將拓?fù)鋵W(xué)概念引入凝聚態(tài)物理，研究物質(zhì)相變和粒子量子化起源，是近幾十年來的一個研究熱點(diǎn)。特別是近十年來，拓?fù)浣^緣體和量子反?；魻栃?yīng)等方向的研究蓬勃興起。未來如果各類拓?fù)湫?yīng)能真正實(shí)現(xiàn)應(yīng)用，再次得到諾貝爾獎青睞也不無可能。

        以此為契機(jī)，本文簡單介紹一下拓?fù)涓拍罴捌湓诠鈱W(xué)中的應(yīng)用。值得一提的是，本次大獎獲得者之一的Haldane，也正是光子拓?fù)鋺B(tài)研究方向的開創(chuàng)者之一。

拓?fù)湫巫兪疽鈭D

        作為數(shù)學(xué)的一個分支，拓?fù)鋵W(xué)主要關(guān)注幾何圖形在連續(xù)形變后還能保持不變的一些整體性質(zhì)。它只考慮近鄰間的關(guān)系而非外形和大小。如上圖所示，在不破壞近鄰關(guān)系的情況下（不開孔、不粘合），一個球形的實(shí)心橡皮泥可以捏成一個碗或勺子，卻捏不成一個圓環(huán)或眼鏡。由此，我們說球和圓環(huán)、眼鏡具有不同的拓?fù)鋽?shù)，即虧格數(shù)g。g必定為整數(shù)，通常等于物體開孔的數(shù)量，比如球形g=0，環(huán)形g=1，眼鏡g=2。

        在凝聚態(tài)物理中，物質(zhì)的能帶結(jié)構(gòu)在倒空間進(jìn)行描述，而倒空間的能帶結(jié)構(gòu)也可具有不同的拓?fù)湫再|(zhì)。

        當(dāng)能帶對應(yīng)不同拓?fù)鋽?shù)的材料接觸時，在其表面會出現(xiàn)無能隙的邊界態(tài)連接兩邊（邊界態(tài)數(shù)目取決于兩者的陳數(shù)差）。邊界態(tài)可以起到拓?fù)浔Ｗo(hù)作用，表現(xiàn)為完全背散射抑制和缺陷免疫的單向輸運(yùn)。拓?fù)鋺B(tài)是介于絕緣體和金屬之間的一種新物態(tài)。

普通絕緣體、量子霍爾和量子自旋霍爾效應(yīng)的邊界態(tài)示意圖

        光學(xué)拓?fù)鋺B(tài)會為系統(tǒng)帶來一些新奇特性，這些奇異性質(zhì)在光開關(guān)、光通訊以及計(jì)算等領(lǐng)域有著巨大的應(yīng)用前景。加之近幾十年來關(guān)于光子晶體和超構(gòu)材料的研究^[5-7]，已形成一套集合能帶理論、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和表征方法的完整研究思路，這為構(gòu)建人工電磁結(jié)構(gòu)以實(shí)現(xiàn)光學(xué)拓?fù)鋺B(tài)提供了有力手段。

        隨后，麻省理工學(xué)院研究小組在實(shí)驗(yàn)上首次觀測到TM偏振光的背散射抑制的單通拓?fù)涔庾討B(tài)^[10]，其中用于破壞時間反演對稱性的旋磁材料為釩摻雜的鈣鐵榴石圓柱。在外加磁場下（0.20 T），頻率為4.5 GHz左右時，手性邊界態(tài)的前向傳播和背向傳播的幅值比大于50 dB，其具有缺陷免疫和繞過障礙物單向傳播的魯棒性質(zhì)，如下圖所示。

量子霍爾邊界態(tài)單向傳輸示意圖

        由于磁響應(yīng)的頻率不高，以旋磁材料為基礎(chǔ)實(shí)現(xiàn)光量子霍爾效應(yīng)，一般局限于微波波段（旋電材料最多到紅外波段），難以應(yīng)用在紅外乃至可見光頻段。

        實(shí)驗(yàn)表明，光（633 nm）可沿z方向繞其邊界無背散射傳播（單向螺旋上升），具有一定的缺陷免疫能力，如下圖所示。

光Floquet拓?fù)浣^緣體示意圖

        如下圖所示，順（逆）時針傳播模式經(jīng)過一個小元格會產(chǎn)生符號相反的有效規(guī)范勢。這兩種模式光可類比電子“自旋”，繞邊界單向傳輸。實(shí)驗(yàn)上證實(shí)通訊波段光（1539 nm）的單向傳輸和無反射繞過晶格缺失缺陷的特性。這種基于共振耦合微腔的結(jié)構(gòu)可完全對應(yīng)于網(wǎng)格模型下的Floquet拓?fù)浣^緣體^[14]。需要注意的是，此兩類模型中，兩種光贗自旋是完全脫耦的，所以這種拓?fù)鋺B(tài)的缺陷免疫特性僅限于自旋不反轉(zhuǎn)的情況。

基于共振耦合環(huán)的模型

        電子系統(tǒng)中拓?fù)浣^緣體具有一對自旋鎖定并且受時間反演對稱性保護(hù)的單向傳播的拓?fù)溥吔鐟B(tài)，而光子（玻色子，自旋為1）與電子（費(fèi)米子，自旋1/2）有本質(zhì)區(qū)別，二者的時間反演算符（玻色子，T_b^2=1；費(fèi)米子，T_f^2=-1）也不相同。所以，要實(shí)現(xiàn)光拓?fù)浣^緣體，關(guān)鍵在于為光子構(gòu)造一對贗自旋以對應(yīng)于成對的電子自旋，也即構(gòu)造滿足與T_f^ 數(shù)學(xué)形式一致的贗時間反演算符。

        隨后，中山大學(xué)研究小組基于介電常數(shù)/磁導(dǎo)率匹配超構(gòu)材料，在微波頻段實(shí)現(xiàn)了對此類拓?fù)溥吔鐟B(tài)的傳輸特性的測試^[16]。同樣，具有雙曲形能帶的雙各向異性超構(gòu)材料也可用于實(shí)現(xiàn)拓?fù)鋺B(tài)^[17]。        

        南京大學(xué)研究小組理論提出了一種基于壓電／壓磁超晶格構(gòu)成的時間反演破缺的光拓?fù)浣^緣體模型，利用的是左、右旋光為贗自旋對，如下圖所示。其中，光拓?fù)鋺B(tài)不像電子系統(tǒng)中那樣受時間反演對稱性保護(hù)，取而代之的是一種人工構(gòu)造的贗時間反演對稱性T_p^ （T_p^2=-1）保護(hù)的邊界態(tài)^[18]。

光拓?fù)浣^緣體偏振-軌道依賴傳播示意圖

        除了考慮偏振自由度來模擬電子自旋，還可以通過設(shè)計(jì)晶體對稱性構(gòu)造贗時間反演對稱性（可視為一類拓?fù)渚w絕緣體），利用光布洛赫態(tài)間的模式自由度來模擬電子自旋。日本NIMS 研究人員理論上提出可通過復(fù)式六方晶格中的C_6旋轉(zhuǎn)對稱性構(gòu)造出基于布洛赫態(tài)模式雜化的光量子自旋霍爾態(tài)^[19]。該設(shè)計(jì)不需要考慮復(fù)雜的偏振耦合，更有利于利用純介電光子晶體來構(gòu)造光拓?fù)浣^緣體。

        三維系統(tǒng)存在的拓?fù)鋺B(tài)更為豐富，例如能帶結(jié)構(gòu)中可能出現(xiàn)的線節(jié)點(diǎn)、三維狄拉克點(diǎn)或者更為基本的外爾（Weyl）點(diǎn)。外爾點(diǎn)是一個線性簡并點(diǎn)，可視為動量空間中貝里通量的單極子，與拓?fù)洳蛔兞筷悢?shù)緊密相關(guān)。麻省理工學(xué)院研究人員等通過在螺旋二十四面體光子晶體中引入宇稱破缺，在理論上預(yù)言并在實(shí)驗(yàn)上觀測到了光子晶體能帶結(jié)構(gòu)中的外爾點(diǎn)^[20,21]。     

注：在文本準(zhǔn)備過程中，南京大學(xué)孫曉晨博士提供了熱心幫助，盧明輝和陳延峰兩位教授給予了耐心指導(dǎo)，在此一并表示感謝！

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