在時(shí)間序列中，我們需要基于該時(shí)間序列當(dāng)前已有的數(shù)據(jù)來預(yù)測(cè)其在之后的走勢(shì)，三次指數(shù)平滑(Triple/Three Order Exponential Smoothing,Holt-Winters)算法可以很好的進(jìn)行時(shí)間序列的預(yù)測(cè)。

  時(shí)間序列數(shù)據(jù)一般有以下幾種特點(diǎn)：1.趨勢(shì)(Trend)  2. 季節(jié)性(Seasonality)。

  趨勢(shì)描述的是時(shí)間序列的整體走勢(shì)，比如總體上升或者總體下降。下圖所示的時(shí)間序列是總體上升的：

  季節(jié)性描述的是數(shù)據(jù)的周期性波動(dòng)，比如以年或者周為周期，如下圖：

  三次指數(shù)平滑算法可以對(duì)同時(shí)含有趨勢(shì)和季節(jié)性的時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，該算法是基于一次指數(shù)平滑和二次指數(shù)平滑算法的。

  一次指數(shù)平滑算法基于以下的遞推關(guān)系：

  si=αx_i+(1-α)s_i-1 

  其中α是平滑參數(shù)，s_i是之前i個(gè)數(shù)據(jù)的平滑值，取值為[0,1]，α越接近1，平滑后的值越接近當(dāng)前時(shí)間的數(shù)據(jù)值，數(shù)據(jù)越不平滑，α越接近0，平滑后的值越接近前i個(gè)數(shù)據(jù)的平滑值，數(shù)據(jù)越平滑，α的值通?？梢远鄧L試幾次以達(dá)到最佳效果。

  一次指數(shù)平滑算法進(jìn)行預(yù)測(cè)的公式為：x_i+h=s_i，其中i為當(dāng)前最后的一個(gè)數(shù)據(jù)記錄的坐標(biāo)，亦即預(yù)測(cè)的時(shí)間序列為一條直線，不能反映時(shí)間序列的趨勢(shì)和季節(jié)性。

  二次指數(shù)平滑保留了趨勢(shì)的信息，使得預(yù)測(cè)的時(shí)間序列可以包含之前數(shù)據(jù)的趨勢(shì)。二次指數(shù)平滑通過添加一個(gè)新的變量t來表示平滑后的趨勢(shì)：

  s_i=αx_i+(1-α)(s_i-1+t_i-1)

  t_i=?(s_i-s_i-1)+(1-?)t_i-1

  二次指數(shù)平滑的預(yù)測(cè)公式為  x_i+h=s_i+ht_i  二次指數(shù)平滑的預(yù)測(cè)結(jié)果是一條斜的直線。

  三次指數(shù)平滑在二次指數(shù)平滑的基礎(chǔ)上保留了季節(jié)性的信息，使得其可以預(yù)測(cè)帶有季節(jié)性的時(shí)間序列。三次指數(shù)平滑添加了一個(gè)新的參數(shù)p來表示平滑后的趨勢(shì)。

  三次指數(shù)平滑有累加和累乘兩種方法，下面是累加的三次指數(shù)平滑

  s_i=α(x_i-p_i-k)+(1-α)(s_i-1+t_i-1)

  t_i=?(s_i-s_i-1)+(1-?)t_i-1

  p_i=γ(x_i-s_i)+(1-γ)p_i-k  其中k為周期

  累加三次指數(shù)平滑的預(yù)測(cè)公式為： x_i+h=s_i+ht_i+p_{i-k+(h mod k)}  注意：數(shù)據(jù)之魅P88此處有錯(cuò)誤，根據(jù)Wikipedia修正。

  下式為累乘的三次指數(shù)平滑：

 s_i=αx_i/p_i-k+(1-α)(s_i-1+t_i-1)

  t_i=?(s_i-s_i-1)+(1-?)t_i-1

  p_i=γx_i/s_i+(1-γ)p_i-k  其中k為周期

  累乘三次指數(shù)平滑的預(yù)測(cè)公式為： x_i+h=(s_i+ht_i)p_{i-k+(h mod k)}   注意：數(shù)據(jù)之魅P88此處有錯(cuò)誤，根據(jù)Wikipedia修正。

  α，?，γ的值都位于[0,1]之間，可以多試驗(yàn)幾次以達(dá)到最佳效果。

  s,t,p初始值的選取對(duì)于算法整體的影響不是特別大，通常的取值為s₀=x₀,t₀=x₁-x₀,累加時(shí)p=0,累乘時(shí)p=1.

  我們使用DataMarket的International Airline Passengers數(shù)據(jù)來測(cè)試?yán)奂雍屠鄢巳沃笖?shù)平滑算法的性能，該數(shù)據(jù)記錄的是每月的國(guó)際航線乘客數(shù)：

  下圖為使用累加三次指數(shù)平滑進(jìn)行預(yù)測(cè)的效果：其中紅色為源時(shí)間序列，藍(lán)色為預(yù)測(cè)的時(shí)間序列，α，?，γ的取值為0.45，0.2，0.95：

  下圖為累乘三次指數(shù)平滑進(jìn)行預(yù)測(cè)的效果，α，?，γ的取值為0.4，0.05，0.9：

  可以看到三次指數(shù)平滑算法可以很好的保存時(shí)間序列數(shù)據(jù)的趨勢(shì)和季節(jié)性信息，在International Airline Passengers數(shù)據(jù)集上累乘平滑指數(shù)算法的效果更好。

參考文獻(xiàn)：

  [1]. 數(shù)據(jù)之魅：基于開源工具的數(shù)據(jù)分析

  [2]. DataMarket: International Airline Passengers

  [3]. Wikipedia: Exponential Smoothing