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芝諾是2500年前一位古希臘的哲學(xué)家，他想出了許多著名的悖論，其中一個相信不少人都聽說過，因?yàn)槟鞘且粋€故事，叫做阿基里斯與龜。 善跑英雄阿基里斯和烏龜比賽跑，因?yàn)辇斉艿煤苈?，阿基里斯決定讓它100米，然后再開始跑。當(dāng)阿基里斯沖刺了100米到了烏龜原來出發(fā)的位置，但這時烏龜已經(jīng)爬了10米。 所以阿基里斯不得不繼續(xù)追趕烏龜。當(dāng)他又跑了10米到達(dá)烏龜原來的位置時，烏龜又爬了1米，所以阿基里斯還得繼續(xù)追趕，如此循環(huán)往復(fù)！ 所以這個悖論的記錄那是：阿基里斯不能追上烏龜！這太可怕了，因?yàn)槲覀兌贾浪隙茏飞?，事?shí)上就是能追上。 芝諾提出的另一個悖論和這個很相似，是這樣的，很簡單，任何人都可以隨時做這個動作感受一下。 舉起雙手，手心相對進(jìn)行拍掌動作，這個動作很簡單。如果保持一只手不動，比如說左手不動，右手慢慢靠近左手直到完成擊掌。 當(dāng)你這么做的時候，你實(shí)際上是在不斷減半雙手間的距離，比如說兩只手開始相距1米遠(yuǎn)，當(dāng)右手靠近左手的過程中，你在不斷對1米的距離進(jìn)行減半，減半，再減半，開始相距1米，然后是0.5米，0.25米…因?yàn)橛袩o限多次的減半，所以你不可能完成擊掌！但顯然不是這樣的，這是個悖論。 到底發(fā)生了什么？為什么一個有無限多步驟的過程就這樣結(jié)束了呢？ 當(dāng)然，從數(shù)學(xué)角度來解釋上面的問題會很簡單，數(shù)學(xué)家早已經(jīng)搞定了這個問題。簡單說一下，假設(shè)兩只手開始相距1米，第二次靠近時右手靠近了1/2米，繼續(xù)靠近，雙手距離又經(jīng)過了1/4米… 右手走過的距離就是：S=1/2+1/4+1/8+1/16… 這里有一個小技巧，將上面整個數(shù)列乘以1/2，我們就得到下面的算式： ?。?/2）S=1/4+1/8+1/16+1/32… 現(xiàn)在將兩列相減，左邊我們得到（1/2）S，而右邊要一項一項減，記住第一列數(shù)據(jù)的第一個數(shù)也就是1/2拉下來，從第二個數(shù)1/4開始減第二列的第一個數(shù)（1/4），我們會發(fā)現(xiàn)1/4和1/4抵消，1/8和1/8抵消…，后面所有項都抵消了，只剩下1/2。 也就是1/2S=1/2，即S=1。所以一共就是1米，也就是說右手走過的距離是1米，即便經(jīng)歷了無限多個步驟，右手走過的距離還是1米！ 當(dāng)然時間也是很重要的一方面，如果你雙手每靠近半米需要一秒鐘，在無窮多的時間后能走完1米，但你花費(fèi)了無窮多的時間。但事實(shí)上并不是如此，只需要2秒鐘你就能完成擊掌動作，算法同上面類似。 所以這樣的級數(shù)我們說它是“良態(tài)”的，當(dāng)你一項一項加起來，這列數(shù)的和越來越靠近某個數(shù)。如果級數(shù)的部分和越來越靠近某數(shù)時，我們就說它是“良態(tài)”的，而加到無窮多項時，級數(shù)剛好等于那個值，這就是悖論的真相。 這樣的悖論給人的感覺就像你在有限的時間里完成了一個無窮多步的過程，這個過程并沒有最后一步，那你是如何完成的呢？ 這同樣是個悖論，這個問題困惑了人們兩千多年，很多著名的思想家都曾被這個問題難倒。這涉及到一個問題，如果我們在現(xiàn)實(shí)世界，把一件東西（或時間）無限次的分割下去，這樣能做到嗎？也就是說，時間和空間可以被無限分割嗎？ 或許真正的無限只存在于數(shù)學(xué)里，在物理學(xué)領(lǐng)域，普朗克長度和時間就是最小的空間和時間單位！ |
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