注:本文已經(jīng)發(fā)表于國(guó)家核心期刊中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì).北京師大《數(shù)學(xué)通報(bào)》2001.10 第一期

對(duì)數(shù)學(xué)美育的初步認(rèn)識(shí)與實(shí)踐

許興華  （廣西南寧三中  530021）

數(shù)學(xué)家克萊因說(shuō)：“數(shù)學(xué)是人類(lèi)最高超的智力成就，也是人類(lèi)心靈最獨(dú)特的創(chuàng)作。音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫(huà)使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切?！钡拇_，數(shù)學(xué)是一門(mén)獨(dú)特的科學(xué)，數(shù)學(xué)中包括著許許多多美的因素，教師要使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)得到預(yù)期的良好效果，讓學(xué)生學(xué)得津津有味，那么，充分挖掘數(shù)學(xué)中的美育因素，用春風(fēng)化雨般的藝術(shù)美使學(xué)生受到潛移默化，甚至使學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)達(dá)到如癡如醉、廢寢忘食的程度，讓學(xué)生在輕松愉快的氛圍美之中獲取知識(shí)，在精湛藝術(shù)般的課堂布局中得到美的藝術(shù)享受，所有這些蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)中的美學(xué)因素，就起著舉足輕重的重要作用。

筆者在平時(shí)的教學(xué)中，曾進(jìn)行數(shù)學(xué)美育的教學(xué)探索，試圖通過(guò)數(shù)學(xué)美育培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而充分地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的成功，取得了一定的效果。下面是筆者在數(shù)學(xué)美育中的初步認(rèn)識(shí)與體會(huì)。

1  利用數(shù)學(xué)的形式美，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

眾所周知，如果注意挖掘，數(shù)學(xué)中處處存在著形式美。注意在教學(xué)中提練美，向?qū)W生適時(shí)地表現(xiàn)美，讓學(xué)生藝術(shù)地感受美，應(yīng)當(dāng)是教師的一項(xiàng)基本功。例如，讓學(xué)生展示以下各題中的形式美：

因?yàn)楸碇腥械姆肿涌煞謩e記為：“一二三，三二一，三九二十七?！?/span>

5)學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)，啟發(fā)學(xué)生推導(dǎo)優(yōu)美的式子：

則更能體現(xiàn)其形式的優(yōu)美，又便于記憶。

7）在學(xué)習(xí)三角時(shí)，有以下問(wèn)題：

 以上四個(gè)問(wèn)題結(jié)構(gòu)巧妙，形式優(yōu)美，彼此之間“似曾相識(shí)”，因?yàn)樗鼈冎g有著緊密的本質(zhì)聯(lián)系。在解決了數(shù)學(xué)課本上的問(wèn)題①以后，教師接著提出以上三個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生思考：?jiǎn)栴}①將對(duì)我們解決其余的三個(gè)問(wèn)題有什么方法上的啟示嗎？學(xué)生通過(guò)對(duì)比聯(lián)想，嘗試探索，終于發(fā)現(xiàn)它們之間不僅僅是形式的優(yōu)美，而且有著本質(zhì)上的美好聯(lián)系，從而用類(lèi)似的方法去解決了類(lèi)似的問(wèn)題——這就是多樣化的問(wèn)題在數(shù)學(xué)上得到完美的統(tǒng)一的結(jié)果。通過(guò)多次這樣的教學(xué)嘗試，讓學(xué)生逐步體會(huì)到，數(shù)學(xué)的美是“表里如一”的美，是“形式美”與“內(nèi)在美”的辯證統(tǒng)一。這些看起來(lái)似乎毫無(wú)相關(guān)的問(wèn)題通過(guò)形式美的啟迪，最后升華到了本質(zhì)上必然的聯(lián)系，使類(lèi)似的問(wèn)題得到統(tǒng)一解決，這樣的美育教學(xué)隨著日子的增長(zhǎng)，極大地提高了絕大多數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2  利用數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，培養(yǎng)學(xué)生的求簡(jiǎn)意識(shí)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要深入地鉆研教材，更要博覽群書(shū)，注意尋找與教材有關(guān)的美的素材，深刻發(fā)掘教材中的美學(xué)因素，才能很好地進(jìn)行數(shù)學(xué)美育。因?yàn)榻處熤挥袑?duì)數(shù)學(xué)美有較深刻的領(lǐng)悟與內(nèi)心感受，并注意藝術(shù)地表現(xiàn)出來(lái)，才能感染學(xué)生，激勵(lì)學(xué)生。從某種意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)問(wèn)題就是把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)模型化，然后將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)數(shù)學(xué)方法轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，由繁化簡(jiǎn)，一旦簡(jiǎn)單問(wèn)題獲解，即“問(wèn)題解決”。因此，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究中，追求數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美（亦稱(chēng)簡(jiǎn)單美），將是學(xué)習(xí)者、研究者的重要任務(wù)。譬如，在推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，由橢圓的定義得到它的方程

    這是相當(dāng)完美的形式。常數(shù)2a與b的選擇本是為“簡(jiǎn)潔美”而引進(jìn)的，后來(lái)發(fā)現(xiàn)它們竟有著鮮明的幾何意義！這種“簡(jiǎn)潔美”與“和諧美”真是一箭雙雕！

我們應(yīng)當(dāng)注意到，數(shù)學(xué)教學(xué)中這種“簡(jiǎn)潔美”不勝枚舉。教師若能適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這種美進(jìn)行有意識(shí)的追求，可以逐步培養(yǎng)學(xué)生的求簡(jiǎn)意識(shí)。又如，在“坐標(biāo)平移”內(nèi)容中，圓的方程

這時(shí)圓的方程的美進(jìn)一步得到了質(zhì)的升華——達(dá)到“簡(jiǎn)潔美”的高峰！

滲透數(shù)學(xué)“簡(jiǎn)潔美”的教學(xué)，一方面可以培養(yǎng)學(xué)生的求簡(jiǎn)意識(shí)；另一方面，更重要的是通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)長(zhǎng)期的實(shí)踐，學(xué)生會(huì)逐步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在整個(gè)自然科學(xué)中有著其它學(xué)科不可替代的重要地位，它是一種簡(jiǎn)化復(fù)雜問(wèn)題的重要的科學(xué)方法，是一切自然科學(xué)與社會(huì)科學(xué)的基礎(chǔ)科和工具科。

3 利用數(shù)學(xué)的和諧美與統(tǒng)一美，培養(yǎng)學(xué)生的審美意識(shí)

在音樂(lè)中優(yōu)美的旋律留給人的記憶是長(zhǎng)遠(yuǎn)的，數(shù)學(xué)的和諧美與統(tǒng)一美正猶如優(yōu)美的旋律一樣。古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯有一句至理名言：“凡是美的東西都具有共同的特性，這就是部分與部分，整體與整體之間的協(xié)調(diào)一致。”

1)進(jìn)行平面幾何教學(xué)時(shí)，不能不挖掘“黃金分割”之和諧美：建筑師設(shè)計(jì)的很多矩形窗戶(hù)是符合“黃金分割”的；晚會(huì)報(bào)幕人站在舞臺(tái)上的黃金分割點(diǎn)將達(dá)到最佳境界；令人撲朔迷離的維納斯雕像符合黃金分割；莊嚴(yán)美麗的五角星上也有許多黃金分割點(diǎn)；此外，法國(guó)的巴黎圣母院、中國(guó)故宮的構(gòu)圖都融入了“黃金分割”的匠心。

2)天地間有無(wú)數(shù)個(gè)圓，因?yàn)閳A形最精致、最完美，所以人們總是用“圓滿(mǎn)”來(lái)表示一切的成功。其實(shí)，在解析幾何中，圓的表示方法多種多樣：①平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓；②平面內(nèi)保持互相垂直的兩條直線(xiàn)分別繞著兩個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，則兩直線(xiàn)交點(diǎn)的軌跡是圓；③平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)a(a＞0且a≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓；④平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離的平方和為常數(shù)

3）圓錐曲線(xiàn)中橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)本是互不相同的曲線(xiàn)（例如橢圓與拋物線(xiàn)無(wú)漸近線(xiàn)，橢圓與雙曲線(xiàn)是有心曲線(xiàn)，拋物線(xiàn)是無(wú)心曲線(xiàn)等等），但可以用統(tǒng)一的定義將它們表示出來(lái)：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)與一條定直線(xiàn)的距離之比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡：當(dāng)0<><1,e>1,e=1時(shí)分別表示橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)，而且在極坐標(biāo)系中它們有統(tǒng)一形式的方程ρ=ep/(1－cosθ)。<1,e>

4）在立體幾何中，棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)與球體這七種幾何體似乎是互不相容、毫不相干的，然而若把柱體、錐體、球體當(dāng)作臺(tái)體的特殊形式，那么利用中截面面積公式

   5）在學(xué)習(xí)排列組合內(nèi)容時(shí)，這里還有兩個(gè)典型的例子：①方程x+y+z+u=100總共有多少組正整數(shù)解？如何與所學(xué)的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)呢？你能否找到一個(gè)數(shù)學(xué)模型與這個(gè)問(wèn)題統(tǒng)一起來(lái)？經(jīng)過(guò)學(xué)生的思考，有學(xué)生想到了一個(gè)組合的模型：有100個(gè)相同的球排成一列，現(xiàn)用三塊木板把它們隔開(kāi)，分成4個(gè)部分，每部分至少有一個(gè)球，共有多少種分法？至此問(wèn)題易解。②設(shè)A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8}，從A到B的映射中，滿(mǎn)足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射一共有多少個(gè)？

應(yīng)該說(shuō)上面的第二個(gè)問(wèn)題對(duì)學(xué)生是有一定的難度的，但教師將這兩個(gè)問(wèn)題放在一起，以讓他們有個(gè)對(duì)比聯(lián)想。從學(xué)生自行設(shè)計(jì)的組合模型使第一個(gè)問(wèn)題得到和諧解決，進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生考慮第二個(gè)問(wèn)題與第一個(gè)問(wèn)題是否有聯(lián)系？立即有學(xué)生想到，從A到B的映射可分為三類(lèi)：五對(duì)一的映射有

至此用組合問(wèn)題的“隔板法”使兩個(gè)表面上看毫無(wú)相關(guān)的問(wèn)題得到統(tǒng)一解決。

世界之大，千事萬(wàn)物之紛繁復(fù)雜，竟有這么多既相互對(duì)立又和諧統(tǒng)一的完美的一體。所有這一切，喚醒了學(xué)生的審美意識(shí)，讓他們真正體驗(yàn)到數(shù)學(xué)美的境界是美不勝收的，從而激發(fā)起他們強(qiáng)烈的求知欲；激起他們刻苦拼搏的奮斗精神。

統(tǒng)一性是數(shù)學(xué)美的重要特征之一，多樣性的統(tǒng)一更是數(shù)學(xué)上更高層次的美的規(guī)律。對(duì)統(tǒng)一性的追求曾極大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，也給數(shù)學(xué)工作者和數(shù)學(xué)教育者提供了探索和創(chuàng)造科學(xué)奇跡的科學(xué)思想和方法論原則，進(jìn)而使學(xué)生在學(xué)習(xí)掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，受到具有思想和方法論意義上的審美教育。

4 利用數(shù)學(xué)的奇異美，培養(yǎng)學(xué)生的求異意識(shí)

數(shù)學(xué)家龐加萊說(shuō)：“數(shù)學(xué)的優(yōu)美感不過(guò)就是問(wèn)題的解答適合我們心靈需要而產(chǎn)生的一種滿(mǎn)足?！睌?shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)模型化方法是一道道絢麗多姿的耀眼的光芒，它們獨(dú)特的奇異美，精巧絕倫，令人賞心悅目。充分利用這種不可抗拒的奇異美的魅力，可以培養(yǎng)學(xué)生的求異意識(shí)，從而逐步培養(yǎng)起創(chuàng)新意識(shí)以至創(chuàng)造性思維的能力。例如：

在不等式中，課本有這樣的典型題：已知a、b、c是正實(shí)數(shù)，且a<>< span=''>，求證<>

作為教師，我們是否象課本上一樣用分析法講清就完事了呢？筆者認(rèn)為，這是一個(gè)內(nèi)涵豐富的問(wèn)題，可以從以下幾個(gè)問(wèn)題加以引申：

①在化學(xué)上，這個(gè)式子表示：在濃度為b/a的溶液中加入溶質(zhì)m時(shí)，溶液的濃度會(huì)變大（所述的不等式“不證自明”）.

從以上問(wèn)題的深刻挖掘，讓學(xué)生逐步理解到，數(shù)學(xué)的“奇異美”來(lái)源于現(xiàn)實(shí)世界，又將現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行“高度抽象化”，從而它具有廣泛的應(yīng)用性。

2）設(shè)a、b、c、d是互不相等的實(shí)數(shù)，作函數(shù)

的圖像。

事實(shí)上，這是一個(gè)關(guān)于x的三次式，式子對(duì)稱(chēng)優(yōu)美，但太復(fù)雜了，作圖像談何容易。仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=a，x=b,x=c,x=d時(shí)，f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=1,這說(shuō)明三次方程f(x)－1=0有四個(gè)互不相等的實(shí)根，這是不可能的。故對(duì)x∈R恒有f(x)=1。圖像是一條直線(xiàn)——數(shù)學(xué)方法是多么的奇妙！

3）在三角函數(shù)內(nèi)容中，課本有例題：求值

教師除按幾種常規(guī)方法講解外，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個(gè)方面來(lái)思考（以下只考慮前者）：

①在△ABC中，由正弦定理及余弦定理，得

以上這些不同的思考方法構(gòu)思巧妙、解法新穎，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法的奇異美、創(chuàng)新美，給學(xué)生思想方法上深深的啟迪。

數(shù)學(xué)方法的奇異美可以給人以?xún)?nèi)動(dòng)力，引導(dǎo)直覺(jué)和猜想，誘發(fā)與激勵(lì)學(xué)生開(kāi)拓思維的靈活性和創(chuàng)造性，發(fā)掘構(gòu)思奇巧、獨(dú)特的尋求問(wèn)題解決的方法。

科學(xué)家愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)，熱愛(ài)是最好的老師。筆者已深深體會(huì)到這句話(huà)的真諦?，F(xiàn)在教師常常看到，有些學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)，總是覺(jué)得數(shù)學(xué)難學(xué)，又枯燥無(wú)味。幾年來(lái)筆者就是為了解決將學(xué)生中對(duì)數(shù)學(xué)的“要我學(xué)”的被動(dòng)式學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)椤拔乙獙W(xué)”的主動(dòng)性學(xué)習(xí)而不懈地努力。在教學(xué)的雙邊活動(dòng)中，我堅(jiān)持不斷地深入鉆研教材，充分利用教材以及課外相關(guān)的美育素材，適時(shí)點(diǎn)拔與有意識(shí)的引導(dǎo)，學(xué)生在長(zhǎng)期的“數(shù)學(xué)美”的熏陶下受到了潛移默化，他們覺(jué)得數(shù)學(xué)不再是索然無(wú)味了，而是生動(dòng)有趣、令人振奮、激勵(lì)人奮發(fā)向上的“美科學(xué)“，他們變得“人人喜歡數(shù)學(xué)”了，基本上人人的數(shù)學(xué)成績(jī)都得到了穩(wěn)步的提高，有些同學(xué)還獲得了省級(jí)和全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽一、二、三等獎(jiǎng)。一位學(xué)生給我寫(xiě)上這樣的一段話(huà)：“老師，你利用數(shù)學(xué)美來(lái)指導(dǎo)教學(xué)，使課堂氣氛異常活躍，我們?nèi)嗤瑢W(xué)都覺(jué)得生動(dòng)有趣?，F(xiàn)在我們已深深地愛(ài)上了數(shù)學(xué)，以至于每節(jié)數(shù)學(xué)課結(jié)束以后，我們都覺(jué)得余味無(wú)窮，內(nèi)心熱切地等待著下一節(jié)數(shù)學(xué)課的到來(lái)……”——我想這是“數(shù)學(xué)美育”在教學(xué)中取得的初步成效吧！

數(shù)學(xué)美育是數(shù)學(xué)教育中的一朵艷麗多姿的奇葩，是數(shù)學(xué)教育中一道輝煌燦爛的曙光。它對(duì)培養(yǎng)非智力因素，提高學(xué)習(xí)興趣，以趣激學(xué)，促使學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)的逐步形成，有著非常重要的作用。教學(xué)中是否善于適時(shí)地挖掘美育，讓學(xué)生受到數(shù)學(xué)美的藝術(shù)熏陶，將是數(shù)學(xué)教學(xué)成功與否的關(guān)鍵。

參考文獻(xiàn)：

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       3.許興華。在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練。中學(xué)數(shù)學(xué)。1994，1。