定律。如果光子被吸收，這意味著只有一個方法能保持動量守恒：盒子獲得了一定的速度往光子移動的方向移動。

吸收了光子后盒子的能量（KE）和動量（M'v）。如果盒子沒有在該作用中獲得了額外質(zhì)量，能量和動量就不可能守恒。（? E.Siegel）

現(xiàn)在，我們可以問自己，盒子的能量是多少？結果是我們熟知的動能公式：KE = ?mv2，m是盒子的質(zhì)量，v是盒子的速度。但是，當我們比較現(xiàn)在盒子的能量與光子被吸收之前的能量，我們發(fā)現(xiàn)盒子現(xiàn)在的能量不夠。

難道是已知的物理定律在哪里錯了？并不是，有一個非常簡單的解決方法。盒子/光子系統(tǒng)的能量是盒子的靜止能量加上盒子的動能再加上光子的能量。當盒子吸收光子時，大部分光子的能量轉換成了盒子的質(zhì)量。一旦盒子吸收光子，它的質(zhì)量跟它與光子作用之前不同（增加了）。

當盒子重新輻射出光子時，能量和動量仍然必須守恒。（? E.Siegel）

當盒子重新輻射出光子（往相反的方向）時，它獲得了更多的動量和速度（為了平衡往反方向運動具有負動量的光子），甚至更多的動能，但是它必須失去一定的靜止質(zhì)量來補償。在一點點的數(shù)學計算，你就會發(fā)現(xiàn)為了得到能量守恒和動量守恒，我們最終會得到質(zhì)能關系E=mc2。

如果在方程式加上其它常數(shù)，就得不到守恒，每次吸收或輻射光子的時候都會得到會失去能量。直到1930年，當反物質(zhì)最終被發(fā)現(xiàn)的時候，物理學家得到了E=mc2的第一次驗證，在這之前是上述的思想實驗幫助我們得到的該結果。

能量守恒與動量守恒是我們現(xiàn)在生活在這個宇宙所要求的，這也正是為什么E=mc2。

質(zhì)能方程：

質(zhì)能方程E=mc2，E表示能量，m代表質(zhì)量，而c則表示光速（常量，c=299792.458km/s）。由阿爾伯特·愛因斯坦提出。該方程主要用來解釋核變反應中的質(zhì)量虧損和級和計算高能物理中粒子的能量。這也導致了德布羅意波和波動力學的誕生。

質(zhì)能方程表述如：

其中，E是能量，單位是焦耳（J）。M是質(zhì)量，單位是千克（Kg）。C在數(shù)值上等于光速的數(shù)值大小，c=299792458m/s

該公式表明物體相對于一個參照系靜止時仍然有能量，這是違反牛頓系統(tǒng)的，因為在牛頓系統(tǒng)中，靜止物體是沒有能量的。這就是為什么物體的質(zhì)量被稱為靜止質(zhì)量。公式中的E可以看成是物體總能量，它與物體總質(zhì)量（該質(zhì)量包括靜止質(zhì)量和運動所帶來的質(zhì)量）成正比，只有當物體靜止時，它才與物體的（靜止）質(zhì)量（牛頓系統(tǒng)中的'質(zhì)量'）成正比。這也表明物體的總質(zhì)量和靜止質(zhì)量不同。

反過來講，一束光子在真空中傳播，其靜止質(zhì)量是0，但由于它們有運動能量，因此它們也有質(zhì)量。

表達形式1：

上式中的  為物體的靜止質(zhì)量，  為物體的靜止能量。中學物理教材中所講的質(zhì)能方程含義與此表達式相同，通常簡寫為  。表達形式2：

 為隨運動速度增大而增大了的質(zhì)量。

  為物體運動時的能量，即物體的靜止能量和動能之和。

表達形式3：

上式中的Δm通常為物體靜止質(zhì)量的變化，即質(zhì)量虧損。ΔE為物體靜止能量的變化。實際上這種表達形式是表達形式1的微分形式.這種表達形式最常用，也是學生最容易產(chǎn)生誤解的表達形式。

注意術語不同：有些術語使用中，質(zhì)量單指靜止質(zhì)量，因為總質(zhì)量和能量是等價的概念。若  

指代靜止質(zhì)量，則公式應改寫為而，因此，  

也就是總質(zhì)量的表達式，其中  為洛倫茲因子。

推導1：

首先要認可狹義相對論的兩個假設：1、任一光源所發(fā)之球狀光在一切慣性參照系中的速度都各向同性總為c。 2、所有慣性參考系內(nèi)的物理定律都是相同的。

如果你的行走速度是v，你在一輛以速度u行駛的公車上，那么當你與車同向走時，你對地面的速度為u+v，反向時為u-v，你在車上過了1分鐘，別人在地上也過了1分鐘——這就是我們腦袋里的常識。也是物理學中著名的伽利略變換，整個經(jīng)典力學的支柱。該理論認為空間是獨立的，與在其中運動的各種物體無關，而時間是均勻流逝的，線性的，在任何觀察者來看都是相同的。

而以上這個變換恰恰與狹義相對論的假設相矛盾。

事實上，在愛因斯坦提出狹義相對論之前，人們就觀察到許多與常識不符的現(xiàn)象。物理學家洛倫茲為了修正將要傾倒的經(jīng)典物理學大廈，提出了洛倫茲變換，但他并不能解釋這種現(xiàn)象為何發(fā)生，只是根據(jù)當時的觀察事實寫出的經(jīng)驗公式——洛倫茲變換——而它卻可以通過相對論的純理論推導出來。

然后根據(jù)這個公式又可以推導出質(zhì)速關系，也就是時間會隨速度增加而變慢，質(zhì)量變大，長度減小。

一個物體的實際質(zhì)量為其靜止質(zhì)量與其通過運動多出來的質(zhì)量之和。

當外力作用在靜止質(zhì)量為  的自由質(zhì)點上時，質(zhì)點每經(jīng)歷位移  ，其動能的增量是 ，如果外力與位移同方向，則上式成為  ，設外力作用于質(zhì)點的時間為

  ，則質(zhì)點在外力沖量  作用下，其動量增量是  ，考慮到  ，有上兩式相除，即得質(zhì)點的速度表達式為  ，亦即  ，根據(jù)洛倫茲變換，得質(zhì)量的變換公式為

  ，兩邊平方得  ,對速度  求導：得

注意到等式右邊為0，即上式可化為

代入上式得  。

上式說明，當質(zhì)點的速度v增大時，其質(zhì)量m和動能Ek都在增加，質(zhì)量的增量dm和動能的增量 之間始終保持  所示的量值上的正比關系。當  時，質(zhì)量  ，動能  ，據(jù)此，將上式積分，即得

  。

上式是相對論中的動能表達式。愛因斯坦在這里引入了經(jīng)典力學中從未有過的獨特見解，他把 叫做物體的靜止能量，把  叫做運動時的能量，我們分別用  和  表示：  ,  。

推導：

首先是狹義相對論得到

洛倫茲因子

所以，運動物體的質(zhì)量

然后利用泰勒展開（展開后第二項為零，此處為第一項和第三項）：

得到

其中

為靜止能，

就是我們平時見到的在低速情況下的動能，后面的是高階的能量。

（當可以測出

時，由此公式可以計算出物體運動的絕對速度。）

推導2：

根據(jù)公式，運動時物體質(zhì)量增大，同時運動時將會有動能，質(zhì)量與動能均隨速度增大而增大。

根據(jù)，得，因為，所以，由易得。將該式對  和  

進行微分，得，代入得，對其積分，。

這就是相對論下的動能公式。當速度為0，，動能為0。為物體靜止時的能量，而 總能量=靜止能量+動能，因此總能量。

靜止能量

物體的靜止能量是它的總內(nèi)能，包括分子運動的動能、分子間相互作用的勢能、使原子與原子結合在一起的化學能、原子內(nèi)使原子核和電子結合在一起的電磁能，以及原子核內(nèi)質(zhì)子、中子的結合能…….物體靜止能量的揭示是相對論最重要的推論之一，它指出，靜止粒子內(nèi)部仍然存在著運動。一定質(zhì)量的粒子具有一定的內(nèi)部運動能量，反過來，帶有一定內(nèi)部運動能量的粒子就表現(xiàn)出有一定的慣性質(zhì)量.在基本粒子轉化過程中，有可能把粒子內(nèi)部蘊藏著的全部靜止能量釋放出來，變?yōu)榭梢岳玫膭幽堋＠?，當π介子衰變?yōu)閮蓚€光子時，由于光子的靜止質(zhì)量為零而沒有靜止能量，所以，π介子內(nèi)部蘊藏著的是全部靜止能量。

虧損守恒

當一組粒子構成復合物體時，由于各粒子之間有相互作用能以及有相對運動的動能，因而，當物體整體靜止時，它的總能量一般不等于所有粒子的靜止能量之和，即

  ，其中  

為第i個粒子的靜止質(zhì)量。

兩者之差稱為物體的結合能：

與此對應，物體的靜止質(zhì)量

亦不等于組成它的各粒子的靜止質(zhì)量之和，兩者之差稱為質(zhì)量虧損：

質(zhì)量虧損與結合能之間有關系：

由于在中學物理教材中，對此式的解釋較淺，因此，有些學生就誤認為核反應過程中，質(zhì)量不再守恒，且少掉的質(zhì)量轉化為能量了。

守恒定律

在一個孤立系統(tǒng)內(nèi)，所有粒子的相對論動能與靜能之和在相互作用過程中保持不變，稱為質(zhì)能守恒定律。

在相對論里，質(zhì)能公式

描述了質(zhì)量與能量存在固定關系。在經(jīng)典力學中，質(zhì)量和能量之間是相互獨立、沒有關系的，但在相對論力學中，能量和質(zhì)量只不過是物體力學性質(zhì)的兩個不同方面而已。這樣，在相對論中質(zhì)量這一概念的外延就被大大地擴展了.愛因斯坦指出：“如果有一物體以輻射形式放出能量ΔE，那么它的質(zhì)量就要減少  .

至于物體所失去的能量是否恰好變成輻射能，在這里顯然是無關緊要的，于是我們被引到了這樣一個更加普遍的結論上來.物體的質(zhì)量是它所含能量的量度，”他還指出，“這個結果有著特殊的理論重要性，因為在這個結果中，物體系的慣性質(zhì)量和能量以同一種東西的姿態(tài)出現(xiàn)……我們無論如何也不可能明確地區(qū)分體系的‘真實’質(zhì)量和‘表現(xiàn)’質(zhì)量。把任何慣性質(zhì)量理解為能量的一種儲藏，看來要自然得多。”這樣，原來在經(jīng)典力學中彼此獨立的質(zhì)量守恒和能量守恒定律結合起來，成了統(tǒng)一的“質(zhì)能守恒定律”，它充分反映了物質(zhì)和運動的統(tǒng)一性。質(zhì)能方程說明，質(zhì)量和能量是不可分割而聯(lián)系著的。一方面，任何物質(zhì)系統(tǒng)既可用質(zhì)量m來標志它的數(shù)量，也可用能量E來標志它的數(shù)量；另一方面，一個系統(tǒng)的能量減少時，其質(zhì)量也相應減少，另一個系統(tǒng)接受而增加了能量時，其質(zhì)量也相應地增加。

質(zhì)能方程——著名的公式

  ，人們把這個方程叫做愛因斯坦質(zhì)能方程。

機械能守恒定律的主要公式：

(1 表示物體初狀態(tài)，2為末狀態(tài)）。

影響意義

這個等式源于阿爾伯特·愛因斯坦對于物體慣性和它自身能量關系的研究。研究的著名結論就是物體質(zhì)量實際上就是它自身能量的量度。為了便于理解此關系的重要性，可以比較一下電磁力和引力。電磁學理論認為，能量包含于與力相關而與電荷無關的場（電場和磁場）中。在萬有引力理論中，能量包含于物質(zhì)本身。因此物質(zhì)質(zhì)量能夠使時空扭曲，但其它三種基本相互作用（電磁相互作用，強相互作用，弱相互作用）的粒子卻不能，這并不是偶然的。

這個方程對于原子彈的發(fā)展是關鍵性的。通過測量不同原子核的質(zhì)量和那個數(shù)量的獨立質(zhì)子和中子的質(zhì)量和的差，可以得到原子核所包含的結合能的估計值。這不僅顯示可能通過輕核的核聚變和重核的核裂變釋放這個結合能，也可用于估算會釋放的結合能的量。注意質(zhì)子和中子的質(zhì)量還在那里，它們也代表了一個能量值。

一個著名的花絮是愛因斯坦最初將方程寫為

（用了一個“L"，而不是“E"來表示能量，而E在其它地方也用來表示能量）。

重要的是要注意實際的靜質(zhì)量到能量的轉換不大可能是百分之百有效的。一個理論上完美的轉化是物質(zhì)和反物質(zhì)的湮滅；對于多數(shù)情況，有很多帶靜質(zhì)量的副產(chǎn)品而不是能量，因而只有少量的靜質(zhì)量真正被轉換。在該方程中，質(zhì)量就是能量，但是為了簡明起見，轉換這個詞常常被用于代替質(zhì)能等價關系，實際上通常所指的一般是靜質(zhì)量和能量的轉換。

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