例題3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線

與 y 軸交于點(diǎn) C 。

（1）求該拋物線的解析式；

（2）直線 y = -x + n 與該拋物線在第四象限內(nèi)交于點(diǎn) D ，與線段 BC 交于點(diǎn) E ，與 x 軸交于點(diǎn) F ，且 BE = 4EC 。

① 求 n 的值；

② 連接 AC , CD ，線段 AC 與線段 DF 交于點(diǎn) G ，△AGG 與 △CGD 是否全等？請說明理由；

（3）直線 y = m ( m > 0 ) 與該拋物線的交點(diǎn)為 M , N （點(diǎn) M 在點(diǎn) N 的左側(cè)），點(diǎn) M 關(guān)于 y 軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn) M' ，點(diǎn) H 的坐標(biāo)為（1 ，0）.若四邊形 OM'NH 的面積為 5/3 ， 求點(diǎn) H 到 OM' 的距離 d 的值。

試題解析：

（1）∵ 拋物線 y = 3/2 x^2 + bx + c 與 x 軸交于 A（-1,0），B（2,0）兩點(diǎn)，

∴ 該拋物線的解析式 y = 3/2 x^2 - 3/2 x - 3 ；

（2）① 如圖，過點(diǎn) E 作 EE'⊥x 軸于 E‘ ，則 EE'∥OC ，

∴ BE' : OE' = BE : CE , ∵ BE = 4EC , ∴ BE' = 4OE' ,

設(shè)點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 （x , y），則 OE' = x , BE' = 4x ,

∵ B（2,0），∴ OB = 2 , 即 x + 4x = 2 ,

∴ x = 2/5 ,

∵ 拋物線 y = 3/2 x^2 - 3/2 x - 3 與 y 軸交于點(diǎn) C ，

∴ C（0，-3），設(shè)直線 BC 的解析式為 y = kx + b' ,

∵ B（2,0）, C（0，-3）,

∴ 2k + b' = 0 , -3 = b' . 解得：k = 3/2 , b' = -3 .

∴ 直線 BC 的解析式為 y = 3/2 x - 3 ,

當(dāng) x = 2/5 時 ，y = -12/5 ,

∴ E（2/5 ，-12/5），把 E點(diǎn)坐標(biāo)帶入直線 y = -x + n ，

可得 -12/5 = -2/5 + n , 解得 n = -2 ；

② △AGF 與 △CGD 全等 。理由如下：

∵ 直線 EF 的解析式為 y = -x - 2 ,

∴ 當(dāng) y = 0 時，x = -2 , ∴ F（-2,0）, OF = 2 ,

∵ A（-1,0）， ∴ OA = 1

∴ AF = 2 - 1 = 1 ，

∵ 點(diǎn) D 在第四象限，∴ 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 （1，-3），

∵ 點(diǎn) C 坐標(biāo)為 （0，-3），∴ CD∥ x 軸 ， CD = 1 ，

∴ ∠AFG = ∠CDG ，∠FAG = ∠DCG ，CD = AF，

∴ △AGF ≌ △CGD 。

（3）∵ 拋物線的對稱軸為 x = -b/2a = 1/2 , 直線 y = m ( m > 0 ) 與該拋物線的交點(diǎn)為 M , N ,

∴ 點(diǎn) M , N 關(guān)于直線 x = 1/2 對稱 ，

設(shè) N（t , m）, 則 M（1 - t , m）,

∵ 點(diǎn) M 關(guān)于 y 軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn) M' ,

∴ M'（t - 1 , m）,

∴ 點(diǎn) M' 在直線 y = m 上 ，

∴ M'N ∥x軸 ，∴ M'N = t - ( t - 1 ) = 1 ,

∴ OH = 1 = M'N , 四邊形 OM'NH 是平行四邊形 ，

設(shè)直線 y = m 與 y 軸交于點(diǎn) P ，

∵ 四邊形 OM'NH 的面積為 5/3 ，

∴ OH × OP = 1 × m = 5/3 ， 即 m = 5/3 ，

∴ OP = 5/3 ，

∴ 點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 （-4/3 , 5/3）, M'（4/3,5/3）, 即 PM' = 4/3 ,

∴ 在 Rt△OPM' 中 ，

∵ 四邊形 OM'NH 的面積為 5/3 ，

∴ OM' × d = 5/3 ,

∴ d = 5√41 / 41 。