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二次函數(shù)，是中考的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)。特別是壓軸大題，代數(shù)幾何綜合題型，更是考試常見(jiàn)。但是，很多同學(xué)覺(jué)得這類(lèi)題型實(shí)在太難，望而生畏。

比如二次函數(shù)圖像中，拋物線先上是否存點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P，使得三角形面積最大，然后求出動(dòng)點(diǎn)P此時(shí)的坐標(biāo)。這就是最經(jīng)典最常見(jiàn)的二次函數(shù)圖像面積最值問(wèn)題。

今天，通過(guò)一道中考真題，用四種不同的方法來(lái)一起探討這一類(lèi)題型。希望同學(xué)們認(rèn)真體會(huì)，理解透徹，舉一反三。

解法一，割補(bǔ)法。就是把通過(guò)圖形割和補(bǔ)的方式，把三角形的面積求法表達(dá)出來(lái)。這個(gè)方法，最簡(jiǎn)單最常用。

解法一，方法1，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，△PBC的面積等于△PBE面積加梯形的面積，再減去三角形BOC的面積。

把三角形PBC的面積表達(dá)出來(lái)，得到一個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式。即可求出面積最大值。

解法一，方法2。連接PO，三角形PBC的面積等于三角形BOP面積加三角形COP的面積，再減去三角形BOC的面積。

和方法1一樣，最后得到一個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，即可求出三角形面積的最大值。

解法二、鉛垂定理法。上面這個(gè)圖片，就是鉛垂定理的基本知識(shí)點(diǎn)。

鉛垂定理的求法公式就是，三角形的面積等于水平寬度與鉛垂高度乘積的一半。

任何一個(gè)三角形，都可以用這個(gè)方法來(lái)求面積。在直角坐標(biāo)系中，只要求出一個(gè)三角形水平寬度，和鉛垂高度，那么這個(gè)三角形的面積就出來(lái)了。

這個(gè)題目，作PE⊥x軸交BC于F，則水平寬度就是OB的長(zhǎng)度，鉛垂高度就是PF的長(zhǎng)度。

后面的就是直接套用鉛垂定理的公式，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)，得出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，即可求出三角形面積最大值。

請(qǐng)看詳細(xì)解題過(guò)程，鉛垂定理真的很重要。很多題型中，鉛垂定理求面積更簡(jiǎn)單。

解法三，切線法。切線法，就是過(guò)點(diǎn)P做BC的平行線，當(dāng)這個(gè)平行線與二次函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則BC邊上的高就是最大值。

底一定，高最大，當(dāng)然面積最大。請(qǐng)看詳細(xì)解題過(guò)程。有問(wèn)題，歡迎評(píng)論區(qū)留言。

解法四、三角函數(shù)法。這個(gè)方法看起來(lái)好像很難，其實(shí)也很簡(jiǎn)單。詳細(xì)請(qǐng)看解題過(guò)程。

同學(xué)們也可以通過(guò)這個(gè)方法，來(lái)練習(xí)和鞏固一下三角函數(shù)知識(shí)和相關(guān)題型。

總之，從以上四種解法的基本思路，都是過(guò)點(diǎn)P作輔助線，設(shè)P的坐標(biāo)。然后把相關(guān)的線段用含未知數(shù)的代數(shù)式表達(dá)出來(lái)，根據(jù)面積求法公式，得到一個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，即可得到面積的最大值，和P點(diǎn)的坐標(biāo)。