感謝閱讀。

上一篇講述了Um接口的物理信道，這一篇將講述語音是如何“裝進”物理信道的。換句話說，上一篇講的是“路”，這一篇講的是“貨”。更具體的，這一篇講的是“貨”是怎么來的，也就是語音信號的“數(shù)字化”過程。

部分示圖和推算引用自曹志剛的《現(xiàn)代通信原理》和陳愛軍的《深入淺出通信原理》，版權(quán)歸原作者所有。為了內(nèi)容的可讀性和風(fēng)格的統(tǒng)一性，我重新進行了繪制和標注，如果存在理解不到位而產(chǎn)生的錯誤...… 這個歸我（要不還能咋地）。由于編輯器不支持輸入公式，文中對推算只能進行有限的表述，請大家結(jié)合示圖理解。

言歸正傳。

GSM系統(tǒng)的目標，是把通話一方的聲音傳送到另一方，反向亦然。在這一點上，GSM和PSTN（Public Switched Telephone Network，公共交換電話網(wǎng)絡(luò)…… 就是你家里那個座機啦）是相同的，“數(shù)字化”的原理也是相似的。

大家小時候也許玩過，用細線串接兩個紙杯底部，把線拉直便是一個簡易的通話系統(tǒng)（我們才這么無聊，現(xiàn)在小朋友都玩真手機了）。發(fā)送方對著紙杯說話，聲波使紙杯產(chǎn)生振動，振動通過細線傳送，接收方紙杯產(chǎn)生相同的振動，于是聽到發(fā)送方的聲音。這里暫且把這個系統(tǒng)稱為CUP吧。

GSM和CUP有什么不同呢？

CUP通過細線傳送聲波，只適合短距離通信。我們常說過去通信靠吼，CUP還真不如吼傳得遠。不過要是不會“千里傳音”，長距離通信還是交給GSM吧。GSM沒有直接傳送聲波，這是實現(xiàn)長距離通信的關(guān)鍵。在GSM看來，網(wǎng)絡(luò)傳送的是“信息”而不是“聲音”。發(fā)送方從“聲音”轉(zhuǎn)換為“信息”，接收方則從“信息”恢復(fù)出“聲音”。

GSM終端將聲波轉(zhuǎn)換為電平信號，再轉(zhuǎn)換為無線信號，這就比CUP傳送的遠得多，通過中繼可以實現(xiàn)更長距離的傳送。第一步又稱為聲電轉(zhuǎn)換，一百多年前貝爾就已經(jīng)實現(xiàn)了。終端通過電磁感應(yīng)將聲波轉(zhuǎn)換為隨時間連續(xù)變化的電平值，即語音信號。這就是網(wǎng)絡(luò)需要傳送的“信息”。（不太嚴格的）

電磁感應(yīng)是法拉第發(fā)現(xiàn)的（名字不幸被賈布斯盯上了），說的是：閉合電路的部分導(dǎo)體在磁場中切割磁感線時，由于磁通量發(fā)生變化，導(dǎo)體會產(chǎn)生感應(yīng)電流。動圈式話筒應(yīng)用了電磁感應(yīng)原理，將聲波轉(zhuǎn)換為膜片振動，帶動套在磁極上的線圈運動，線圈切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流。（示圖中運動的是磁極而不是線圈，大家將就看看吧… 運動是相對的嘛）

第二步有兩種方式可選擇：模擬通信或數(shù)字通信。很長一段時間里，電話、電臺和電視都使用模擬通信方式。模擬通信簡單來說就是“依葫蘆畫瓢”，發(fā)送方根據(jù)語音信號產(chǎn)生波形“一模一樣”的波動信號（比如AM調(diào)制，已調(diào)信號的包絡(luò)和基帶信號的波形是相同的），接收方從波動信號恢復(fù)出語音信號。這種通信方式我們稱為模擬通信。（CUP也可看作模擬通信系統(tǒng)）

思路很直接，問題也很多。

模擬信號容易受噪聲和干擾影響而產(chǎn)生失真，電話的雜音和電視的雪花都是信號失真的反映。模擬信號失真難以消除，長距離傳送失真還會積累，在無線環(huán)境中尤為明顯。模擬信號難以加密，信息容易被竊聽，這也是第一代移動通信系統(tǒng)（如TACS）的缺點之一。

如果把語音信號看成一段小曲（一連串高低起伏的音符），模擬通信就像發(fā)送終端跟著用戶A哼哼，接收終端聽到再唱給用戶Z聽?？梢韵胂?，用戶Z聽的和用戶A唱的多少有點差別，原因可能是唱的人跑調(diào)，或是聽的人五音不全，甚至是環(huán)境太嘈雜了。

如果小曲經(jīng)過傳唱（BTS、BSC、MSC）可能就差的更遠了。想象有這么一群人，A唱給B聽，B唱給C聽…… 經(jīng)過若干人傳唱后，最后Z聽到的會是什么樣。也許A唱的是“你是我的主打歌”，而Z聽到的卻是“你是我的豬大哥”。這就是信號的“失真”。

數(shù)字通信的思路，是把小曲記錄成簡譜，再轉(zhuǎn)換成兩線譜。兩線譜只有兩個音：低音Do和高音Do。在具體實現(xiàn)上，就是發(fā)送方把語音信號轉(zhuǎn)換成“0”和“1”構(gòu)成的數(shù)字信號（如何表示“0”和“1”有多種形式）。這個過程我們稱為“信源編碼”，或通俗的稱為“數(shù)字化”。

發(fā)送方看見“1”就唱高音Do，看見“0”就唱低音Do，接收方根據(jù)聽到的音調(diào)記錄數(shù)字信號，再解碼恢復(fù)出簡譜。高音Do和低音Do差別明顯，比音高相近的音符容易區(qū)分，即使跑點兒調(diào)（信號失真）也能猜個八九不離十。數(shù)字通信對信道的要求低于模擬通信，抗干擾性顯然強于模擬通信。

除此以外，數(shù)字通信還有很多優(yōu)點：長距離傳送可中繼放大，消除失真的積累；接收方可檢測是否存在誤碼，甚至可進行糾錯（本質(zhì)是增加冗余信息，犧牲帶寬換取可靠性）；可應(yīng)用加密保護和完整性保護，以確保信息不被竊聽或篡改。

GSM是第二代移動通信系統(tǒng)（所謂的2G網(wǎng)絡(luò)），自然采用數(shù)字通信方式。GSM希望接收方盡量還原語音信號，又希望編碼不太長以節(jié)省帶寬 —— 換句話說，就是編碼效率要高。怎么把時間連續(xù)、幅度連續(xù)的語音信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號，才可以達到GSM的期望呢？

首先得對語音信號分段。

在CUP中是沒有分段的，發(fā)送方說話細線就跟著振動，紙杯之間聲波是連續(xù)傳送的（把線一掐通話會立刻中斷）。在GSM中無線信道可不會跟著發(fā)送方說話振動，不說別的，物理信道在時間上就不是連續(xù)的（“時隙”的物理意義，終端每隔約4.615毫秒發(fā)送一次數(shù)據(jù)），怎么和發(fā)送方說話同步振動呢？（我認為這也是模擬信道和數(shù)字信道的一個差異）

在GSM看來，從語音信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號和從數(shù)字信號恢復(fù)為語音信號都是終端的事，網(wǎng)絡(luò)主要負責(zé)傳送數(shù)字信號。終端將時間連續(xù)的語音信號分段，轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號再交給網(wǎng)絡(luò)傳送。物理信道是否時間連續(xù)并不重要，只要終端產(chǎn)生信號的速率和網(wǎng)絡(luò)傳送信號的速率匹配即可，關(guān)于這點后面再來驗證。

和PSTN、VoLTE相同，GSM將語音每20毫秒分成一段。為什么取這么短呢？如果每10秒分成一段，終端要等用戶說完10秒才開始轉(zhuǎn)換，就算信號瞬間傳送到另一端，對方聽到的聲音也是10秒前產(chǎn)生的，對于時延敏感的語音業(yè)務(wù)顯然不可行。為了減輕對用戶感知的影響，分段時長必須足夠短。（也可以減輕個別分段傳送失敗的影響。）

接著，終端將20毫秒語音信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號。語音信號的時間和幅度都是連續(xù)的，取值具有無限多可能性（跟實數(shù)一樣多），要轉(zhuǎn)換為有限長度的編碼必須先離散化。在時間（橫軸）上的離散化稱為采樣，在幅度（縱軸）上的離散化稱為量化。

采樣和量化就是把小曲記錄成簡譜的過程。

如果我唱“兩只老虎”給你聽，你會怎么記錄呢？一般的歌曲，音符長度是規(guī)整的，比如一拍、兩拍、四拍等，假設(shè)只有這三種音符，每一拍記錄一次音高就可以了，因為你“確信”接下來這一拍都是這個音高。如果我唱了個兩拍的Do，你就記錄成兩個Do。這個過程就是采樣。（這里放個“兩只老虎”的鏈接，是不是覺得寫個簡譜So Easy，感覺自己滿滿的都是藝術(shù)細胞？）

如果我是個靈魂歌手，對你的考驗就大了。假如你聽到一個Do和Re之間的音，就要判斷我唱的是Do還是Re。你把音域以Do、Re、Me、Fa、So、La、Ti為中心劃分為七個區(qū)間（對不起，我不是張靚穎），不管你聽到的音多不準總會落入一個區(qū)間，記錄為相應(yīng)的音符就可以了，換句話說，聽起來像哪個就記成哪個。這個過程就是量化。

可是我來脾氣了：誰說我在唱“兩只老虎”啦，誰要你修音啦，我唱的再難聽，也得如實記錄下來。為了能更好的記錄和還原我“美妙”的歌聲，你提高了采樣頻率，劃分了更多量化區(qū)間，信心滿滿的來找我，結(jié)果發(fā)現(xiàn)我在唱“忐忑”，于是你內(nèi)心崩潰了。（這里放一個“忐忑”的鏈接，大家感受一下這種“忐忑”的心情）

數(shù)字通信的挑戰(zhàn)，就在于不能預(yù)判輸入會是什么樣（要是知道對方會說什么還打啥電話，語音信號是隨機信號，這是后續(xù)分析的重要前提）。你無法知道最短音符是一拍，如果我唱了個二分之一拍音符，每一拍采樣一次就會錯過這個變化；你也無法知道音域只有一個八度，如果我變身張靚穎，你記下一大堆高音Do，什么都還原不出來。由此可見，數(shù)字通信只適用于特定范圍的信號，對應(yīng)的頻率和幅度范圍，我們不太嚴格的稱為“動態(tài)范圍”。

即使在動態(tài)范圍內(nèi)，無論如何增加量化區(qū)間，輸出總是和輸入存在偏差。就像我們用簡譜去記錄原生態(tài)歌曲（有可能比“忐忑”還忐忑），總是無法完全還原這些歌曲的神韻。這就是“數(shù)字化”引入的失真。

如果聽覺角度不好理解，我換成視覺解釋一下。我的高中數(shù)學(xué)老師很厲害，拿著粉筆一揮就是一個圓（我總覺得和體型有關(guān)，對不起了尊敬的紀老師）。不過，大部分人是學(xué)不來的，我們是怎么畫圓的呢—— 我們會先打上一圈點，感覺差不多了再連成一個圓。（也可理解為從正多邊形逼近于圓，祖沖之也是這么干的）

GSM終端也這樣記錄和恢復(fù)語音信號的波形，終端以固定間隔記錄電平值，相當(dāng)于記錄打點位置，這個過程就是采樣。采樣獲得的電平值是個實數(shù)，取值仍然具有無窮多可能，終端將其劃歸為某個區(qū)間，并以中間值替代作為重建值，這個過程就是量化。

采樣頻率越高，量化區(qū)間越多，重建信號越接近語音信號，但相應(yīng)的編碼越長，網(wǎng)絡(luò)傳送的信息越多，需要的帶寬越大，這里存在一個平衡?？梢钥吹剑@里提到的信源編碼，本質(zhì)上依然是“依葫蘆畫瓢”，這種編碼我們稱為“波形編碼”。

來看一下采樣數(shù)對失真的影響。黃色曲線表示語音信號，藍色鋸齒線表示重建信號。采樣數(shù)為28時，重建信號和語音信號相對接近，采樣數(shù)下降到14時失真顯著增大，采樣數(shù)下降到7時失真已經(jīng)無法接受。量化區(qū)間數(shù)對信號失真的影響相似。

具體說一下采樣。

GSM采樣頻率為8KHz，20毫秒語音信號包含160個樣本。直覺上采樣頻率多高都無法避免失真，但GSM認為8KHz就足夠了，這個結(jié)論主要基于兩位老人家的發(fā)現(xiàn)，一位是傅立葉，另一位是奈奎斯特。（有的人活著，他已經(jīng)死了；有的人死了，他還在折磨學(xué)習(xí)通信的孩子…）

傅立葉說：我有一個大膽的想法！周期信號都可以分解為成諧波關(guān)系的正弦波和余弦波。這句話的數(shù)學(xué)表述就是我們常說的“傅立葉級數(shù)”。若干年后，狄利克雷（或稱為狄里赫利）證明了傅立葉的猜想在一定條件下是成立的，這些條件當(dāng)然就是“狄利克雷條件”。

狄利克雷條件說的是： <1>函數(shù)在任意的有限區(qū)間內(nèi)連續(xù)，或存在有限數(shù)量的第一類間斷點（即左極限、右極限都存在的間斷點）； <2>在一個周期內(nèi)，函數(shù)存在有限數(shù)量的極大值或極小值； <3>函數(shù)在單個周期內(nèi)絕對可積。

更具體的，傅立葉級數(shù)有兩種表述形式，第一種是三角函數(shù)，將f(t)分解為常數(shù)項、余弦級數(shù)和正弦級數(shù)。第二種是復(fù)指數(shù)函數(shù)，可根據(jù)歐拉公式由第一種轉(zhuǎn)換得到。系數(shù)cn和an、bn的關(guān)系如下：<1>c0 =a0/2； <2>n>0時，cn=(an-jbn)/2；<3>n<0時，cn=c|n|，即正負頻率成分的系數(shù)相同。

即使不經(jīng)過嚴格的證明，也可以想象周期函數(shù)為什么可以分解為正弦級數(shù)和余弦級數(shù)。一方面，周期相同的周期函數(shù)疊加依然是周期函數(shù)，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)是周期函數(shù)，如果基波cosωt和sinωt周期為T，則T也是n次諧波cosnωt和sinnωt的周期，因而成諧波關(guān)系的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)疊加依然是周期函數(shù)。另一方面，任何函數(shù)均可分解為一個奇函數(shù)[ f(t) - f(-t) ] / 2和一個偶函數(shù)[ f(t) f(-t) ] / 2，且奇函數(shù)疊加依然是奇函數(shù)，偶函數(shù)疊加依然是偶函數(shù)，而正弦函數(shù)和余弦函數(shù)正好分別是奇函數(shù)和偶函數(shù)。

由此可見，將周期函數(shù)分解為正弦級數(shù)和余弦級數(shù)是可能的，如果你接受了這個設(shè)定（來不及解釋了，快上車），剩下的事情就是計算系數(shù)an和bn了。計算的訣竅是在等式兩側(cè)同時乘以cosnωt（或sinnωt），再進行積分。計算過程利用了三角函數(shù)的正交特性，即當(dāng)m<>n時，cosmωt x cosnωt（或sinmωt x sinnωt等組合）在一個周期內(nèi)積分為0。這樣等式右側(cè)的級數(shù)就只留下了an或bn那一項不為0。

我們來嘗試分解一個周期為T，幅度為-E/2或 E/2的方波信號。由計算結(jié)果可見：an=0，即分解后只包含正弦波，這很容易理解，示圖中的方波是奇函數(shù)，因而分解后不包含余弦波（偶函數(shù)）；n為偶數(shù)時bn=0，即分解后只包含基波和奇數(shù)次諧波，其角速率（ω=2π/T=2πf）分別為ω0、3ω0、5ω0…… 角速率（或頻率）越高的諧波分量越小。

再反過來驗證一下。如果把級數(shù)的前n項疊加，可以看到n越大輸出波形越趨近于方波。n=5時疊加出方波雛形，n=11時已經(jīng)接近方波，n=31相對于n=21線條更趨于平滑，但波形差別已經(jīng)很小，可見高頻成分對輸出影響越來越小，和計算結(jié)果相吻合。

傅立葉級數(shù)有什么用呢？

用戶不是復(fù)讀機，語音信號也不是周期信號。傅立葉又說了：非周期信號，可以看作周期無限長的周期信號。當(dāng)基波的周期T趨向于無窮大時，其諧波頻率的間隔（即基波頻率f）則趨向于無窮小。傅立葉級數(shù)的求和運算轉(zhuǎn)換為積分運算。

因而，非周期信號也可分解為正弦波和余弦波，只是頻率成分不再是離散的，而是連續(xù)的。我們把不同頻率的權(quán)重稱為頻譜系數(shù)，這是一個以角速率ω（或頻率f）為自變量的函數(shù)，可記錄為F(ω)。通過f(t)計算F(ω)的（信號分解）過程稱為“傅立葉變換”，通過F(ω)計算f(t)的（信號合成）過程則稱為“傅立葉反變換”。

反過來，周期信號也可看作非周期信號的特例。周期信號的頻譜具有三個特點：<1>離散性：頻譜是離散而不是連續(xù)的；<2>諧波性：分量不為零的頻率均為基波的整數(shù)倍；<3>收斂性：或n大于某個值時F(ω)=0，或n趨近于無窮大時F(ω)趨近于0。

傅立葉變換的意義在于改變我們看信號的角度。

傅立葉告訴我們：萬物皆表象（傅立葉：對，是我說的）。時域中幅度隨時間的不同變化，等同于頻域中頻譜的不同構(gòu)成。語音信號在時域看沒什么特征，在頻域看特征卻相當(dāng)明顯：當(dāng)角頻率ω大于一定值時，頻譜系數(shù)F(ω)趨近為零。我們把具有這種特征的信號稱為“帶限信號”。

實際上，聲音信號基本都是“帶限信號”。比如說，西班牙吉他有六根琴弦，細弦比粗弦振動頻率高，發(fā)出的音也高。如果縮短琴弦振動的長度，提高振動頻率，就可以發(fā)出更高的音。吉他手彈高音時，手總是按在細弦最靠下的位置。不過這已經(jīng)是上限了，他們再怎么自我陶醉，也無法讓吉他發(fā)出更高的音。

人的聲帶就像一把吉他，振動頻率也是有范圍的，主音一般在85~1100Hz之間，因而語音信號也是一個“帶限信號”。奈奎斯特說：對于“帶限信號”，只要采樣頻率不小于原始信號最大頻率的兩倍，就可以從采樣完全恢復(fù)出原始信號。這就是“奈奎斯特采樣定理”或“香農(nóng)采樣定理”（俄羅斯人稱為“科捷利尼科夫采樣定理”，大家都記不住，所以說名字不要起的太長）。

簡單理解一下采樣定理。

在時域中，采樣相當(dāng)于原始信號和采樣脈沖（周期沖激信號）相乘，如圖所示，f(t)為原始信號，p(t)為采樣脈沖（假設(shè)采樣頻率為fs，則p(t)周期為Ts=1/fs），g(t) = f(t) x p(t)（這里的x表示乘積）即為采樣信號。

根據(jù)“時域相乘等同于頻域卷積”，在頻域中，采樣相當(dāng)于原始信號和采樣脈沖進行卷積，即G(f) = F(f) * P(f)（這里的*表示卷積），采樣脈沖的頻譜是一系列間隔為fs、強度為fs的沖激信號，原始信號和沖激信號δ( f – nfs )卷積相當(dāng)于將原始信號頻譜搬移到nfs位置，因而，采樣相當(dāng)于以fs為間隔對原始信號頻譜進行周期性拓展。

從采樣信號頻譜可見，當(dāng)fs > 2fi時（fi為原始信號最大頻率），通過低通濾波器可將原始信號過濾出來。如果fs減小，周期性拓展的頻譜相互靠近；如果fs減小到2fi，頻譜會連在一起；如果fs進一步減小，頻譜就會出現(xiàn)交疊（此時無法完全的恢復(fù)原始信號），我們把這種現(xiàn)象稱為“混疊”（Aliasing）。顯然，避免混疊的條件是采樣頻率fs不小于原始信號最大頻率fi的兩倍。

GSM是設(shè)計給“人”使用的，采樣頻率只要滿足人聲的需求就好，8KHz對低于1.1KHz的主音是足夠的，對高于1.1KHz的泛音就有點吃力了，這也是電話里的聲音不夠“保真”的原因之一。（人類的聽覺范圍是20Hz ~20KHz，而CD采樣頻率是44.1KHz，所以CD音質(zhì)對人而言已經(jīng)相當(dāng)保真，但放給電話那頭聽就不是那么回事了。）

再具體說一下量化。

前面提到，量化是把幅度劃分為多個區(qū)間，記錄采樣值落入的區(qū)間，并以代表值（離散值）替代采樣值（連續(xù)值）進行信號重建。量化不是什么新鮮概念，生活中也不時會用到。比如描述一個人的年齡，如果告訴你這個人二十幾歲，你就有了大致的印象，如果讓你猜多少歲，二十五總不會差太多。

每十年劃分成一個區(qū)間，大致描述了是少年、青年還是中年，不過有時這樣太粗放了。十一歲男生還會告同桌的狀，到十九歲都學(xué)會撩妹了，都用十幾歲來描述會丟失太多信息。把區(qū)間縮小為一年，就可以更準確的傳達年齡的信息。當(dāng)然，還可以縮小為一月或一天，但在大多數(shù)場合沒什么意義，區(qū)間大小取決于對精度的要求。（就好像我非要告訴你，這個人已經(jīng)二十七歲五個月十三天了，如果不是你提的要求我就會像個神經(jīng)?。?/span>

來看一個簡單的例子。先給輸入電平設(shè)定一個量化范圍，均勻劃分為8個區(qū)間，按電平高低編號為1~8，并對區(qū)間序號進行二進制編碼。取每個區(qū)間的中間值為量化電平，記為y1、y2… yk。采樣時刻記為t1、t2… tn，采樣電平記為s1、s2… sn。

我們來看幾個采樣電平的量化，s1、s7、s8分別落在序號4、6、8區(qū)間，輸出編碼為0112、1012和1112，接收方將編碼還原為區(qū)間序號，并以量化電平y(tǒng)4、y6、y8替代采樣電平s1、s7、s8進行信號重建。（具體實現(xiàn)中，量化和編碼往往是同時進行的，區(qū)間序號只是為了幫助大家理解，并不是必須的）

量化的本質(zhì)是一種映射。

用數(shù)學(xué)語言表達，量化是在量化范圍[-V, V]內(nèi)，把連續(xù)幅度值的無限數(shù)集合{xk}映射成離散幅度值的有限數(shù)集合{yk}。量化器Q(x)的輸入是信號幅度x，輸出是L個量化值yk（k=1,2, … ,L）中的一個取值。當(dāng)x落在xk與xk 1之間時，輸出電平為yk。xk稱為分層電平或判決閾值，Δk=xk 1-xk稱為量化間隔，yk稱為量化電平或重建電平。

更進一步的，如果在量化范圍內(nèi)量化間隔Δk是相等的，則稱為均勻量化。還是以年齡為例，將“量化范圍”0~80歲分為L=8個“量化區(qū)間”，“量化間隔”Δk都為10歲，“分層電平”xk為0、10、20…... 80，“重建電平”yk為5、15、25…... 75。如果“輸入電平”x為27，則落入20~30區(qū)間，輸出“重建電平”為25，“量化誤差”為2。

顯然，示圖中的例子也是均勻量化。只看t1、t7、t8問題不大，但看t1~t6會發(fā)現(xiàn)采樣電平s1~s6均落入序號4的區(qū)間，輸出編碼均為0112，重建信號時t1~t6的曲線會變成一條直線，電平值均為量化電平y(tǒng)4，采樣電平s1~s6的差異被抹平。這個量化器不是很理想。

怎樣才是理想的量化器呢？

在發(fā)送方，量化電平Q(x)和輸入電平x之間總是存在量化誤差（量化誤差σq=輸入電平x-量化電平Q(x)）。在接收方，量化誤差的影響表現(xiàn)為量化噪聲（σq平方的期望值），與輸入信號x的概率密度px(x)有關(guān)?？偭炕肼暿遣贿^載噪聲和過載噪聲之和。（σs平方=σq平方 σqo平方）

在通信系統(tǒng)中，我們用信號噪聲比S/N來衡量信號的失真程度，在量化中N就是量化噪聲。顯然，N越小則S/N越大。在某種程度上，輸入信號功率S的大小是不可控的（不可預(yù)知的隨機信號），而輸出噪聲功率N的大小是可控的（可以努力控制的），很容易產(chǎn)生這樣的想法：令量化噪聲最小的就是最佳量化器。

換句話說：“最佳量化”是在給定輸入信號概率密度px(x)與量化電平數(shù)L的條件下，求出一組分層電平值{xk}與量化電平值{yk}，使量化噪聲為最小值。推算可知：分層電平應(yīng)取在相鄰重建電平的中點；重建電平應(yīng)取在量化間隔的質(zhì)心上（px(x)為均勻分布時質(zhì)心就是相鄰分層電平的中點）。這和我們的直覺是一致的。

進一步推算可知，均勻量化器的不過載量化噪聲與px(x)無關(guān)，只與量化間隔Δ有關(guān)，如果給定量化范圍[-V, V]，則只與量化電平數(shù)L有關(guān)。因而，要改善示例的均勻量化器，方法就是增加量化電平數(shù)L，即增加量化區(qū)間的數(shù)量，這和我們的直覺也是一致的。

均勻量化器很簡單，但應(yīng)用在語音信號上有一定的局限性。均勻量化器的量化噪聲和輸入信號概率密度(x)無關(guān)，只有輸入信號是均勻分布時（如圖像信號），均勻量化器才是最佳量化器。可是語音信號并不是均勻分布的 —— 語音信號有兩個特點，一個是變動范圍大，嗓門、情緒或環(huán)境都會影響音量大小；另一個是以小信號為主，畢竟喜歡大呼小叫的人并不多。這些特點對信號噪聲比S/N有直接的影響。

語音信號的概率密度px(x)可近似的用拉普拉斯分布表示。假設(shè)語音信號功率為S，令D=√S/V，n為輸出編碼位數(shù)（即n=log2L），可推算出：當(dāng)D<0.2時，過載噪聲可忽略，[S/N]dB≈ 6.02n 4.77 20lgD；當(dāng)S很大時，過載噪聲起主要作用，[S/N]dB≈ 6.1/D。于是，我們得到了輸入為語音信號時均勻量化器的S/N特性。

可見，在不過載范圍內(nèi)，S和N呈線性關(guān)系（輸出編碼數(shù)n每增加1位，S/N增益約為6.02dB）；在過載范圍內(nèi)，S/N明顯下降。注意，示圖中自變量為20lgD。

如果在期望S/N（例如25dB）位置水平的畫一條線，可以看出n不同取值時輸入信號功率的動態(tài)范圍大小。顯然，n取值越大（量化級數(shù)L越大）則動態(tài)范圍越大，相應(yīng)的帶寬需求也越大。（此前，動態(tài)范圍定義為不過載的電平輸入范圍，這里重新定義為滿足S/N大于期望值的功率輸入范圍，不僅限定了輸入信號功率的最大值，也限定了最小值）。

在PSTN中，由于發(fā)送方音量的差異，語音信號功率變動范圍接近30dB，又由于話機和終端機距離的差異（和GSM不同，PSTN數(shù)字化在終端機進行，話機和終端機之間傳送的是模擬信號），線路損耗變動范圍也接近30dB，因而，量化器的輸入信號功率變化范圍接近40~50dB（在這一點上GSM有優(yōu)勢，不需要考慮線路損耗）。

由均勻量化器的S/N特性可以推算，要滿足S/N大于25dB（長途話音質(zhì)量），且動態(tài)范圍達到40~50dB（對應(yīng)上述輸入信號功率變化范圍），n要不小于12。由采樣頻率為8KHz，n=12意味著編碼速率為96Kbps —— 這是一個相當(dāng)高的要求，要知道早期的貓（Modem）速率也不過28Kbps啊。

此外，均勻量化器在各個區(qū)間的量化噪聲N是相同的，S越大S/N就越大（換句話說，就是相同的量化誤差在不同區(qū)間對S/N的影響是不同的，這很好理解，同樣是相差1歲，5歲和6歲的差別，要遠遠大于75歲和76歲的差別）。可是，語音信號大部分都是小信號，系統(tǒng)主要受限于小信號的低S/N，大信號的高S/N并沒什么意義，怎樣可以使量化器的S/N平均一些呢？

我們來做一些“優(yōu)化”。在大信號段，信號功率大，對量化噪聲的容忍度就高，可以將量化間隔Δ加大；在小信號段，信號功率小，對量化噪聲的容忍度就低，可以將量化間隔Δ減小。這樣，就可以在不增加量化級數(shù)L的情況下改善小信號的S/N（犧牲大信號“多余”的S/N）。由于量化間隔Δ不再是相同的，均勻量化變成了非均勻量化。

非均勻量化怎么實現(xiàn)呢？

非均勻量化不直接對輸入信號進行量化，而是對輸入信號非線性變換后再進行均勻量化，間接實現(xiàn)非均勻量化。更具體的，量化器通過非線性變換函數(shù)z=f(x)將采樣電平x轉(zhuǎn)換為z，再對z進行均勻量化。當(dāng)然，接收方需要通過逆變換進行還原。我們希望f(x)對大信號進行壓縮，對小信號進行擴張，因而f(x)又稱為壓擴函數(shù)。

通過令取最小值的方法，可以推算出所謂“最佳壓擴特性”的f(x)和對應(yīng)S/N特性，不過得到的f(x)過于復(fù)雜，難以實現(xiàn)。同時，“最佳”f(x)總量化噪聲最小，但動態(tài)范圍不大，并沒有得到推廣應(yīng)用。為了同時滿足高S/N和大動態(tài)范圍，我們需要S/N特性曲線比較平坦的量化器。什么樣的f(x)可以滿足需求呢？

答案是對數(shù)型函數(shù)。令f(x)=(lnx)/B，可以推算出，在量化范圍[0, V]內(nèi)S/N是由量化級數(shù)L、量化范圍V和常數(shù)B決定的固定值，這樣就有條件同時保證S/N和動態(tài)范圍。對數(shù)型函數(shù)對小信號進行了擴張，對大信號進行壓縮，也符合我們的期望。

不過，還有兩個問題要解決。一個是f(x)=(lnx)/B要求x為正，只適用于量化范圍[0, V]，要擴展到量化范圍[-V, V]并保持正負對稱，只能取x的絕對值進行量化，并在編碼增加一位作為極性碼（表示電平的正負）；另一個是當(dāng)x小于1時，z轉(zhuǎn)為負值，當(dāng)x趨近于0時，z趨近于-∞，這種特性是無法實現(xiàn)的。

實際上，使用對數(shù)型函數(shù)，主要是利用對大信號的壓縮特性，對小信號的擴張?zhí)匦裕梢杂闷渌瘮?shù)替代。更理想的特性，是當(dāng)x趨近于0時，z也趨近于0，這樣量化范圍[-V,0]和[0, V]可以同時映射在z軸上。按照這個思路，CCITT G.712建議提出了兩個改進方案：A律對數(shù)壓縮和μ律對數(shù)壓縮。（我國和歐洲采用的是A律，而美國和日本采用的是μ律，我們重點看A律就好啦）

更具體的，A律對數(shù)壓縮函數(shù)定義為：x在[0,1/A]區(qū)間，f(x) = Ax / (1 lnA)；在[1/A,1]區(qū)間，f(x) = (1 lnAx)/ (1 lnA)。μ律對數(shù)壓縮函數(shù)定義為：x在[0,1]區(qū)間，f(x) = ln(1 μx) / ln(1 μ)。A和μ為壓擴參數(shù)，表示壓擴程度。（注意，此處x為歸一化輸入，即x = |原始輸入xo| / V）

可以看到，A律壓縮將歸一化量化范圍[0,1]（對應(yīng)原始量化范圍[0, V]）分為兩段：[0,1/A]和[1/A,1]，當(dāng)x取值為1/A時，lnAx正好為0，是對數(shù)型函數(shù)輸出正值和負值的分界點。在[1/A,1]范圍f(x)使用的依然是對數(shù)特性曲線，而在[0,1/A]范圍f(x)則用一條直線替代了原來的特性曲線。

早期A律壓縮和μ律壓縮是利用二極管的非線性實現(xiàn)的，壓擴特性的穩(wěn)定性和一致性無法保證。由于發(fā)送方和接收方的壓擴特性難以匹配，信號失真增大。在數(shù)字電路技術(shù)成熟后，CCITT建議采用折線近似A律（13折線）和μ律（15折線）壓擴特性，解決穩(wěn)定性和一致性問題。示圖中為13折線，和A=87.6時的A律壓擴特性曲線十分接近。

你可能會問，圖上不是只有8段折線嗎，哪來的“13折線”？是這么回事：在整個量化范圍內(nèi)，A律壓縮函數(shù)為奇函數(shù)。如果將負值部分呈現(xiàn)出來，z軸-1到 1之間共劃分為16個段落（注意，段落并不是量化區(qū)間，只是段落內(nèi)壓擴特性相同），對應(yīng)16段折線?？拷c的4段折線斜率相同，16段折線中只有12處斜率發(fā)生變化，因而稱為13折線。

我們來看一下效果。示圖可見，如果是理想A律壓擴（A=87.6），非均勻量化相對于均勻量化小信號S/N有所提升，大信號S/N有所下降，整體而言S/N特性相對平坦，動態(tài)范圍得以擴大。在小信號段，A律對數(shù)壓縮量化比均勻量化增加了24dB。

13折線的S/N特性和理想A律相比稍有差異。在小信號段，13折線和A律特性是相同的；在大信號段，每次斜率改變量化間隔Δ增加一倍，量化噪聲N隨之突增，而信號功率S平穩(wěn)增加，因而S/N會突然下降，再隨著信號功率增加而逐漸上升，于是S/N特性曲線出現(xiàn)了6個波谷（對應(yīng)6次斜率改變），但總體而言S/N特性是比較平坦的。

不過，采用非均勻量化是不得已的選擇，GSM采用的依然是均勻量化（不要打我）。GSM量化電平數(shù)L達到8192，原始編碼位數(shù)n=log28192=13。n為8我們都覺得編碼速率太大，n為13就更加無法接受了，必須在編碼上做些功夫。

最后具體說一下編碼。

經(jīng)過采樣和量化，發(fā)送方得到160個樣本和量化電平，完成“簡譜”的記錄。接著，發(fā)送方對區(qū)間序號（量化電平）進行編碼，將“簡譜”轉(zhuǎn)換為“二線譜”。到這里，“數(shù)字化”過程就完成了。這種通過采樣、量化、編碼形成的編碼稱為PCM編碼（Pulse Code Modulation，脈沖編碼調(diào)制。這里的“調(diào)制”和上一篇提到的概念相似，不過PCM調(diào)制的“載波”是脈沖而不是正弦波）。

最簡單的，是將區(qū)間序號轉(zhuǎn)換為二進制編碼。舉個例子，如果量化范圍[-V, V]劃分為16個區(qū)間，區(qū)間序號按電平大小編號為0~15，將0~15轉(zhuǎn)換為二進制，就得到對應(yīng)編碼：00002、00012、00102...… 11112。這種二進制碼組稱為NBC（Natural Binary Code，自然二進制碼組，簡稱自然碼）。

當(dāng)然，最簡單不一定最好。NBC容易理解和記憶，這是對人而言，對機器而言就不算什么優(yōu)點了。編碼本質(zhì)上也是一種映射，理論上可逆的編碼都是可行的。除了NBC，常見的編碼還有兩種：FBC（Folded Binary Code，折疊二進制碼組，簡稱折疊碼）和RBC（Reflected Binary Code，格雷二進制碼組，簡稱格雷碼）。

FBC第一位為極性碼，表示輸入電平是正值還是負值（量化器的輸出就是編碼器的輸入），1表示正，0表示負。其余位表示幅度絕對值，以零電平為中心正負對稱，即幅度絕對值相同的正負電平，除第一位外的編碼相同，就像對稱折疊一樣。比如，如果量化電平-3的編碼是00112，那么量化電平 3的編碼就是10112，只有極性碼不同。

RBC既看不出極性也看不出幅度，規(guī)律是相鄰區(qū)間（或說相鄰量化電平，量化器輸出的是量化電平，而不是區(qū)間序號）的編碼之間只有一位是不同的：比如，區(qū)間03、04編碼是00102和01102，只有第二位不同；區(qū)間04、05編碼是01102和01112，只有第四位不同。（在后續(xù)射頻調(diào)制中會看到RBC的應(yīng)用場景）

這么多個“C”，選哪個好呢？

在位數(shù)（效率）相同時，選信號失真最小的那個。量化在發(fā)送方進行，重建在接收方進行，但量化電平不是“嗖”的一下傳過去的 —— 發(fā)送方要編碼，接收方要解碼，中間還要通過信道傳送碼流。在計算失真時，不僅要考慮量化誤差，還要考慮信道誤碼的影響（假定量化噪聲和誤碼噪聲統(tǒng)計相互獨立，則總噪聲是量化噪聲和誤碼噪聲的疊加）。

舉個例子。如果給你介紹個27歲（輸入電平）的妹子，但限于信道條件（量化級數(shù)）只能告訴你25歲（量化電平）左右，如果不考慮信道誤碼，你收到的信息就是妹子25歲（重建電平），信息偏差（量化誤差）不會大于5歲（量化間隔的一半）。

由于不好公開談?wù)撁米幽挲g，我們約定用3位編碼表示8個年齡段，即0002表示5歲左右，0012表示15歲左右...... 1112表示75歲左右（假定你不顧世俗的目光）。我發(fā)送0102給你，表示妹子25歲左右。如果沒有誤碼，你收到的也是0102，則偏差依然是2歲，即只受量化誤差影響。

如果出現(xiàn)誤碼，你收到的可能另外7個編碼中的一個，但是哪一個概率是不同的，只有1位出錯的可能性遠高于3位都出錯。如果只考慮1位誤碼，則0102可能會變成1102、0002、0112，分別對應(yīng)65歲、5歲和35歲，偏差分別是38歲、22歲和8歲，你不一定會拒絕妹子，但一定會覺得通信系統(tǒng)太不靠譜了。

可見，信道誤碼產(chǎn)生的失真遠比量化誤差嚴重。優(yōu)化量化器只能減小量化誤差，對信道誤碼則無能為力。要降低信道誤碼的影響，關(guān)鍵當(dāng)然是減少誤碼率，這是下一篇的關(guān)注點（信道編碼），這里還是重點分析信源編碼—— 如何選擇編碼可以減少失真？

先來算個簡單的。

假定均勻量化器的量化級數(shù)為L，量化間隔為Δ，編碼位數(shù)為k=log2L。yi和yj分別表示第i級和第j級量化電平，Pi是量化電平y(tǒng)i的出現(xiàn)概率，Pj/i是誤判為的概率。yi誤判yj為的噪聲功率為(yi-yj)平方，量化電平為yi且誤判為yj的發(fā)生概率為PiPj/i，可得到誤碼噪聲計算公式。

假設(shè)輸入信號為均勻分布，每個量化電平的出現(xiàn)概率相同，即Pi=1/L；假設(shè)信道誤碼率Pe很低，n位編碼中只有1位出現(xiàn)誤碼，則量化電平y(tǒng)i只有k種誤判（為不同的yj）情況，發(fā)生概率為Pj/i≈ Pe。假定編碼使用NBC。當(dāng)?shù)趉位為誤碼時，產(chǎn)生的差值(yi-yj)為2的（k-1）次冪乘以Δ，如k=4，則差值(yi-yj)為8Δ。此時可推算出誤碼噪聲、量化噪聲、總噪聲功率和總信號噪聲比。

把推算結(jié)果（黃色公式）的分母簡化一下，令Pe=1/4(LxL-1)，則S/N=LxL/2，即誤碼令S/N下降了3dB（僅考慮量化噪聲時，信號噪聲比S/N=LxL）。反過來推算，如果L=256，則可令S/N下降3dB的誤碼率Pe=3.8e-6。如果Pe繼續(xù)增大，則誤碼會成為失真的主要因素。

以上結(jié)論是在均勻量化、輸入信號為均勻分布、編碼為NBC的條件下得到的，在非均勻量化、輸入信號為非均勻分布、編碼為FBC的條件下怎么計算…… 教材上沒有講，我也不會，大家領(lǐng)會精神就好。

這里給出A律對數(shù)量化（A=87.6、L=256）、輸入信號為拉普拉斯分布、誤碼率Pe=10e-5的條件下，NBC和FBC的S/N特性曲線?？梢娫谛⌒盘柖?，F(xiàn)BC的S/N要高于NBC，因而在PCM系統(tǒng)中選用FBC而不是NBC。（當(dāng)Pe=0時，采用NBC還是FBC對S/N就沒啥影響了，特性曲線合并成一條曲線，即灰色部分）

所以，A律對數(shù)量化（13折線近似）的8位PCM編碼是這樣的：8位劃分為1位極性碼、3位段落碼和4位段內(nèi)碼。如果信號為正值，則極性碼為1，如果信號為負值，則極性碼為0。3位段落碼對應(yīng)z軸（絕對值）均勻劃分的8個段落（段落內(nèi)斜率相同，即壓擴特性相同），沿z軸由小到大分別取0002~1112。4位段內(nèi)碼對應(yīng)段落內(nèi)均勻劃分的16個區(qū)間，沿z軸（絕對值）由小到大分別取00002~11112。

如果編碼位數(shù)為8，采樣頻率為8KHz，則PCM編碼速率為64Kbps。64Kbps放在PSTN都嫌大，放在GSM空中接口就更不行了，何況GSM采用13位均勻量化，原始編碼速率達到104Kbps —— GSM需要更高效的編碼方案，用更短的編碼來表示相同的信息。

為啥PCM編碼效率不高呢？

因為PCM是“笨小孩”。不知道大家是否見過這種情形，小孩大聲數(shù)數(shù)，家長一臉慈愛，完全不顧對旁人的影響。最痛苦的是上百以后，小孩依然不厭其煩的數(shù)：一百二十一、一百二十二、一百二十三…… 如果拋開數(shù)數(shù)的本意，僅從傳遞信息的角度來看，這樣數(shù)很嚴謹，但效率不高。高效點的數(shù)法，是把“一百”省去，前提是接收方能理解并補回。更激進一點，是說“加一、加一……”，接收方知道前一個數(shù)，就可以推算出下一個數(shù)。

我們把上述思路借鑒到編碼中來。PCM就像第一個小孩，對每個樣本都進行編碼。實際上，短時間內(nèi)的語音信號樣本具有很強的相關(guān)性（可近似看成平穩(wěn)過程），利用這個特點可以降低編碼速率，DPCM（差分編碼調(diào)制）和ΔM（增量調(diào)制）是這種思路的典型實現(xiàn)。

DPCM，即差分編碼調(diào)制，差分就是只傳送差值信息。發(fā)送方輸入信號為S(k)，接收方重建信號為Sr(k)（輸入和輸出均是樣本，因而是離散序列）。和PCM不同的是，量化器的輸入不是S(k)，而是S(k)和預(yù)測信號Se(k)的差值d(k)。差值d(k)經(jīng)過量化、編碼、傳送和解碼后重建為dq(k)。由于傳送的是差值信息，可以達到節(jié)省帶寬的目的。

這個圖看著容易犯暈，關(guān)鍵是理解預(yù)測器的輸入和輸出。預(yù)測器的輸入是此前N個樣本點，輸出是N個樣本點的線性疊加，如序號k樣本的預(yù)測信號Se(k)，就是序號k-1、k-2… k-N樣本的線性疊加，這可以通過延遲電路實現(xiàn)。發(fā)送方和接收方的預(yù)測（桃紅色）和相加（黃色）是完全相同的。由此，重建信號Sr(k)=預(yù)測信號Se(k) 差值dq(k)，總的量化誤差e(k)=d(k)-dq(k)，即不考慮誤碼時，量化誤差只取決于差值的量化。

在DPCM的基礎(chǔ)上，如果量化器和預(yù)測器能根據(jù)輸入信號的統(tǒng)計特性自適應(yīng)于最佳狀態(tài)，則稱為ADPCM（即自適應(yīng)的DPCM），這里只關(guān)注利用“差分”節(jié)省帶寬的思路，就不具體展開了。

ΔM可以看作一種特殊的DPCM：把預(yù)測函數(shù)修改為只取前一個樣本（N=1），量化器簡化為只判決差值正負（只有兩個量化區(qū)間），DPCM就變成了ΔM。ΔM編碼只要1位，對帶寬要求更低。簡單的說，ΔM就是發(fā)送方將輸入樣本和前一個樣本進行比較，如果比前一個大，輸出電平為 Δ，編碼C(n)=1，如果比前一個小，輸出電平為-Δ，編碼C(n)=0。接收方根據(jù)編碼重建。

ΔM具體實現(xiàn)可將量化器和編碼器合并為判決器，并用脈沖發(fā)生器和積分器替代解碼器，電路十分簡單（可直接輸入模擬信號）。ΔM信噪比與信號頻率的平方成反比，語音高頻段的信噪比下降較快，在ΔM的基礎(chǔ)上又發(fā)展出Δ∑（增量總和調(diào)制）。Δ∑對輸入信號先進行積分，降低高頻成分幅度，再進行ΔM調(diào)制，接收方進行微分補償。如果積分器和微分器是互補的則接收方可都省去，電路進一步簡化。

再狠一些，就要脫離“波形編碼”的思路了，根據(jù)語音信號的數(shù)學(xué)模型，直接提取語音信號的特征參量進行編碼，這種編碼方式稱為“參量編碼”。參量編碼速率比波形編碼低，但重建信號和原始信號波形差別很大，只能達到“可懂”的程度。LPC（線性預(yù)測編碼）就是一種常見的參量編碼。

GSM采用的是RPE-LTP（規(guī)則脈沖激勵長期預(yù)測）編碼，這是一種結(jié)合了波形編碼和參量編碼特點的混合編碼，兼具波形編碼高保真和參量編碼速率低的優(yōu)點。GSM中20毫秒語音信號經(jīng)RPE-LTP編碼后共輸出260位，最終編碼速率為13Kbps。篇幅所限，這里就不展開講述RPE-LTP編碼了，有機會再補充吧。

小結(jié)一下。

GSM的目標，是把通話一方的聲音傳送到另一方，反向亦然。在GSM看來，從語音信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號和從數(shù)字信號恢復(fù)為語音信號都是終端的事，網(wǎng)絡(luò)主要負責(zé)傳送數(shù)字信號。終端將語音信號分段，轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號再交給網(wǎng)絡(luò)傳送，這個過程稱為信源編碼，或通俗的稱為語音信號的“數(shù)字化”。

語音信號的時間和幅度都是連續(xù)的，取值具有無限多可能性，要轉(zhuǎn)換為有限長度的編碼必須先離散化。在時間上的離散化稱為采樣，在幅度上的離散化稱為量化。通過采樣、量化、編碼獲得數(shù)字信號的方式稱為PCM編碼。PCM編碼是一種波形編碼，語音還原度高但編碼效率低，可通過DPCM、ΔM、Δ∑調(diào)制等差分編碼方式提高編碼效率。

和PSTN、VoLTE相同，GSM將語音每20毫秒分成一段。GSM的采樣頻率為8KHz，采用13位的均勻量化，原始編碼速率為104Kbps。GSM采用RPE-LTP編碼，是一種結(jié)合了波形編碼和參量編碼特點的混合編碼。GSM中20毫秒語音信號經(jīng)RPE-LTP編碼后共輸出260位，最終編碼速率為13Kbps，壓縮比為8：1。

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