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初學量子力學該側(cè)重于偏微分方程,還是線性代數(shù)?

 大隆龍 2018-04-21

這是個相當專業(yè)的問題。是的,在某種意義上,初學量子力學應(yīng)該以線性代數(shù)為主,而不是微分方程(更不用說偏微分方程)。

這里說的線性代數(shù),指的是量子力學中這些要點:

一個體系的全部信息,都包含在它的量子狀態(tài)中(這話的意思是,任何一個可測量的物理量,都可以通過對這個量子狀態(tài)做一系列計算得到);

一個量子狀態(tài),對應(yīng)于一個態(tài)空間中的矢量;

兩個矢量可以進行相加運算,也可以把一個矢量乘以一個常數(shù),加法和乘法的結(jié)果仍然是這個態(tài)空間里的矢量;

兩個矢量可以進行點乘(dot product)運算,得到一個數(shù),稱為它們的內(nèi)積;

每一個可測量的物理量,都對應(yīng)于一個算符(operator),更具體地說,是一個厄米(Hermitian)算符,意思就是對這個算符做轉(zhuǎn)置再做復(fù)共軛,就會回到這個算符自身。為什么可測量的物理量對應(yīng)的都是厄米算符呢?因為物理量的測量值必然是實數(shù),而厄米算符的本征值(eigenvalue)也必然是實數(shù),這樣兩者才能對應(yīng)上;

每一個厄米算符,都對應(yīng)著一系列本征矢量(eigenvector)和相應(yīng)的本征值,這些本征矢量構(gòu)成這個態(tài)空間的一組基,也就是說,態(tài)空間中的每一個矢量都可以表示成這些本征矢量的線性疊加;

對一個量子狀態(tài)測量某個物理量時,得到的結(jié)果必然是這個物理量對應(yīng)的某個本征矢量,而得到這個本征矢量的幾率等于最初的量子態(tài)與最終的本征態(tài)之間的內(nèi)積的絕對值平方……

所有這些要點,都是非常基本而革命性的,思維方式和經(jīng)典力學或者日常直覺完全不同。

而學量子力學的一個常見的毛病,就是一頭扎進薛定諤方程的求解當中。那你有無窮的細節(jié)可以推敲了,一時半會出不來:一維無限深方勢阱怎么求,一維有限深方勢阱怎么求,球形勢阱怎么求,勢阱中間加個delta函數(shù)怎么求,氫原子怎么求,氫分子離子怎么求,氦原子怎么求,氫分子怎么求,一般性的分子體系怎么求……

問題在于,你干嘛要一上來就知道這么多數(shù)學技巧?!如果你不會解這些微分方程,難道你對量子力學就一無所知了嗎?常有的一種情況是,解起具體的方程來一套一套的,說到量子力學的整體框架反而錯誤百出。當然,更常見的情況是,直接被微分方程嚇跑了,量子力學根本學不下去。

既然如此,何不先把用線性代數(shù)語言表示的量子力學基本框架搞清楚?在這方面,狄拉克的名著《量子力學原理》就非常值得推薦。

《量子力學原理》

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