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世間并沒有適用萬題的套路，但有可通過分析、轉(zhuǎn)化而探尋的出路。很多特殊三角形存在性問題或特殊四邊形存在問題其本質(zhì)是給原題增加了一個關(guān)于幾何特征的條件，如何配合原有條件，合理尋找轉(zhuǎn)化出路才是關(guān)鍵！  2017年奉賢二模第25題 已知：如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C在半徑OB上，AC的垂直平分線交OA于點D，交弧AB于點E，聯(lián)結(jié)CD． …… （3）聯(lián)結(jié)CE，當(dāng)△DCE是以CD為腰的等腰三角形時（重點研討：CD=CE），求CD的長  解析 由條件'AC的垂直平分線'得'AD=DC'，其恰與第（3）問中'DC=CE'（等腰討論的一種情況）串聯(lián)，可得AD=DC=CE，有了三邊等不難想到連接AE，由于點E也在AC的中垂線上，于是'AD=DC=CE=AE'，繼而可得四邊形ADCE是菱形。  特殊四邊形的性質(zhì)主要有“邊、角、對角線”三方面，得到菱形后又該如何轉(zhuǎn)化呢？ 注意到題目中隱含條件：點E在圓上（原題：交弧AB于點E），點在圓上，該點到圓心的距離等于半徑，聯(lián)結(jié)OE，構(gòu)成△OEC，由于菱形，CE∥AO，得EC⊥OB，△OEC是直角三角形，根據(jù)勾股定理便尋到了本題的出路：邊的數(shù)量關(guān)系！   思維路徑圖  2017年長寧二模第25題 在圓O中，C是弦AB上的一點，聯(lián)結(jié)OC并延長，交劣弧AB于點D，聯(lián)結(jié)AO、BO、AD、BD. 已知圓O的半徑長為5 ，弦AB的長為8 …… （3）若四邊形AOBD是梯形（側(cè)重研討：AD∥OB），求AD的長  解析 對于兩直線平行而言，若不借助其產(chǎn)生新的特殊圖形，則有三條路徑可供選擇： ① 邊的關(guān)系（比例線段）； ② 角的關(guān)系（角等或角互補）； ③ 平行線間距離處處相等。 1 在前問中，已經(jīng)通過添加“弦心距”，繼而用x的代數(shù)式表示了OC的長。本題第（3）問中，若AD∥OB，則形成了'八字形'，構(gòu)成比例線段，繼而通過解下圖中的方程可得：AD=14/5  2 從角的角度入手，不難發(fā)現(xiàn)由于AD∥OB，∠OBA=∠BAD，則∠OAD=2∠A。 從戰(zhàn)略角度，∠A是定角則∠A的倍角也是定角，以∠A的倍角為底角的等腰△OAD三邊關(guān)系隨之確定，由于已知OA=5，則AD的長亦是定值； 從戰(zhàn)術(shù)角度，如何求∠A的倍角的三角比成為解決本題的關(guān)鍵，在“不能使用初中教學(xué)大綱外的知識”的閱卷準(zhǔn)則下，可通過等腰三角形頂角的外角等于底角的兩倍構(gòu)建“模型”，當(dāng)場求出∠A倍角三角比。（AD=2×(7/25)×5=14/7）  3 由于平行線間的距離處處相等，對于AD、OB兩條平行線而言，它們之間的距離恰好就是△AOB腰上的高h(yuǎn)，因為OH=h=24/5，通過勾股定理，則AH可求，而AD=2AH=14/5  本例小結(jié) 本題中的梯形存在性問題實際上是通過分類討論，給出了一組直線平行的條件，而由平行得到的三條主要的轉(zhuǎn)化途徑本題，本題皆可使用，然簡繁有所不同，比如，比例線段的方法計算量就很大，也不適用于“AO∥BD”的情形，由此可見，幾何條件的轉(zhuǎn)化方向不止一條，根據(jù)題目需要選擇合適的轉(zhuǎn)化途徑是解決問題的關(guān)鍵！ 2017年徐匯二模第25題 已知四邊形ABCD是邊長為10的菱形，對角線AC、BD相交于點E，過點C作CFDB交AB延長線于點F，聯(lián)結(jié)EF交BC于點H。如圖，以EF為直徑作⊙O，⊙O經(jīng)過點C交邊CD于點G。 …… （3）聯(lián)結(jié)EG，當(dāng)△DEG是以DG為腰的等腰三角形時（重點研討：DE=DG），求AE的長  解析 本題第3問，在“DE=DG”情形下求AE的長，是筆者在做2017年各區(qū)二模卷過程中遇到的最大挑戰(zhàn)，在此展示一下自己的心路歷程，希望對大家有啟發(fā)。 首先，筆者做了一個轉(zhuǎn)化，由于AD長已知，在Rt△ADE中，若求出DE的長，則AE自然可得，而DE顯然是本題的“當(dāng)事方”，所以設(shè)DE=y，顯然CF=2y，寄望在后續(xù)的分析、轉(zhuǎn)化過程中能求出y的值。 然后，筆者陷入了“迷?！?，找不出可以轉(zhuǎn)化的出路，通過讀題，筆者把握住了一隱含條件，點G、點C在圓上，和例題1相仿，筆者聯(lián)結(jié)了OG、OC，進(jìn)一步冷靜地觀察圖形！ 本題的重點無疑是圖形的右半側(cè)，且通過聯(lián)結(jié)OC、OG，圓的條件也已經(jīng)用盡，于是可以進(jìn)一步簡化圖形（重新畫圖）。 觀察上圖左半部分，由于DE=DG=y、EO=GO，四邊形DEOG形成了箏形； 觀察上圖右半部分，OG=OC=OF，形成了兩個有一腰（OC）重合的等腰三角形，這兩個等腰三角形會不會全等，若全等，則CF=CG=2y，DC=3y=10，問題就會得以解決，要實現(xiàn)這個“設(shè)想”，關(guān)鍵在于找到一組等角！ 證∠GOC=∠COF（左圖），沒有方向… 證∠OGC=∠OFC（右圖），由于DB∥CF，∠OFC=∠BEH，由于箏形∠BEH=∠CGO，于是△OGC與△OCF全等得以證明。 y=10/3，AE=20√2/3 思維路徑圖 本例在筆者“迷茫”時，采用了簡化圖形、逆推和猜測等策略，其目標(biāo)依舊是發(fā)現(xiàn)并把握特殊圖形，通過合理的分析，轉(zhuǎn)化條件尋找出路！ 做壓軸題，如同走迷宮， 區(qū)別在于迷宮行徑過程中節(jié)點時的可選分叉路徑數(shù)量由做題人所儲備的知識所決定； 為了走通迷宮必然要在節(jié)點分叉處做出選擇，選擇對了自然好，選擇錯了，嘗試了，碰壁了，然后回頭也無礙； 為了走通迷宮，從迷宮的出口倒著邊猜、邊嘗試也是一種選擇，只要出路和來路相會即是成功！ 做出題時的興奮和釋然與走出迷宮時的心境相仿，都是上帝給予努力者的獎賞。 總之，平時積累每個節(jié)點的分叉選擇，關(guān)鍵時刻不停留、不遲疑，積極根據(jù)條件與結(jié)論進(jìn)行分析、轉(zhuǎn)化就是做出壓軸題的不二法門！ 吉吉初中數(shù)學(xué)小站 初中數(shù)學(xué)微課程 |
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