化繁為簡 以簡馭繁：從混沌中尋找秩序，從經(jīng)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從感性土壤中開出理性之花.

一、定點(diǎn)到定點(diǎn)?連線段

點(diǎn)P在直線l上，AP BP何時(shí)最??？

二、定點(diǎn)到定線?作垂線

點(diǎn)P在直線l上，AP何時(shí)最?。?/span>

三、定點(diǎn)到定圓?連心線

點(diǎn)P在圓O上，AP何時(shí)最??？

線段最值問題一般轉(zhuǎn)化為上述三個(gè)問題.

例題賞析：

1.如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，

OP平分∠AOB，且OP=6，當(dāng)△PMN的周長最小值為            ．

思路：把點(diǎn)P分別沿OA、OB翻折得P₁、P2，周長即為P1M MN P2N，轉(zhuǎn)化為求P1、P2兩點(diǎn)之間最小值，得△PMN最小值為P1P2＝OP＝6.

2.如圖，在銳角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC

于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM MN的最小值是           ．

思路：點(diǎn)N沿AD翻折至AC上，BM MN＝BM MN'，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B到直線AC的連線最小值，即BN'⊥AC時(shí)，最小值為2√2.

3.如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A為圓心、1為半徑畫圓，E是⊙A

上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是BC上的一動(dòng)點(diǎn)，則FE FD的最小值是           ．

思路：點(diǎn)D沿BC翻折至D'，DF EF＝D'F EF，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)D'到圓A上各點(diǎn)的最小距離，易求D'E＝4.

4.拋物線y=3/5x²-18/5x 3與直線y=3/5x 3相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，直線PM∥y軸，交拋物線于點(diǎn)N．在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，求出MN的最大值.

思路：設(shè)M（m，3/5m²-18/5m 3），N（m，3/5m 3），用函數(shù)關(guān)系式表示MN=（3/5m 3）-（3/5m²-18/5m 3）=21/5m-3/5m²，求得最大值即可.

5.在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=8，BD=6，點(diǎn)E、F分別是邊  AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，存在PE PF 的最小值，則這個(gè)最小值是                        .       

思路：點(diǎn)E沿AC翻折，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離.（將軍飲馬問題實(shí)質(zhì)就是通過翻折轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)到定點(diǎn)的問題）

6.如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為                        .   

思路：取AB中點(diǎn)E，連接DE、OE，由兩點(diǎn)間線段最短，得OD≤OE DE，最大為1 √2.

7.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B′CP，連接B′A，則B′A長度的最小值是        ．

簡解：B'點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑為以C為圓心，BC為半徑的圓弧，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓的最短距離AC-B'C=1.

8.如圖，正方形ABCD的邊長為1，中心為點(diǎn)O，有一邊長大小不定的正六邊形EFGHIJ繞點(diǎn)O可任意旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，這個(gè)正六邊形始終在正方形ABCD內(nèi)（包括正方形的邊），當(dāng)這個(gè)六邊形的邊長最大時(shí)，AE的最小值為         .

思路：正六邊形最大半徑為1/2，與正方形中心重合，E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑為圓，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到圓的最短距離，如下圖.

9.在⊙O中，圓的半徑為6，∠B=30°，AC是⊙O的切線，則CD的最小值是     .

思路：D是定點(diǎn)，C是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到線的最短距離.

10.在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=3/5，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△A'B'C，點(diǎn)E是BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，在△A'B'C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F'，求線段EF'長度的最大值與最小值的差.

思路：先確定線段A'B'的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓環(huán)，外圓半徑為BC，內(nèi)圓半徑為AB邊上的高，F(xiàn)'是A'B'上任意一點(diǎn)，因此F'的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓環(huán)內(nèi)的任意一點(diǎn)，由此轉(zhuǎn)化為點(diǎn)E到圓環(huán)的最短和最長距離.

E到圓環(huán)的最短距離為EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8，E到圓環(huán)的最長距離為EF1=EC CF1=3 6=9，其差為7.2.

問：何時(shí)需要作輔助線翻折其中的定點(diǎn)（定線或定圓）？

答：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)所在直線不在定點(diǎn)（定線或定圓）之間時(shí)，需把定點(diǎn)（定線或定圓）沿動(dòng)點(diǎn)所在直線翻折以使定點(diǎn)（定線或定圓）處于動(dòng)點(diǎn)所在直線的兩側(cè)，從而便于連接相關(guān)線段或作垂線與動(dòng)點(diǎn)所在直線找到交點(diǎn).如上述例3，動(dòng)點(diǎn)F所在直線不在定圓A和定點(diǎn)D之間，因而需把D點(diǎn)沿BC翻折至D'，即可轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)D'到定圓A的最短距離，另外亦可把圓A沿BC翻折至另一側(cè)，同樣可以轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)D到定圓A'的最短距離，如下圖.

關(guān)鍵方法：動(dòng)中求定，動(dòng)點(diǎn)化定線；以定制動(dòng)，定點(diǎn)翻兩邊.

（1）動(dòng)中求定，動(dòng)點(diǎn)化定線：如例7、例8、例10，動(dòng)點(diǎn)所在路徑未畫出時(shí)需先畫出動(dòng)點(diǎn)所在軌跡，一般動(dòng)點(diǎn)所在軌跡為線或圓.

（2）以定制動(dòng)，定點(diǎn)翻兩邊：如例1、例2、例3、例5，定點(diǎn)（線或圓）在動(dòng)點(diǎn)所在直線同側(cè)時(shí)需翻折至兩側(cè)，轉(zhuǎn)化為上述三種關(guān)系.