12.1 二重積分

將一元函數(shù)積分推廣來看對于連續(xù)函數(shù) f(x,y) 如何求二重積分. 每個二重積分都可以方便地用定積分的方法分步進行計算.

矩形區(qū)域上的二重積分

設 f(x,y) 在矩形區(qū)域 R: a<=x<=b, c<=y<=d 上有定義. 如果 R 被分別平行于 x 軸和 y 軸的直線網(wǎng)格所劃分成許多小塊面積 ? A="? x? y" . 如下動畫所示

當網(wǎng)格不斷進行細分使 ?x 和 ?y 都趨近零時, 則趨于 R 的面積趨近于極限值, 則稱該極限值為 f 在 R 上的二重積分, 記為:

值得注意的是 f 函數(shù)的連續(xù)性是二重積分存在的一個充分條件, 對于許多不連續(xù)的函數(shù), 該極限也存在.

二重積分的性質(zhì)

連續(xù)函數(shù)的二重積分也有一些代數(shù)性質(zhì):

作為體積的二重積分

當 f(x,y) 為正函數(shù)時, 則可以把矩形區(qū)域 R 上的 f 函數(shù)二重積積分視為曲面為 z=f(x,y) 的棱柱體的體積.

計算二重積分的 Fubini 定理

現(xiàn)在 計算 xy 平面內(nèi)矩形區(qū)域 R ： 0<=x<=2， 0<=y<=1 在平面 z=4-x-y 下面的體積。 求其二重積分的過程請看下面的動畫。

也就是說體積可以這樣計算出來: 先固定 x, 將 4-xy 先關于 y 從 y=0 到 y=1, 然后再對所得 x 的表達式關于 x 從 x=0 到 x=2 積分. 則體積可以寫成表達式:

上述表達式稱為二重積分或累次積分(iterated integral).

Guido Fubini(圭多.富比尼) 在1907年證明了矩形域上任意一個連續(xù)函數(shù)的二重積分都可以用兩種累次積分的任一種次序計算.

有界非矩形區(qū)域上的二重積分

函數(shù) f(x,y) 在非矩形區(qū)域 R 上的二重積分, 設想被網(wǎng)格覆蓋, 不過在 R 內(nèi)的小塊面積為紅色, 如下圖所示:可以看到隨著網(wǎng)格不斷細分, R內(nèi)包含的小矩形方塊越來越趨于零時, S 就會有極限, 則稱該極限為 f 在 R 上的二重積分:

如果 f(x,y) 為正, 且在 R 上連續(xù), 則曲面 z=ff(x,y) 與 R 之間的立體趨于的體積為:

觀看下面的動畫:

在 xy 平面內(nèi), 如果 R 是一個由兩條曲線 g1(x) 和 g2(x) 圍城的區(qū)域. 則也可以用切片法來求體積. 先計算截面面積 A(x):

然后再對 A(x) 從 x=a 到 x=b 作積分可以求得體積:

觀察下面動畫 A(x) 從 x=a 到 x=b 作積分的過程: