目錄

·1.指數(shù)平滑定義及公式

·2.一次指數(shù)平滑

·3二次指數(shù)平滑

·4.三次指數(shù)平滑

·5指數(shù)平滑系數(shù)α的確定

1、指數(shù)平滑的定義及公式

       產(chǎn)生背景：指數(shù)平滑由布朗提出、他認為時間序列的態(tài)勢具有穩(wěn)定性或規(guī)則性，所以時間序列可被合理地順勢推延；他認為最近的過去態(tài)勢，在某種程度上會持續(xù)的未來，所以將較大的權數(shù)放在最近的資料。

       基本原理：指數(shù)平滑法是移動平均法中的一種，其特點在于給過去的觀測值不一樣的權重，即較近期觀測值的權數(shù)比較遠期觀測值的權數(shù)要大。根據(jù)平滑次數(shù)不同，指數(shù)平滑法分為一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法等。但它們的基本思想都是：預測值是以前觀測值的加權和，且對不同的數(shù)據(jù)給予不同的權數(shù)，新數(shù)據(jù)給予較大的權數(shù)，舊數(shù)據(jù)給予較小的權數(shù)。

       方法應用：指數(shù)平滑法是生產(chǎn)預測中常用的一種方法。也用于中短期經(jīng)濟發(fā)展趨勢預測，所有預測方法中，指數(shù)平滑是用得最多的一種。

指數(shù)平滑法的基本公式：St=a*yt+(1-a)*St-1 式中，

　　St--時間t的平滑值；

　　yt--時間t的實際值；

　　St-1--時間t-1的平滑值；

　　a--平滑常數(shù)，其取值范圍為[0,1]

據(jù)平滑次數(shù)不同，指數(shù)平滑法分為：一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑和三次指數(shù)平滑法等。

當時間數(shù)列無明顯的趨勢變化，可用一次指數(shù)平滑預測。其預測公式為：

　　             y^t+1'=a*yt+(1-a)*yt'     式中，

·    y^t+1'--t+1期的預測值，即本期（t期）的平滑值St ；

·    y^t--t期的實際值；

·    y^t'--t期的預測值，即上期的平滑值S^t-1 。

例題：已知某種產(chǎn)品最近15個月的銷售量如下表所示：

用一次指數(shù)平滑值預測下個月的銷售量y16。

 為了分析加權系數(shù)a的不同取值的特點，分別取a=0.1,a=0.3,a=0.5計算一次指數(shù)平滑值，并設初始值為最早的三個數(shù)據(jù)的平均值，：以a = 0.5的一次指數(shù)平滑值計算為例，有

計算得到下表：

按上表可得  時間15月對應的19.9  26.2  28.1可以分別根據(jù)預測公式來預測第16個月的銷售量。

以a = 0.5為例：        y₁₆=0.5*29+(1-0.5)*28.1=28.55（萬臺）

由上述例題可得結論

1）指數(shù)平滑法對實際序列具有平滑作用，權系數(shù)（平滑系數(shù)）a  越小，平滑作用越強，但對實際數(shù)據(jù)的變動反應較遲緩。

2）在實際序列的線性變動部分，指數(shù)平滑值序列出現(xiàn)一定的滯后偏差的程度隨著權系數(shù)（平滑系數(shù)）a  的增大而減少，但當時間序列的變動出現(xiàn)直線趨勢時，用一次指數(shù)平滑法來進行預測仍將存在著明顯的滯后偏差。因此，也需要進行修正。修正的方法也是在一次指數(shù)平滑的基礎上再進行二次指數(shù)平滑，利用滯后偏差的規(guī)律找出曲線的發(fā)展方向和發(fā)展趨勢，然后建立直線趨勢預測模型，故稱為二次指數(shù)平滑法。

3、二次指數(shù)平滑預測

1）  a為加權系數(shù)；

2）  指數(shù)平滑法對實際序列具有平滑作用，權系數(shù)（平滑系數(shù)）越小，平滑作用越強，但是對實際數(shù)據(jù)的變動反映較遲緩；

3）  在實際序列的線性變動部分，指數(shù)平滑值序列出現(xiàn)一定的滯后偏差的程度隨著權系數(shù)(平滑系數(shù))的增大而減少；但當時間序列的變動出現(xiàn)直線趨勢時，用一次指數(shù)平滑法來進行預測仍將存在著明顯的滯后偏差。因此，也需要進行修正。

4）  修正的方法也是在一次指數(shù)平滑的基礎上再進行二次指數(shù)平滑，利用滯后偏差的規(guī)律找出曲線的發(fā)展方向和發(fā)展趨勢，然后建立直線趨勢預測模型，故稱為二次指數(shù)平滑法。

在一次指數(shù)平滑的基礎上得二次指數(shù)平滑 的計算公式為：                                                                      

·     式中： S_t⁽²⁾——第t周期的二次指數(shù)平滑值；

·                 S_t⁽¹⁾——第t周期的一次指數(shù)平滑值；

·                 S_t-1⁽²⁾——第t-1周期的二次指數(shù)平滑值；

·                 a ——加權系數(shù)（也稱為平滑系數(shù)）。

 二次指數(shù)平滑法是對一次指數(shù)平滑值作再一次指數(shù)平滑的方法。它不能單獨地進行預測，必須與一次指數(shù)平滑法配合，建立預測的數(shù)學模型，然后運用數(shù)學模型確定預測值。

二次指數(shù)平滑數(shù)學模型：

 

例題2：某地1983年至1993年財政入的資料如下，試用指數(shù)平滑法求解趨勢直線方程并預測1996年的財政收入

例3：已知某廠1978～1998年的鋼產(chǎn)量如下表所示，試預測1999年、2000年該廠的鋼產(chǎn)量。（用excel如何實現(xiàn)平滑指數(shù)）

下面利用指數(shù)平滑工具進行預測，具體步驟如下：  
   選擇工具菜單中的數(shù)據(jù)—數(shù)據(jù)分析命令，此時彈出數(shù)據(jù)分析對話框。      

   在分析工具列表框中，選擇指數(shù)平滑工具。      

   這時將出現(xiàn)指數(shù)平滑對話框，如圖所示：

一次指數(shù)平滑設置及輸出

二次指數(shù)平滑設置及輸出

最終結果輸出及計算

根據(jù)二次平滑指數(shù)數(shù)學模型進行計算a、b值。

得到趨勢線預測模型：y=3994.9+141.2T，從而可以計算出：

y₁₉₉₉=3994.9+141.2*1=4136.14

y₂₀₀₀=3994.9+141.2*2= 4277.34

4、三次指數(shù)平滑預測

       若時間序列的變動呈現(xiàn)出二次曲線趨勢，則需要采用三次指數(shù)平滑法進行預測。三次指數(shù)平滑是在二次指數(shù)平滑的基礎上再進行一次平滑，其計算公式為：

三次指數(shù)平滑法的預測模型為：

         三次指數(shù)平滑的計算表：

解：通過實際數(shù)據(jù)序列呈非線性遞增趨勢，采用三次指數(shù)平滑預測方法。解題步驟如下。確定指數(shù)平滑的初始值和權系數(shù)（平滑系數(shù)）a。設一次、二次指數(shù)平滑的初始值為最早三個數(shù)據(jù)的平均值，即

實際數(shù)據(jù)序列的傾向性變動較明顯，權系數(shù)（平滑系數(shù)）a 不宜取太小，故取a= 0.3。 

根據(jù)指數(shù)平滑值計算公式依次計算一次、二次、三次指數(shù)平滑值：

計算非線性預測模型的系數(shù)a_t,b_t,c_t。目前周期數(shù)t = 11，將表1.6中的有關數(shù)據(jù)代入式（1-19）、式（1-20）、式（1-21）后分別得

建立非線性預測模型。將各系數(shù)代入式（1-18）得

預測2007年和2008年的產(chǎn)品銷售量。2007年，其預測超前周期為T = 1；2008年，其預測超前周期為T = 2。代入模型，得預測2007年和2008年的產(chǎn)品銷售量。2007年，其預測超前周期為T= 1；2008年，其預測超前周期為T= 2。代入模型，得

于是得到2007年的產(chǎn)品銷售量的預測值為809萬臺，2008年的產(chǎn)品銷售量的預測值為920萬臺。預測人員可以根據(jù)市場需求因素的變動情況，對上述預測結果進行評價和修正。

在指數(shù)平滑法中，預測成功的關鍵是a的選擇。a的大小規(guī)定了在新預測值中新數(shù)據(jù)和原預測值所占的比例。a值愈大，新數(shù)據(jù)所占的比重就愈大，原預測值所占比重就愈小，反之亦然。

·    （1）對數(shù)據(jù)的轉折點缺乏鑒別能力，但這一點可通過調查預測法或專家預測法加以彌補。

·   （2）長期預測的效果較差，故多用于短期預測。

 指數(shù)平滑法的優(yōu)點：

·    （1）對不同時間的數(shù)據(jù)的非等權處理較符合實際情況。

·    （2）實用中僅需選擇一個模型參數(shù)a 即可進行預測，簡便易行。

·    （3）具有適應性，也就是說預測模型能自動識別數(shù)據(jù)模式的變化而加以調整。