1.IV的用途

IV的全稱是Information Value，中文意思是信息價(jià)值，或者信息量。

我們在用邏輯回歸、決策樹等模型方法構(gòu)建分類模型時(shí)，經(jīng)常需要對自變量進(jìn)行篩選。比如我們有200個(gè)候選自變量，通常情況下，不會(huì)直接把200個(gè)變量直接放到模型中去進(jìn)行擬合訓(xùn)練，而是會(huì)用一些方法，從這200個(gè)自變量中挑選一些出來，放進(jìn)模型，形成入模變量列表。那么我們怎么去挑選入模變量呢？

挑選入模變量過程是個(gè)比較復(fù)雜的過程，需要考慮的因素很多，比如：變量的預(yù)測能力，變量之間的相關(guān)性，變量的簡單性（容易生成和使用），變量的強(qiáng)壯性（不容易被繞過），變量在業(yè)務(wù)上的可解釋性（被挑戰(zhàn)時(shí)可以解釋的通）等等。但是，其中最主要和最直接的衡量標(biāo)準(zhǔn)是變量的預(yù)測能力。

“變量的預(yù)測能力”這個(gè)說法很籠統(tǒng)，很主觀，非量化，在篩選變量的時(shí)候我們總不能說：“我覺得這個(gè)變量預(yù)測能力很強(qiáng)，所以他要進(jìn)入模型”吧？我們需要一些具體的量化指標(biāo)來衡量每自變量的預(yù)測能力，并根據(jù)這些量化指標(biāo)的大小，來確定哪些變量進(jìn)入模型。IV就是這樣一種指標(biāo)，他可以用來衡量自變量的預(yù)測能力。類似的指標(biāo)還有信息增益、基尼系數(shù)等等。

2.對IV的直觀理解

從直觀邏輯上大體可以這樣理解“用IV去衡量變量預(yù)測能力”這件事情：我們假設(shè)在一個(gè)分類問題中，目標(biāo)變量的類別有兩類：Y1，Y2。對于一個(gè)待預(yù)測的個(gè)體A，要判斷A屬于Y1還是Y2，我們是需要一定的信息的，假設(shè)這個(gè)信息總量是I，而這些所需要的信息，就蘊(yùn)含在所有的自變量C1，C2，C3，……，Cn中，那么，對于其中的一個(gè)變量Ci來說，其蘊(yùn)含的信息越多，那么它對于判斷A屬于Y1還是Y2的貢獻(xiàn)就越大，Ci的信息價(jià)值就越大，Ci的IV就越大，它就越應(yīng)該進(jìn)入到入模變量列表中。

3.IV的計(jì)算

前面我們從感性角度和邏輯層面對IV進(jìn)行了解釋和描述，那么回到數(shù)學(xué)層面，對于一個(gè)待評(píng)估變量，他的IV值究竟如何計(jì)算呢？為了介紹IV的計(jì)算方法，我們首先需要認(rèn)識(shí)和理解另一個(gè)概念——WOE，因?yàn)镮V的計(jì)算是以WOE為基礎(chǔ)的。

3.1WOE

WOE的全稱是“Weight of Evidence”，即證據(jù)權(quán)重。WOE是對原始自變量的一種編碼形式。

要對一個(gè)變量進(jìn)行WOE編碼，需要首先把這個(gè)變量進(jìn)行分組處理（也叫離散化、分箱等等，說的都是一個(gè)意思）。分組后，對于第i組，WOE的計(jì)算公式如下：

其中，pyi是這個(gè)組中響應(yīng)客戶（風(fēng)險(xiǎn)模型中，對應(yīng)的是違約客戶，總之，指的是模型中預(yù)測變量取值為“是”或者說1的個(gè)體）占所有樣本中所有響應(yīng)客戶的比例，pni是這個(gè)組中未響應(yīng)客戶占樣本中所有未響應(yīng)客戶的比例，#yi是這個(gè)組中響應(yīng)客戶的數(shù)量，#ni是這個(gè)組中未響應(yīng)客戶的數(shù)量，#yT是樣本中所有響應(yīng)客戶的數(shù)量，#nT是樣本中所有未響應(yīng)客戶的數(shù)量。

從這個(gè)公式中我們可以體會(huì)到，WOE表示的實(shí)際上是“當(dāng)前分組中響應(yīng)客戶占所有響應(yīng)客戶的比例”和“當(dāng)前分組中沒有響應(yīng)的客戶占所有沒有響應(yīng)的客戶的比例”的差異。

對這個(gè)公式做一個(gè)簡單變換，可以得到：

變換以后我們可以看出，WOE也可以這么理解，他表示的是當(dāng)前這個(gè)組中響應(yīng)的客戶和未響應(yīng)客戶的比值，和所有樣本中這個(gè)比值的差異。這個(gè)差異是用這兩個(gè)比值的比值，再取對數(shù)來表示的。WOE越大，這種差異越大，這個(gè)分組里的樣本響應(yīng)的可能性就越大，WOE越小，差異越小，這個(gè)分組里的樣本響應(yīng)的可能性就越小。

關(guān)于WOE編碼所表示的意義，大家可以自己再好好體會(huì)一下。

3.2 IV的計(jì)算公式

有了前面的介紹，我們可以正式給出IV的計(jì)算公式。對于一個(gè)分組后的變量，第i 組的WOE前面已經(jīng)介紹過，是這樣計(jì)算的：

同樣，對于分組i，也會(huì)有一個(gè)對應(yīng)的IV值，計(jì)算公式如下：

有了一個(gè)變量各分組的IV值，我們就可以計(jì)算整個(gè)變量的IV值，方法很簡單，就是把各分組的IV相加：

其中，n為變量分組個(gè)數(shù)。

3.3 用實(shí)例介紹IV的計(jì)算和使用

下面我們通過一個(gè)實(shí)例來講解一下IV的使用方式。

3.3.1 實(shí)例

假設(shè)我們需要構(gòu)建一個(gè)預(yù)測模型，這個(gè)模型是為了預(yù)測公司的客戶集合中的每個(gè)客戶對于我們的某項(xiàng)營銷活動(dòng)是否能夠響應(yīng)，或者說我們要預(yù)測的是客戶對我們的這項(xiàng)營銷活動(dòng)響應(yīng)的可能性有多大。假設(shè)我們已經(jīng)從公司客戶列表中隨機(jī)抽取了100000個(gè)客戶進(jìn)行了營銷活動(dòng)測試，收集了這些客戶的響應(yīng)結(jié)果，作為我們的建模數(shù)據(jù)集，其中響應(yīng)的客戶有10000個(gè)。另外假設(shè)我們也已經(jīng)提取到了這些客戶的一些變量，作為我們模型的候選變量集，這些變量包括以下這些（實(shí)際情況中，我們擁有的變量可能比這些多得多，這里列出的變量僅僅是為了說明我們的問題）：

• 最近一個(gè)月是否有購買；
• 最近一次購買金額；
• 最近一筆購買的商品類別；
• 是否是公司VIP客戶；

假設(shè)，我們已經(jīng)對這些變量進(jìn)行了離散化，統(tǒng)計(jì)的結(jié)果如下面幾張表所示。

(1) 最近一個(gè)月是否有過購買：

(2) 最近一次購買金額：

(3) 最近一筆購買的商品類別：

(4) 是否是公司VIP客戶：

3.3.2 計(jì)算WOE和IV

我們以其中的一個(gè)變量“最近一次購買金額”變量為例：

我們把這個(gè)變量離散化為了4個(gè)分段：<100元，[100,200)，[200,500)，>=500元。首先，根據(jù)WOE計(jì)算公式，這四個(gè)分段的WOE分別為：

插播一段，從上面的計(jì)算結(jié)果中我們可以看一下WOE的基本特點(diǎn)：

• 當(dāng)前分組中，響應(yīng)的比例越大，WOE值越大；
• 當(dāng)前分組WOE的正負(fù)，由當(dāng)前分組響應(yīng)和未響應(yīng)的比例，與樣本整體響應(yīng)和未響應(yīng)的比例的大小關(guān)系決定，當(dāng)前分組的比例小于樣本整體比例時(shí)，WOE為負(fù)，當(dāng)前分組的比例大于整體比例時(shí)，WOE為正，當(dāng)前分組的比例和整體比例相等時(shí)，WOE為0。
• WOE的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。

我們進(jìn)一步理解一下WOE，會(huì)發(fā)現(xiàn)，WOE其實(shí)描述了變量當(dāng)前這個(gè)分組，對判斷個(gè)體是否會(huì)響應(yīng)（或者說屬于哪個(gè)類）所起到影響方向和大小，當(dāng)WOE為正時(shí)，變量當(dāng)前取值對判斷個(gè)體是否會(huì)響應(yīng)起到的正向的影響，當(dāng)WOE為負(fù)時(shí)，起到了負(fù)向影響。而WOE值的大小，則是這個(gè)影響的大小的體現(xiàn)。

好，回到正題，計(jì)算完WOE，我們分別計(jì)算四個(gè)分組的IV值：

再插播一段，從上面IV的計(jì)算結(jié)果我們可以看出IV的以下特點(diǎn)：

• 對于變量的一個(gè)分組，這個(gè)分組的響應(yīng)和未響應(yīng)的比例與樣本整體響應(yīng)和未響應(yīng)的比例相差越大，IV值越大，否則，IV值越??；
• 極端情況下，當(dāng)前分組的響應(yīng)和未響應(yīng)的比例和樣本整體的響應(yīng)和未響應(yīng)的比例相等時(shí)，IV值為0；
• IV值的取值范圍是[0,+∞)，且，當(dāng)當(dāng)前分組中只包含響應(yīng)客戶或者未響應(yīng)客戶時(shí)，IV = +∞。

OK，再次回到正題。最后，我們計(jì)算變量總IV值：

3.3.3 IV值的比較和變量預(yù)測能力的排序

我們已經(jīng)計(jì)算了四個(gè)變量中其中一個(gè)的WOE和IV值。另外三個(gè)的計(jì)算過程我們不再詳細(xì)的說明，直接給出IV結(jié)果。

• 最近一個(gè)月是否有過購買：0.250224725
• 最近一筆購買的商品類別：0.615275563
• 是否是公司VIP客戶：1.56550367

前面我們已經(jīng)計(jì)算過，最近一次購買金額的IV為0.49270645

這四個(gè)變量IV排序結(jié)果是這樣的：是否是公司VIP客戶 > 最近一筆購買的商品類別 > 最近一次購買金額 > 最近一個(gè)月是否有過購買。我們發(fā)現(xiàn)“是否是公司VIP客戶”是預(yù)測能力最高的變量，“最近一個(gè)月是否有過購買”是預(yù)測能力最低的變量。如果我們需要在這四個(gè)變量中去挑選變量，就可以根據(jù)IV從高到低去挑選了。

4.關(guān)于IV和WOE的進(jìn)一步思考

4.1 為什么用IV而不是直接用WOE

從上面的內(nèi)容來看，變量各分組的WOE和IV都隱含著這個(gè)分組對目標(biāo)變量的預(yù)測能力這樣的意義。那我們?yōu)槭裁床恢苯佑肳OE相加或者絕對值相加作為衡量一個(gè)變量整體預(yù)測能力的指標(biāo)呢？

并且，從計(jì)算公式來看，對于變量的一個(gè)分組，IV是WOE乘以這個(gè)分組響應(yīng)占比和未響應(yīng)占比的差。而一個(gè)變量的IV等于各分組IV的和。如果愿意，我們同樣也能用WOE構(gòu)造出一個(gè)這樣的一個(gè)和出來，我們只需要把變量各個(gè)分組的WOE和取絕對值再相加，即（取絕對值是因?yàn)閃OE可正可負(fù)，如果不取絕對值，則會(huì)把變量的區(qū)分度通過正負(fù)抵消的方式抵消掉）：

那么我們?yōu)槭裁床恢苯佑眠@個(gè)WOE絕對值的加和來衡量一個(gè)變量整體預(yù)測能力的好壞，而是要用WOE處理后的IV呢。

我們這里給出兩個(gè)原因。IV和WOE的差別在于IV在WOE基礎(chǔ)上乘以的那個(gè)，我們暫且用pyn來代表這個(gè)值。

第一個(gè)原因，當(dāng)我們衡量一個(gè)變量的預(yù)測能力時(shí)，我們所使用的指標(biāo)值不應(yīng)該是負(fù)數(shù)，否則，說一個(gè)變量的預(yù)測能力的指標(biāo)是-2.3，聽起來很別扭。從這個(gè)角度講，乘以pyn這個(gè)系數(shù)，保證了變量每個(gè)分組的結(jié)果都是非負(fù)數(shù)，你可以驗(yàn)證一下，當(dāng)一個(gè)分組的WOE是正數(shù)時(shí)，pyn也是正數(shù)，當(dāng)一個(gè)分組的WOE是負(fù)數(shù)時(shí)，pyn也是負(fù)數(shù)，而當(dāng)一個(gè)分組的WOE=0時(shí)，pyn也是0。

當(dāng)然，上面的原因不是最主要的，因?yàn)槠鋵?shí)我們上面提到的這個(gè)指標(biāo)也可以完全避免負(fù)數(shù)的出現(xiàn)。

更主要的原因，也就是第二個(gè)原因是，乘以pyn后，體現(xiàn)出了變量當(dāng)前分組中個(gè)體的數(shù)量占整體個(gè)體數(shù)量的比例，對變量預(yù)測能力的影響。怎么理解這句話呢？我們還是舉個(gè)例子。

假設(shè)我們上面所說的營銷響應(yīng)模型中，還有一個(gè)變量A，其取值只有兩個(gè)：0,1，數(shù)據(jù)如下：

我們從上表可以看出，當(dāng)變量A取值1時(shí)，其響應(yīng)比例達(dá)到了90%，非常的高，但是我們能否說變量A的預(yù)測能力非常強(qiáng)呢？不能。為什么呢？原因就在于，A取1時(shí)，響應(yīng)比例雖然很高，但這個(gè)分組的客戶數(shù)太少了，占的比例太低了。雖然，如果一個(gè)客戶在A這個(gè)變量上取1，那他有90%的響應(yīng)可能性，但是一個(gè)客戶變量A取1的可能性本身就非常的低。所以，對于樣本整體來說，變量的預(yù)測能力并沒有那么強(qiáng)。我們分別看一下變量各分組和整體的WOE，IV。

從這個(gè)表我們可以看到，變量取1時(shí)，響應(yīng)比達(dá)到90%，對應(yīng)的WOE很高，但對應(yīng)的IV卻很低，原因就在于IV在WOE的前面乘以了一個(gè)系數(shù)，而這個(gè)系數(shù)很好的考慮了這個(gè)分組中樣本占整體樣本的比例，比例越低，這個(gè)分組對變量整體預(yù)測能力的貢獻(xiàn)越低。相反，如果直接用WOE的絕對值加和，會(huì)得到一個(gè)很高的指標(biāo)，這是不合理的。

4.2 IV的極端情況以及處理方式

IV依賴WOE，并且IV是一個(gè)很好的衡量自變量對目標(biāo)變量影響程度的指標(biāo)。但是，使用過程中應(yīng)該注意一個(gè)問題：變量的任何分組中，不應(yīng)該出現(xiàn)響應(yīng)數(shù)=0或非響應(yīng)數(shù)=0的情況。

原因很簡單，當(dāng)變量一個(gè)分組中，響應(yīng)數(shù)=0時(shí)，

此時(shí)對應(yīng)的IVi為+∞。

而當(dāng)變量一個(gè)分組中，沒有響應(yīng)的數(shù)量 = 0時(shí)，

此時(shí)的IVi為+∞。

IVi無論等于負(fù)無窮還是正無窮，都是沒有意義的。

由上述問題我們可以看到，使用IV其實(shí)有一個(gè)缺點(diǎn)，就是不能自動(dòng)處理變量的分組中出現(xiàn)響應(yīng)比例為0或100%的情況。那么，遇到響應(yīng)比例為0或者100%的情況，我們應(yīng)該怎么做呢？建議如下：

（1）如果可能，直接把這個(gè)分組做成一個(gè)規(guī)則，作為模型的前置條件或補(bǔ)充條件；

（2）重新對變量進(jìn)行離散化或分組，使每個(gè)分組的響應(yīng)比例都不為0且不為100%，尤其是當(dāng)一個(gè)分組個(gè)體數(shù)很小時(shí)（比如小于100個(gè)），強(qiáng)烈建議這樣做，因?yàn)楸旧戆岩粋€(gè)分組個(gè)體數(shù)弄得很小就不是太合理。

（3）如果上面兩種方法都無法使用，建議人工把該分組的響應(yīng)數(shù)和非響應(yīng)的數(shù)量進(jìn)行一定的調(diào)整。如果響應(yīng)數(shù)原本為0，可以人工調(diào)整響應(yīng)數(shù)為1，如果非響應(yīng)數(shù)原本為0，可以人工調(diào)整非響應(yīng)數(shù)為1.