初二幾何——同一輔助線不同的切入點(diǎn)

典型例題選講：

已知：如圖，AD平分∠BAC，AD=BD，AB=2AC.

求證：DC⊥AC

【解析】通過條件分析，發(fā)現(xiàn)直接利用現(xiàn)有條件，在不添加輔助線的情況下無法求解。則提示我們需要添加輔助線，那么本題的輔助線怎么添加呢？本題有4個(gè)切入點(diǎn)：

1）由結(jié)論DC⊥AC出發(fā)。我們想一想，目前我們有幾種方法可以證明兩直線垂直呢？

證明兩直線垂直的方法

1. 直接利用角度的和差得到兩直線的夾角90°（即根據(jù)兩直線垂直的定義出發(fā)）；

2. 利用圖形性質(zhì)（目前可以是等腰三角形三線合一）；

3. 利用全等(找一個(gè)Rt三角形，使兩直線夾角所在的某個(gè)三角形與之全等）.

顯然，方法1放棄，方法2和方法3可以嘗試. 如下圖所示：

2）由條件AD平分∠CAB出發(fā)。我們想一想，角是一個(gè)什么圖形呢？角是一個(gè)軸對稱圖形，那么我們可以利用角平分線，通過圖形的翻折運(yùn)動，構(gòu)造全等三角形.如下圖所示：

3）由條件AD=BD出發(fā)。我們想一想，AD=BD這個(gè)條件給我們帶來了什么圖形呢？是的，等腰△ADB，那么三線合一就是其非常重要的性質(zhì)，我們就可以借用三線合一來解題.如下圖所示：

4）由條件AB=2AC出發(fā)。我們想一想，AB=2BC這個(gè)條件給我們帶來了什么啟發(fā)呢？是的，線段的和差倍問題。那么線段的和差倍通常我們是怎么解決問題的呢？

線段的和差倍的證明

解題思路：將證明線段的和差倍問題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等的問題.

解題策略：通過“大變小（截長）”、“小變大（補(bǔ)短）”的作圖手段構(gòu)造全等三角形來證明兩條線段相等.

如下圖所示：