第一章知識歸納

一、有理數基本概念

1.正數與負數

我們把以前學過的數大于零叫做正數。有時在正數前面也加上“+”（正）號。 如+0.5、+3、+1/2……“＋”號可以省略。

我們把在以前學過的數（0除外）前面加上負號“-”的數叫做負數。如－３、－０.５、-2/3……           

0既不是正數也不是負數，0是正負數的分界。

正數與負數可以用來表示具有相反意義的量。

相反意義的量包含兩個要素：一是它們的意義要相反；二是它們都具有數量。與一個量成相反意義的量不止一個。

2．有理數

正整數、0統(tǒng)稱自然數；正整數、0、負整數統(tǒng)稱整數；正分數和負分數統(tǒng)稱分數。

整數和分數統(tǒng)稱有理數

整數可以看做分母為1的分數。正整數、0、負整數、正分數、負分數都可以寫成分數的形式。

可以這樣說:有理數都能寫成分數的形式；能寫成分數（分子分母互質）形式的數是有理數. 

有理數的分類（兩種）

3. 數軸   

規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸。

數軸的三要素：原點、正方向、單位長度

任何有理數都可以用數軸上的點表示，有理數與數軸上的點是一一對應的。

數軸上的點表示的數從左到右依次增大；原點左邊的數是負數，原點右邊的數是正數.

4.相反數

一般地，設a是一個正數，數軸上與原點的距離是a的點有兩個，他們分別在原點的左右，表示－a和a，我們說這兩點關于原點對稱.

只有符號不同的兩個數叫做互為相反數.（絕對值相等，符號不同的兩個數叫做互為相反數）

正數的相反數是負數，負數的相反數是正數，0的相反數是0.

在一個數前面添上“-”號,表示這個數的相反數.

5.絕對值

在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做這個數的絕對值。對任意有理數a，

正數的絕對值是它本身；負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0。  （互為相反數的兩個數的絕對值相等。）

6.比較大小

（1）數軸上兩個點表示的數，右邊的總比左邊的大。正數大于0，負數小于0，正數大于負數。

（2）方法總結：

兩個正數比較大小，與小學一致； 正數與零比較，正數大于零； 正數與負數比較，正數大于負數； 負數與零比較，負數小于零； 兩個負數比較，絕對值大的反而小。

二、 有理數的加減法

1.有理數的加法

有理數的加法法則：（先確定符號，再算絕對值）

（1） 同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；

（2） 異號兩數相加，絕對值不相等時，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；

（3） 互為相反數的兩個數相加得0；（如果兩個數的和為0，那么這兩個數互為相反數）

（4） 一個數同0相加，仍得這個數。

有理數的加法運算律：

2.有理數的減法

有理數的減法法則：

注：兩個變化：減號變成加號；減數變成它的相反數。

3.有理數的加減混合運算

規(guī)則：運用減法法則將加減混合運算統(tǒng)一為加法進行運算

（為了書寫簡便，可以把已經統(tǒng)一為加法運算的式子中各個加數的括號和它前面的加號省略，寫成省略加號的和的形式。）

步驟：（1）減法化加法；

     （2）省略括號和加號；

     （3）運用加法運算律使計算簡便；

     （4）運用有理數加法法則進行計算。

注：運用加法運算律時，可按如下幾點進行：

（1）同號的先結合；（2）同分母的分數或者比較容易通分的分數相結合；（3）互為相反數的兩數相結合；（4）能湊成整數的兩數相結合；（5）帶分數一般化為假分數或者分為整數和分數兩部分，再分別相加。

三、有理數的乘除法

1.有理數的乘法

有理數的乘法法則：

（1）兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。

（2）任何數同0相乘，都得0.

倒數：乘積是1的兩個有理數互為倒數。0沒有倒數。

多個有理數相乘的法則及規(guī)律：

    （1）幾個不是0的數相乘，負因數的個數是奇數時，積是負數； 負因數的個數是偶數時，積是正數。確定符號后，把各個因數的絕對值相乘。

（2）幾個數相乘，有一個因數為0，積為0；反之，如果積為0，那么至少有一個因數是0.

注：帶分數與分數相乘時，通常把帶分數化成假分數，再與分數相乘。

2.有理數的乘法運算律

（2）兩數相除（被除數不為0），同號得正，異號得負，并把絕對值相除。

0除以任何不為0的數，都得0。

步驟：先確定商的符號，再算出商的絕對值。

4.有理數的乘除混合運算

運算順序：從左往右進行，將除法化成乘法后，進行約分計算。

（注：帶分數應首先化為假分數進行運算）

5.有理數的四則混合運算

運算順序：先乘除，后加減，有括號要先算括號里面的。

注：除法一般先化為乘法，帶分數化為假分數，合理使用運算律。

四、有理數的乘方

乘方的規(guī)律：

負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。

正數的任何次冪都是正數，0的任何正整數次冪都是0.

2.有理數的混合運算

運算順序：（1）先乘方，再乘除，最后加減；

（2）同級運算,從左到右進行；

（3）如有括號，先算括號里的，按小括號、中括號、大括號的順序。

4.近似數和有效數字

在實際問題中，由“四舍五入”得到的數或大約估計的數都是近似數。（近似數小數點后的末位數是0的，不能去掉0.）

一個近似數從左邊第一位非0的數字起，到末位數字止，所有的數字都是這個數的有效數字。一個近似數有幾個有效數字，就稱這個近似數保留幾個有效數字。

精確度：表示一個近似數與準確數的接近程度。一個近似數，四舍五入到哪一位，就稱這個數精確到哪一位。