的應(yīng)用是同樣的廣泛．

e的發(fā)現(xiàn)：復(fù)利問題

在18世紀(jì)初，數(shù)學(xué)大師萊昂哈德．歐拉（Leonard Euler）發(fā)現(xiàn)了這個自然常數(shù)e（又稱歐拉數(shù)）。

歐拉：一直這么帥！

當(dāng)時，歐拉試圖解決由另一位數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在半個世紀(jì)前提出的問題。

伯努利的問題與復(fù)利有關(guān)。假設(shè)你在銀行里存了一筆錢，銀行每年以100%的利率兌換這筆錢。一年后，

現(xiàn)在假設(shè)銀行每六個月結(jié)算一次利息，但只能提供利率的一半，即50%。在這種情況下，一年后的收益為（1+50%）^2=2.25倍。

而假設(shè)銀行每月提供8.3%（100%的1/12）復(fù)利息，或每周1.9%（100%的1/52）復(fù)利息。在這種情況下，一年后你會賺取投資的（1+1/12）^12 = 2.61倍和（1 1/52）^52 = 2.69倍。

根據(jù)這個規(guī)律，可以得到一條通式。如果假設(shè)n為利息復(fù)利的次數(shù)，那么利率就是其倒數(shù)1/n。一年后的收益公式為（1+1/n）^n。例如，如果利息每年復(fù)利5次，那收益則為初始投資的（1+1/5）^5 = 2.49倍。

那么，如果n變得很大，會怎樣？如果n變得無限大，那（1+1/n）^n是否也會變得無限大？這就是伯努利試圖回答的問題，但直到50年后才由歐拉最終獲得結(jié)果。

原來，當(dāng)n趨于無窮大時，（1+1/n）^n并非也變得無窮大，而是等于2.718281828459……這是一個類似于圓周率的無限不循環(huán)小數(shù)（即無理數(shù)），用字母e表示，被稱為自然常數(shù)。

微積分中重要的公式

自然常的發(fā)明者：約翰．納皮爾

納皮爾是天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家,在計算軌道數(shù)據(jù)時,也被浩瀚的計算量所折磨。

看起來在數(shù)學(xué)實踐中,最麻煩的莫過于大數(shù)字的乘法、除法、開平方和開立方,計算起來特別費事又傷腦筋,于是我開始構(gòu)思

有什么巧妙好用的方法可以解決這些問題。但納皮爾不是般人,不想像民工一樣苦逼的重復(fù)勞動,于是用了20年的時間,進(jìn)

行了數(shù)百萬次的計算,發(fā)明了對數(shù)和對數(shù)表,堪稱學(xué)霸中的戰(zhàn)斗機(jī)。拉普拉斯認(rèn)為“對數(shù)的發(fā)現(xiàn)，以其節(jié)省勞力而延長了天文

學(xué)家的壽命”伽利略說過“給我空間、時間及對數(shù)，我就可以創(chuàng)造一個宇宙?！?/p>

它為什么叫自然常數(shù)，而不是其它常數(shù)？

這個問題我想也是大家思考的問題，e＝2.718281828459……是自然律一種量的表達(dá)．自然律的表達(dá)是＂螺線＂，

螺線一般有五種形式：１對數(shù)螺線２阿基米德螺線３連鎖螺線４雙曲螺線５回旋螺線

阿基米德螺線

回旋螺線

雙曲螺線

等角螺線或?qū)?shù)螺線或生長螺線是在自然界常見的螺線，在極坐標(biāo)系(r, θ)中，這個曲線可以寫為

看不懂忽略

對角螺線是由笛卡兒在1638年發(fā)現(xiàn)的。雅各布．伯努利后來重新研究之。他發(fā)現(xiàn)了等角螺線的許多特性，如等角螺線經(jīng)過各種適當(dāng)?shù)淖儞Q之后仍是等角螺線。他十分驚嘆和欣賞這曲線的特性，故要求死后將之刻在自己的墓碑上，并附詞「縱使改變，依然故我」(eadem mutata resurgo)?？上У窨處熣`將阿基米德螺線刻了上去．

鸚鵡螺的貝殼像對數(shù)螺線

菊的種子排列成對數(shù)螺線

鷹以對數(shù)螺線的方式接近它們的獵物

昆蟲以對數(shù)螺線的方式接近光源

蜘蛛網(wǎng)的構(gòu)造與對數(shù)螺線相似

旋渦星系的旋臂差不多是對數(shù)螺線。銀河系的四大旋臂的傾斜度約為 12°。

低氣壓(熱帶氣旋、溫帶氣旋等)的外觀像對數(shù)螺線

英國蓍名畫家和藝術(shù)理論家荷迦茲深深感到:旋渦形或螺線開形逐漸縮小到它們的中心,都是美的形狀。事實上,我們

也很容易在古今的藝術(shù)大師的作品中找到螺線。為什么我們的感覺、我們的'精神的”眼睛經(jīng)常能夠本能地和直觀地從這樣

—種螺線的形式中得到滿足呢?這難道不意味著我們的精神,我們的“內(nèi)在”世界同外在世界之間有一種比歷史更原始的同構(gòu)

對應(yīng)關(guān)系嗎?

我們知道,作為生命現(xiàn)象的基礎(chǔ)物質(zhì)蛋白質(zhì),在生命物體內(nèi)參與著生命過程的整個工作,它的功能所以這樣復(fù)雜

高效和奧秘?zé)o窮,是同其結(jié)構(gòu)緊密相關(guān)的?；瘜W(xué)家們發(fā)現(xiàn)蛋白質(zhì)的多鈦鏈主要是螺旋狀的,決定遺傳的物質(zhì)—核酸結(jié)構(gòu)也是

螺旋狀的。古希臘人有一種稱為風(fēng)鳴琴的樂器,當(dāng)它的琴弦在風(fēng)中振動時,能產(chǎn)生優(yōu)美悅耳的音調(diào)。這種音調(diào)就是所謂的“渦

流尾跡效應(yīng)”。讓人深思的是,人類經(jīng)過漫長歲月進(jìn)化而成的聽覺器官的內(nèi)耳結(jié)構(gòu)也具渦旋狀。這是為便于欣賞古希臘人的

風(fēng)鳴琴嗎?還有我們的指紋、發(fā)旋等等,這種審美主體的生理結(jié)構(gòu)與外在世界的同構(gòu)對應(yīng),也就是“內(nèi)在”與“外在”和諧的自然

基礎(chǔ)．我想這就是為什么稱之為自然常數(shù)的原因．

數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的應(yīng)用

又用上了這圖

自然常數(shù)也和質(zhì)數(shù)分布有關(guān)。有某個自然數(shù)a，則比它小的質(zhì)數(shù)就大約有

個。在a較小時，結(jié)果不太正確。但是隨著a的增大，這個定理會越來越精確。這個定理叫素數(shù)定理，由高斯發(fā)現(xiàn)。

此外自然常數(shù)還有別的用處。比如解題。請把100分成若干份，使每份的乘積盡可能大。把這個題意分析一下，就是求兩

個數(shù)a和b，使ab=100，求a的b次方的最大值。（說明，a可以為任意有理數(shù)，b必須為整數(shù)。）此時，便要用到自然常

數(shù)。這需要使a盡量接近e。則b應(yīng)為100/e≈36.788份，但由于份數(shù)要為整數(shù)，所以取近似值37份。這樣，每份為

100/37，所以a的b次方的最大值約為“94740617+167818+32.652”。

e是極為常用的超越數(shù)之一，它通常用作自然對數(shù)的底數(shù)。因為e=2.7182818284... ，極為接近循環(huán)小數(shù)2.71828(1828循

環(huán))，那就把循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)271801/99990，所以可以用271801/99990表示為e最接近的有理數(shù)約率，精確度高達(dá)

99.9999999(7個9)% 。

e對于自然數(shù)的特殊意義

所有大于2的2n形式的偶數(shù)存在以

為中心的共軛奇數(shù)組，每一組的和均為2n,而且至少存在一組是共軛素數(shù)

可以說

是素數(shù)的中心軸，

只是奇數(shù)的中心軸。

改變世界的二十個公式之一：歐拉公式

最偉大的公式

這個公式將我們最常見的常數(shù)０、1、i、e、π集合在一起，可以說是最完美的公式，最偉大的公式！

偉大理由：

1、自然數(shù)的“e”含于其中。 自然對數(shù)的底，大到飛船的速度，小至蝸牛的螺線，誰能夠離開它？

2、最重要的常數(shù) π 含于其中。 世界上最完美的平面對稱圖形是圓?！白顐ゴ蟮墓健蹦軌螂x開圓周率嗎？ (還有π和e是兩個最重要的無理數(shù)！)

3、最重要的運算符號 + 含于其中。 之所以說加號是最重要的符號，是因為其余符號都是由加號派生而來。減號是加法的逆逆運算，乘法是累計的加法……

4、最重要的關(guān)系符號 = 含于其中。 從你一開始學(xué)算術(shù)，最先遇見它，相信你也會同意這句話。

5、最重要的兩個元在里面。零元0 ，單位1 ，是構(gòu)造群，環(huán)，域的基本元素。如果你看了有關(guān)《近世代數(shù)》的書，你就會體會到它的重要性。

6、最重要的虛單位 i 也在其中。 虛單位 i 使數(shù)軸上的問題擴(kuò)展到了平面，而在哈密爾的 4 元數(shù)與 凱萊的 8 元數(shù)中也離開不了它。 之所以說她美，是因為這個公式的精簡。她沒有多余的字符，卻聯(lián)系著幾乎所有的數(shù)學(xué)知識。 有了加號，可以得到其余運算符號； 有了0，1，就可以得到其他的數(shù)字； 有了 π 就有了圓函數(shù)，也就是三角函數(shù)； 有了 i 就有了虛數(shù)，平面向量與其對應(yīng)，也就有了哈密爾的 4 元數(shù)，現(xiàn)實的空間與其對應(yīng)； 有了 e 就有了微積分，就有了和工業(yè)革命時期相適宜的數(shù)學(xué)。